激光驅動下腔與玻色-愛因斯坦凝聚中的量子相變*

劉妮

(山西大學物理電子工程學院理論物理研究所，太原 030006)

(2012年6月14日收到;2012年8月9日收到修改稿)

1 引言

玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)與高精細光腔實驗的組合[1,2]開辟了新的探索，因為它不僅顯示了最高量子能級上物質光相互作用，而且在量子信息過程中有潛在的應用.在該新奇的裝置下，所有的超冷原子占據在相同的量子態上，而且整體與單模光場發生相同的相互作用，結果能達到強的原子光耦合強度.這種強耦合開拓了新的研究方向，如腔光力學的實現[3]和探索量子門的奇異多體量子現象，其中量子門是用腔調制的長程相互作用[4-11].三十多年前已預測到Dicke模型存在正常相到超輻射相的量子相變[12-15].最近，實驗上在BEC腔系統中首次觀測到該相變[16,17].實驗中引入了動量依賴的自旋態，并且典型的“no-go理論”由此而克服[18].我們知道“no-go理論”是排除超輻射相的.并且，引入了由光格勢誘導的有趣的原子光相互作用[19].由于該非線性原子光相互作用項中原子數N的存在，導致非線性相互作用可以達到與有效腔頻相同的數量級，甚至大于該數量級.在該強的相互作用區，豐富的動力學特性和新的量子相變已被預測[20,21].本文不但考慮了該強相互作用對相圖的影響，而且引入了外場驅動的作用.該外場驅動強度會改變相變點的位置，當強度增大時相變會提前發生，但強度達到2 MHz時，基本只有超輻射相存在.可見，外場強度不能無限制地調大，而且實驗上外場驅動強度通過激光是很容易調控的.

2 拓展的Dicke模型

2.1 理論模型

Dicke模型描述一個二能級原子系綜集體耦合到一個單模量子化電磁場的情形，當原子-場耦合強度超過某個臨界值時，系統會經歷一個零溫量子相變.低于這個臨界值時系統處于正常相，此時所有原子處于基態，輻射場處于真空態;反之系統處于超輻射相，此時原子激發態具有宏觀布居數，光場處于相干態.這種由集體量子現象引起的超輻射量子相變在原子物理和量子光學中已為人們廣泛研究.此外量子混沌、基態糾纏、臨界行為等與量子相變相關的領域也為大家所關注.我們依據Esslinger組的實驗裝置[16](即所有Rb87的超冷原子跟光腔誘導的單模光場發生集體相互作用)，運用集體自旋算子可以給出拓展的Dicke模型的哈密頓量如下(h=1)：

2.2 含時幺正變換

該模型的哈密頓量(2)中相互作用部分顯含時間，為此做一個含時規范變換[22]?U(t)=eiωfSzt，使其在新規范下不含時，其中

2.3 平均場理論處理系統

由于原子數N=105，哈密頓量(3)所統治的基態特性可以考慮用角動量算符的Holstein-Primafoff變換來得到，這種變換是用單模玻色子來重新描述集體自旋算子的，其數學形式為

基于方程(8)和基態能量H0，我們得到了原子數的期待值隨序參量變化的相圖.

3 相圖及分析

圖1為原子光非線性相互作用U=0的情形下，被激發原子數〈Sz〉/N的期待值作為原子-場耦合強度g和外場驅動強度Ω的函數.當U=0時，系統退化為標準的Dicke模型加外場驅動，這樣我們就能看外場驅動強度對系統基態特性的影響.從圖1可以看出，當Ω=0時系統發生了標準的Dicke量子相變，臨界相變點在g=1處.當Ω增大時，系統仍然是發生正常相到超輻射相的量子相變，但是在耦合強度小于1時就發生了相變.而且外場驅動增加到2時基本上系統只存在超輻射相，也就是說外場驅動不能太大;圖2中我們將參數重新取定為Δ=-20，Δ0=0.05，圖像呈現的物理與圖1是一致的.

圖1 被激發原子數〈Sz〉/N的期待值作為原子-場耦合強度g的函數，參數取值Δ=20，Δ0=0.05

圖2 被激發原子數〈Sz〉/N的期待值作為原子-場耦合強度g的函數，參數取值Δ=-20，Δ0=0.05

圖3清晰地描述了非線性原子光相互作用U對被激發原子數〈Sz〉/N的期待值的影響，自變量是原子-場耦合強度g.圖中實的彩色線是U取正值，虛的彩色線是U取負值，黑線對應標準Dicke 模型，臨界相變點是 1，且〈Jz〉(g≤1)=-0.5，〈Jz〉(g≥1)/=-0.5，發生了正常相到超輻射相的量子相變.從不同的U對應的線可以看出，U越大，相變點對應的耦合強度越小，且原子被激發越小;反之U越小，相變點對應的耦合強度越大，且原子被激發越大.也就是說U越大系統越容易發生相變，但是原子的宏觀占據并不大.

