慣導系統動態校準數據估計算法

李娜娜，彭軍

(中航工業北京長城計量測試技術研究所，北京100095)

0 引言

對慣導系統進行動態校準，一方面是為了掌握系統誤差規律，建立誤差模型，并對系統進行補償，提高系統的使用精度;另一方面是可以發現系統在設計和制造中的缺陷，為改進系統提供了重要的依據。一般情況下，慣導系統的動態校準是在不同頻率的正弦角振動激勵下，通過與標準測試臺的幅頻和相頻特性進行對比來實現的，同時還可以得到系統的靈敏度、帶寬等動態性能指標。

一些慣導系統輸出的角速度量值是有限長數字序列，所以必須對數字序列進行估計，才能得到其相頻和幅頻特性。大部分慣導系統都是均勻采樣的，但是仍有一些是非均勻采樣的。因此本文介紹了兩種在均勻和非均勻采樣狀態下都適用的估計算法，給出了慣導系統動態校準時算法選擇的建議，以供探討。

1 曲線估計算法

1.1 正弦信號四參數估計法

基于最小二乘法的四參數估計法是正弦信號曲線［1］擬合常用的算法。這種算法抗干擾性強、精度高、算法簡單，適用于對慣導系統動態校準數據的曲線擬合。

設采樣序列在tk時刻的估計值為y(k)，則擬合后的信號可寫為

式中:A0表示正弦信號幅值;ω0表示信號角頻率;θ0表示信號相位;C0表示信號直流偏移。

式(1)可以寫為

對比式(1)和式(2)，有

C=C0

采樣序列在tk時刻的值為y0(k)，那么真實值和估計值之間的誤差平方和:

當已知或估計出信號角頻率ω0后，再利用最小二乘法，使式(3)誤差平方和取最小，那么得到的信號幅值、相位和直流偏移量就是要估計的三個參數［2］。

正弦信號頻率估計的算法有很多，如基于FFT 估計法、相關累加法、遺傳算法、BP 神經網絡算法等，使用最多的就是頻率迭代法。考慮到慣導系統有均勻采樣和非均勻采樣(即采樣時間間隔不等)兩種情況，本文利用頻率迭代法和最小二乘法相結合的方法估計信號的四個參數，見參數文獻［3］。為了更精確地得到信號頻率，對測量序列先做DFT 變換，再利用Rife 和Q-Rife 方法估計信號的初始頻率［4］。

1.2 直接法

正弦信號四參數估計法在系統均勻采樣時準確度很高，但是在非均勻采樣且非均勻程度較大時，精度就會下降。另一方面，當系統采樣點數多時，四參數估計法耗時比較大。因此為了彌補四參數估計法的不足，在慣導系統校準時也可以采用直接法。直接法也同時適用于均勻采樣和非均勻采樣。

根據式(1)，直接法分段求出測量序列的極值，將各段極值的平均值作為擬合信號的幅值A0，采樣序列的均值為正弦信號的直流分量C0，利用相關相位法求相位差。

以下是相關相位法求相位差的原理。

假設原始信號的采樣序列為x，測量序列為y，則

當不考慮兩信號延遲量時，互相關函數Rxy(τ)只與它們的相位差φ 有關，由此就可以求得兩個信號的相位差。因此有

當τ→0 時，有

因此

相關相位法求相位差的前提是必須同時采集慣導系統輸出信號和正弦激勵信號。

2 仿真實驗

通過Matlab 工具編寫算法并進行仿真:

