基于民用移動通信信號的經典TDOA定位算法分析

摘 要： 基于民用移動通信信號的無源雷達系統具有隱蔽性好、反隱身能力及抗干擾能力強、系統簡單可靠等優點，近年來受到各國的重視，得到了較快的發展。針對基于民用移動通信信號的無源定位系統中Chan氏算法和Taylor級數算法的實現過程展開分析研究，并在不同的基站配置下，與其相應的定位精度卡拉美羅下限進行了比較，發現當測量誤差的均方差較小時，利用Chan氏算法和Taylor級數算法均可以逼近卡拉美羅下限。

關鍵詞： 民用移動通信信號； TDOA定位； Chan氏算法； Taylor算法

中圖分類號： TN929.5?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）13?0016?05

Analysis of classic TDOA location algorithm based on civil mobile communication signals

MA Sai1， DENG Dong?hu1， CHU Yi?fan2， ZHOU Liang3， ZHU Meng1， YANG Xiang?xing1

（1. College of Information and Navigation， Air Force Engineering University， Xi’an 710077， China； 2. Unit 94865 of PLA， Hangzhou 310021， China；

3. Beijing Special Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China）

Abstract： The passive radar based on civil communication signals has many advantages， such as good invisibility， anti?stealth ability， anti?jamming capability， simple structure and reliable performance. For this reason， it has been gained the attention of various country， and has a rapid development. The realization process of Chan algorithms and Taylor series algorithms in passive location system based on civil mobile communication signals is analyzed. Compared with the Cramer?Rao Bound in different base station configuration， it is found that when the mean square error of the measure error is small， location accuracy can approach to the Cramer?Rao Bound.

Keywords： civil mobile communication signal； TDOA location； Chan algorithm； Taylor algorithm

0 引 言

在現代戰爭中，隨著現代電子技術的發展，有源雷達面臨著4大威脅：電子干擾、反輻射導彈、超低空突防及隱身技術。因此，雷達系統必須具有四抗能力，才能在戰爭中生存[1]。相對的，基于民用移動通信信號的無源雷達由于系統本身不輻射電磁波的工作特性而具有隱蔽接收，不易被敵方發現、工作于米波頻段，對這一頻段材料隱身效果差等優點[1?3]。因此，針對基于民用移動通信信號的無源雷達展開相關技術成為未來雷達發展的一個重要方向[1，4]。

基于民用移動通信信號的無源定位系統利用GSM基站信號或CDMA基站信號作為照射源，通過接收運動目標對這些照射源的反射信號，來獲取目標空間位置信息，從而實現對目標定位。而TDOA定位則是一種重要的無源定位方法，它是通過處理接收站采集到的信號到達時間的測量數據來實現對輻射源的定位，適用于基于民用移動通信信號的無源定位系統。對于TDOA方法而言，由于其應用的廣泛性，引起了眾多學者的研究[5?9]，較為經典的如Chan提出的最小二乘算法[5]，Foy提出的Taylor級數法[6]。其中，Chan氏算法[5]與一些定位算法的基本原理一樣，如Friendlander所提出的去距離最小二乘法[7]，Chan和Yau提出的近似極大似然法[8]以及Stoica和Li提出的漸進迭代最小二乘法[9]等，都是將關于距離差的非線性方程進行一定的轉化，再將目標達到各基站的距離作為未知數，從而得到一個線性方程組，再對該方程組進行求解從而得到目標的位置，之后利用目標到達各基站的距離作為一種約束關系，進一步提高對目標位置的定位精度。而Taylor級數展開算法的基本原理則是將距離差在接近真實目標的位置處進行一階Taylor展開，再利用已經獲得的距離差進行迭代求解，直到前后兩次迭代獲得的位置距離小于一個設定的門限。該算法雖然定位精度較高，在測量誤差較小時，可以接近卡拉美羅下限，但是需要一個較好的初始值來近似目標位置，若該初始值離目標位置較遠，則直接進行迭代有可能產生迭代發散或者收斂到一個錯誤的值。