圖3 被激發原子數〈Sz〉/N的期待值隨原子-場耦合強度g的函數，參數取值Δ=20，Δ0=0.05

圖4 被激發原子數〈Sz〉/N的期待值隨原子-場耦合強度g和非線性原子光相互作用U的變化圖像，參數取值Δ=20，Δ0=0.05

圖4給出的是原子-場耦合強度g和非線性原子光相互作用U對被激發原子數的影響.如圖所示，當非線性原子光相互作用確定時，即U給定為某一固定值，被激發原子數的期待值隨著耦合強度g的增大而增大，且藍色區域和彩色區域的交界線為臨界相變邊界.g小于臨界相變點時，〈Sz〉/N=-0.5(圖示藍色區域)，表示原子未被激發;g大于臨界相變點，〈Sz〉/N＞-0.5(圖示彩色區域)，表示原子被不程度激發，這主要依賴于耦合強度的取值，也就是圖3給出的不同取值U的情形.當小于臨界相變界時，無論耦合強度和非線性原子光相互作用怎樣變化，原子數的期待值保持-0.5，沒有激發，即系統處于正常相;當大于臨界相變界時，任取定耦合強度g，被激發原子數的期待值隨非線性原子光相互作用強度線性減小，但該區域內全部是超輻射相.需要強調的是U=0的情形所展示的相圖對應標準Dicke模型的量子相變.

圖5 被激發原子數〈Sz〉/N的期待值隨原子-場耦合強度g和外場驅動強度Ω的變化圖像，參數取值Δ=20，Δ0=0.05

圖5主要展示的是無非線性原子光相互作用下外場驅動強度Ω對原子激發的影響.從圖可以看出：Ω較小時系統處于藍色正常相區;當外場驅動強度Ω增強時，系統發生了二級相變(藍色-彩色)，而且當Ω增大時，隨著原子-場耦合強度增強，系統很快處于超輻射相;當Ω=2時只有在g很小時系統處于正常相，很快系統就發生了正常區到超輻射區的量子相變(藍色-彩色)，也就是說原子的宏觀占據數很多.可見，若想觀測到由朗道對稱破缺導致的二級相變，外場驅動強度不能取得過大，這樣平均場理論會失效.

4 結論

本文在標準Dicke模型的基礎上加入了原子光的非線性相互作用和含時的外場驅動.在平均場近似理論和含時幺正變換方法下，我們推導出了含時系統的基態能量表達式以及表征基態特性的方程.本文主要調節不同的參數給出了豐富的相圖，而且相圖所展示的性質最近已從實驗上驗證[16]，尤其是非線性相互作用和外場驅動強度對量子相變的影響.

[1］Brennecke F，Donner T，Ritter S，Bourdel T，K¨ohl M，Esslinger T 2007Nature450 268

[2］Colombe Y，Steinmetz T，Dubois G，Linke F，Hunger D，Reichel J 2007Nature450 272

[3］Brennecke F，Ritter S，Donner T，Esslinger T 2008Science322 235

[4］Maschler C，Ritsch H 2005Phys.Rev.Lett.95 260401

[5］Chen G，Wang X G，Liang J Q，Wang Z D 2008Phys.Rev.A 78 023634

[6］Morrison S，Parkins A S 2008Phys.Rev.Lett.100 040403

[7］Larson J，Damski B，Morigi G，Lewenstein M 2008Phys.Rev.Lett.100 050401

[8］ Larson J，Martikainen J P 2010Phys.Rev.A 82 033606

[9］Gopalakrishnan S，Lev B L，Goldbart P M 2009Nat.Phys.5 845

[10］Szirmai G，Nagy D，Domokos P 2009Phys.Rev.Lett.102 080401

[11］Bastidas V M，Emary C，Regler B，Brandes T 2012Phys.Rev.Lett.108 043003

[12］Hepp K，Lieb E H 1973Ann.Phys.(N.Y.)76 360

[13］Hioes F T 1973Phys.Rev.A 8 1440

[14］Song L J，Yan D，Gai Y J，Wang Y B 2010Acta Phys.Sin.59 3695(in Chinese)[宋立軍，嚴冬，蓋永杰，王玉波2010物理學報59 3695］

[15］Song L J，Yan D，Gai Y J，Wang Y B 2011Acta Phys.Sin.60 020302(in Chinese)[宋立軍，嚴冬，蓋永杰，王玉波2011物理學報 60 020302］

[16］Baumann K，Guerlin C，Brennecke F，Esslinger T 2010Nature464 1301

[17］Baumann K，Mottl R，Brennecke F，Esslinger T 2011Phys.Rev.Lett.107 140402

[18］Viehmann O，von Delft J，Marquardt F 2011Phys.Rev.Lett.107 113602

[19］Nagy D，K′onya G，Szirmai G，Domokos P 2010Phys.Rev.Lett.104 130401

[20］KeelingJ，BhaseenMJ，SimonsBD2010Phys.Rev.Lett.105043001

[21］Liu N，Lian J L，Ma J，Xiao L T，Chen G ，Liang J Q，Jia S T 2011Phys.Rev.A 83 033601

[22］Xu C T，Liang J Q 2006Phys.Rev.A 356 206