1)對同一正弦信號進行采樣和仿真實驗，原始信號的頻率均為50 Hz，幅值為1，初始相位為0°，信號中加信噪比為40 dB 的高斯白噪聲。

2)設定均勻采樣時刻為tk=kTs，k=0，1，…，N-1。其中，Ts=1/fs，fs為采樣率。

3)設定非均勻采樣時刻為tk=tk-1±iTs，k=0，1，2，…，N-1。其中，Ts=1/fs，i為從［1，3］之間隨機選取的一個整數。

4)直接法和四參數估計法的采樣時間均為5 s，這樣采集的正弦信號周期數相同，在采樣率低時采樣點數少，采樣率高時采樣點數多。

2.1 均勻采樣的仿真實驗

均勻采樣時，直接法、四參數估計法兩種算法的幅值相對誤差、相位差比較見表1。

表1 均勻采樣50 Hz 正弦信號時的估計結果(幅值相對誤差和相位差)

從表1 中可以看出:

1)均勻采樣時無論每個周期采樣點數多或少(在符合采樣定理的條件下)，四參數估計法的精度都很高，幅值相對誤差不超過0.1%，相位差不超過1°，而且估計的信號頻率精度很高;

2)直接法每周期采樣點數在10 個以下時，精度不高;采樣點數越多，精度越高。

在仿真過程中，信號頻率為50 Hz，采樣時間為5 s。對于四參數估計法，當采樣率為200 Hz 時，采樣點數為1000，運算時間為2.27 s;當采樣率為1200 Hz 時，采樣點數為6000，此時運算時間為57.11 s。可見，采樣點數增多，四參數估計法的運算速度變得很慢。相比之下直接法的運算速度很快，無論采樣點數多少，運算時間都不超過1 s。

慣導系統在動態校準時要受外界環境噪聲和系統自身噪聲的影響，兩種算法的抗干擾性比較見表2。

表2 均勻采樣50 Hz 正弦信號時的估計結果(抗干擾性)

從表2 中可以看出，相比直接法，四參數估計法的抗干擾性強很多。

2.2 非均勻采樣的仿真

表3 和表4 分別給出非均勻采樣時，兩種算法幅值相對誤差、相位差和抗干擾性的比較。

表3 非均勻采樣50 Hz 正弦信號時的估計結果(幅值相對誤差和相位差)

由表3 可以看出:

1)由于采樣非均勻性的影響，當每周期采樣點數少時，四參數法的擬合失真度較大;如果每周期采樣點數增加，就可以減弱這種非均勻采樣的影響，可見四參數估計法受采樣非均勻程度的影響較大;

2)非均勻采樣對直接法影響不大，采樣點數越多，計算精度越高，同均勻采樣相同，運算時間基本不超過1 s。

表4 非均勻采樣50 Hz 正弦信號時的估計結果(抗干擾性)

從表4 中可以看出，在非均勻采樣時四參數估計法的抗干擾性較強。

3 實測試驗

用數字存儲示波器作為數據采集系統，設定采樣速率為1000 Hz。選用信號發生器作為激勵，激勵正弦信號的幅度為1 V，不同頻率下采集5000 個數據點，分別用兩種算法對采樣數據的幅值進行估算，結果見表5。

表5 用數字存儲示波器采樣數據的幅值估計結果

從表5 中可以看出，用四參數估計法得到的幅值相對誤差明顯小于直接法的估計結果。

4 建議

依據仿真實驗結果，表6 給出了兩種曲線估計算法的適用情況。在對慣導系統進行動態校準時，可根據校準要求和實際校準情況選擇合適的估計算法。

表6 慣導系統動態校準曲線估計算法選擇的建議

［1］梁志國，孫璟宇.正弦波模型化測量方法及應用［J］.航空計測計術，2001，21(6):3-8.

［2］梁志國，張大治，孫璟宇，等.四參數正弦波曲線擬合的快速算法［J］.計測技術，2006，26(1):4-7.

［3］吳義華，楊俊峰，程敬原，等.正弦信號四參數的高精度估計算法［J］.中國科技技術大學學報，2006，36(6):625-629.

［4］胥嘉佳，劉渝，鄧振淼.任意點正弦波信號頻率估計的快速算法［J］.南京航空航天大學學報，2008，40(6):794-798.