本文主要針對基于民用移動通信信號的無源定位系統中Chan氏算法和Taylor級數算法展開研究，通過對兩種算法實現過程進行分析，并在不同的基站配置下，利用蒙特卡羅仿真與各基站配置情況下的定位精度卡拉美羅下限進行了比較，發現當測量誤差的均方差較小時，利用Chan氏算法和Taylor級數算法均可以逼近于卡拉美羅下限。

1 基于民用移動通信信號的無源定位模型

如圖1所示為某一時刻基于民用移動通信信號的雷達目標定位模型。系統通過不同移動基站和一個系統接收站相互配合來完成對空中目標的定位。當目標進入探測區域時，照射到目標上的基站輻射信號會被反射，這些反射波信號的部分能量會被接收站所接收。通過利用直達波信號與目標反射信號進行廣義相關，即可獲得目標回波信號的時延。

圖1 基于民用移動通信信號的無源定位模型

在獲得各基站目標回波信號時延后，可利用TDOA算法對目標進行定位。以接收站位置為原點建立坐標系，同時定義基站[i]坐標位置為[Xi=xi ，yi，][i=1，2，…，N]（N為基站的個數），目標位于[x=x，y]處。在不考慮噪聲的情況下，假設基站[i]發射信號與基站[j]發射信號的到達時差為[τ?i，j]，由于電磁波在空氣中的傳播速度恒定，因此可以得出：

[r?i，j=cτ?i，j=Ri-Rj?x-Xi-x-Xj] （1）

式中：[Ri=x-Xi]和[Rj=x-Xj]分別表示從目標到基站[i]和基站[j]的距離，符號“[?]”表示沒有噪聲時的實際值。利用式（1）可以構造一條雙曲線，并且在不考慮噪聲的情況下，目標必然位于該雙曲線上。

由于每一基站對應的目標回波時延已知，在不考慮噪聲的情況下，可得到有多個基站對所形成的距離差[r?i，j]，從而構成雙曲線方程組，對該方程組求解（即查找雙曲線的焦點），便可得到目標的位置。由該方程組的性質可知，利用不同基站作為參考基站計算時延差，所構造的雙曲線方程組，等效于利用某一特定基站作為參考基站所構造的方程組。因此，本文假定以基站1作為參考基站，則基站[i]對應的距離差為：

[r?i，1=cτ?i，1=Ri-R1?x-Xi-x-X1] （2）

對式（2）進行移向并求平方可以得到：

[r?i，1+2R1r?i，1+x-x12+y-y12=x-xi2+y-yi2] （3）

整理后，可得：

[r?i，12+2R1r?i，1=x2i+y2i-2xi-x1x-2yi-y1y-x21-y21] （4）

對式（4）所構成的方程組進行求解，即可完成對目標的定位。

2 經典的TDOA定位算法

2.1 Chan氏算法

在Chan氏算法中，將式（2）中目標達到各基站的距離[Ri]視為一個未知數，并進行相應的轉化，從而得到如式（4）的一個線性方程組，通過對該方程組求解從而得到目標位置的粗略估計結果。然后，利用[Ri=x-Xi]作為約束關系，再對目標位置進行一次求解，以此來進一步提高對目標位置的定位精度。

由雙曲線方程組的性質可知，當雙曲線的個數達到兩個以上時，才會存在交點，通過尋找交點完成對目標的定位，這就要求基站數目必須在三個以上才能實現對目標的定位。由于計算方式不同，可將三個基站和三個以上基站情況進行分開討論：

（1）三個基站情況下

當有效的測量基站數量為三個時，通過對回波信號與直達波信號進行廣義相關，可以得到三個有效的到達測量值，代入式（4）進行求解。但在求解之前，要求假設[R1]已知，則通過求解可得到目標位置：

[xy=12x2-x1 y2-y1x3-x1 y3-y1-1?x22+y22-x21-y21-r22，1-2r3，1R1x23+y23-x21-y21-r23，1-2r3，1R1] （5）

可見，利用式（5）得到的[x]和[y]的值，均可利用距離[R1]表示，然后將這一結果代入[R1=x-X1]中，得到一個關于[R1]的一元方程，求解得到[R1]的值，由此可獲得目標的位置坐標[x，y]。

（2）三個以上基站情況下

在有效測量基站數目在三個以上時，可以獲得TDOA的測量值數目將大于或等于式（4）中未知值的數目，此時可充分用獲得的TDOA測量值冗余特性得到更加準確的目標位置坐標。具體方法是：在目標與無源雷達系統距離較遠的情況下，可假設目標到各基站的距離相等，且均為[R1]，利用最小二乘算法對式（4）求解，利用所得結果和附加的[Ri=x-Xi]作為約束條件進行第二次求解，最終得到目標更為精確的估計位置。

在考慮噪聲的情況下，由于在接收站計算所得到的距離差為：

[ri，1=r?i，1+ni，1] （6）

式中：[ni，1]表示基站[i]對應的測量誤差。因此：

[ri，1-ni，1=r?i，1=Ri-R1=x-xi2+y-yi2-x-x12+y-y12] （7）

對上式進行移項，并求平方：

[ri，1-ni，12+2ri，1-ni，1R1+x-x12+y-y12= x-xi2+y-yi2] （8）

整理得到：

[Ri?ni，1+12n2i，1=12r2i，1-x2i-y2i+x21+y21+（xi-x1）x+（yi-x1）x+ri，1R1] （9）

用向量表示為：

[ψ=h-Gaz*a] （10）

其中，

[h=12r221-x22-y22+x21+y21?r2N1-x2N-y2N+x21+y21，][Ga=-x2-x1 y2-y1 r2，1?xN-x1 yN-y1 rN，1， za=xyR1]

定義向量[n=n2，1，…，nN，1T]，那么：

[ψ=Bn+0.5n⊙n] （11）

其中，符號“[⊙]”表示Schur乘積（各元素分別相乘），且：

[B=diagR?2 … R?N] （12）

符號“[diag?]”表示以括號中向量為對角線元素的對角矩陣。對于遠程目標而言，通常情況下，測量誤差遠遠小于目標和各基站之間的距離，即[n?R?i]，所以可以將式（11）中的第二項忽略掉，即：

[ψ=Bn] （13）

那么可以得知誤差矢量[ψ]的均值和協方差矩陣分別為：

[Eψ=0] （14）

[Ψ=EψψT=BQB] （15）

式中[Q=EnnT]表示測量誤差的協方差矩陣。在式（10）中，[za]中元素[R1]與目標的位置有關，因此該式仍是一個非線性方程組，為此可首先假定距離[R1]與目標的位置無關，再通過最小二乘算法進行第一次求解，則[za]的估計值為：

[za=argminzah-GazaTΨh-Gaza=GTaΨ-1Ga-1GTaΨ-1h] （16）

由于矩陣[B]中含有目標與各基站之間的距離，誤差矢量[ψ]的協方差矩陣[Ψ]仍是一個未知量，因而需要做進一步的近似。

當目標距離較遠時，可以近似[B≈R?1I]，那么：

[za=GTaQ-1Ga-1GTaQ-1h] （17）

當目標距離較近時，利用上式進行計算可以得到一個初始解，然后利用該初始解得到的矩陣[B]，將矩陣[B]代入式（15），計算出誤差矢量[ψ]的協方差矩陣[Ψ]，并將[Ψ]代入式（17）就可以得到更為準確的目標位置。為進一步提高精度可以將式（15）和式（17）進行多次迭代處理，但一般只需要一次計算就可以得到較為精確的結果[10]。

在上述過程中，假定了[R1]與目標位置[x]無關。然而，實際上[R1=x-X1]，正是有目標位置[x]所決定的。因此可利用這一距離約束關系，結合最小二乘算法進一步提高定位精度。具體方法是：

首先計算通過式（17）得到的[za]的協方差矩陣。由于矩陣[Ga]中包含隨機量[ri，1]，因此可以采用一階擾動分析方法進行計算，在有噪聲的情況下，式（10）表明：

[ψ=Δh-ΔGaz*a] （18）

其中，[ΔGa=Ga-G?a，][Δh=h-h*]。

令[za=z*a+Δza]，由式（15）可得：

[G?aT+ΔGaTΨ-1G?a+ΔGaz*a+Δza= G?aT+ΔGaTΨ-1h+Δh] （19）

保留一階擾動分量，可以得到[5]：

[Δza=G?aTΨ-1G?a-1G?aTΨ-1Bn] （20）

[covΔza=EΔzaΔzaT=G?aTΨ-1G?a-1] （21）

從而可以得知矢量[za]的均值和協方差矩陣分別為：

[Eza=z*a+EΔza=z*a] （22）

[covza=covΔza=G?aTΨ-1G?a-1] （23）

同時定義矢量[za]的第1和第2個元素為：

[za，1=x?+e1za，2=y?+e2] （24）

式中：[e1]和[e2]分別為兩個元素的估計誤差。利用距離約束關系[R1=x-X1]可以得到：

[Φ=h-Ga′·za′] （25）

其中：

[h=z2a，1z2a，2z2a，3z2a，4]，[Ga′=1 0 00 1 01 1 1]，[za′=x2y2]，[Φ≈2x?-x1e1y?-y1e2R?1e4]

利用最小二乘算法可知：

[za′=Ga′TΨ-1Ga′-1Ga′TΨ-1h] （26）

其中：

[Ψ=EΦΦT=4BcovzaB] （27）

[B=diagx? y? R?1] （28）

同樣，與第一步最小二乘算法相似，由于矩陣[Ψ]中含有輻射源的真實位置，它也是一個未知量。但[B]可利用式（17）得到[za]的計算結果值進行近似，[G?a]可以利用[Ga]近似。由此，完成對矢量[za′]的估計。但是需要注意的是[za′=x?2， y?2T]，所以目標的位置估計結果可能有4種可能性，即：

[zp=±za，1′ ±za，2′T] （29）

不過，可以通過結合式（17）得到的結果與式（29）的結果進行比較，從而決定最終的定位解。

2.2 Taylor級數算法

Taylor方法是一種基于Taylor級數展開的最小二乘估計的迭代算法。其方法為：首先，在目標位置的初始猜測點用Taylor級數展開，并忽略高次項的影響，將非線性方程轉變為線性方程；然后，采用最小二乘算法對目標估計值的偏移量進行估計，并用估計的偏移量修正目標位置，不斷迭代，直到估計的目標位置接近真實位置。

前面已知：

[ri，1=cτi，1=Ri-R1] （30）

其中：

[Ri=x-xi2+y-yi2] （31）

假定目標的坐標初始猜測值為[x0，y0]（非真實坐標），將上式利用Taylor級數在該坐標處展開，忽略高次項，得到：

[Φ=h-GaΔ] （32）

其中：

[h=r21-R02-R01r31-R03-R01?rN1-R0N-R01，Δ=ΔxΔy，]

[Ga=x1-x0R01-x2-x0R02 y1-y0R01-y2-y0R02??x1-x0R01-xN-x0R0N y1-y0R01-yN-y0R0N]

此時利用最小二乘算法可得：

[Δ=GTaQ-1Ga-1GTaQ-1h] （33）

式中[Q]為測量誤差的協方差矩陣。在下次遞歸中，令：

[x0=x0+Δxy0=y0+Δy] （34）

設定一個門限[ε]，如果[Δx+Δy<ε]，停止迭代，否則重新代入該迭代公式，重新計算得到一個新的[Δ]，再次進行判定。當迭代結束后，得到的[x0，y0]值即為目標位置估計值。

從Taylor級數展開可以得知，在進行計算前，需要一個與實際值較為接近的初始猜測值，才能保證算法收斂，否則有可能導致算法結果收斂到一個錯誤的值或不能收斂。

但是，可以采用Chan氏算法中第一次最小二乘算法計算得到的估計值來作為目標的初始猜測值。

3 數值仿真與分析

在仿真中，以接收站為原點建立坐標系，并采用了兩種基站網絡結構，分別為：A類基站坐標分別為[[0，0]]，[[-R，0]]，[[R，0]]，[[0，-R]]，[[0，R]]；B類基站坐標分別為：[[0，0]，][3R，0，][3R2，1.5R，][-3R2，1.5R，][-3R，0，][-3R2，-1.5R]和[3R2，-1.5R，]其中[R=20]km。

針對以上兩種基站網絡結構，目標位于[[25，25]]km處，各基站對應的測距誤差的均方差相同，圖2（a）給出了在A類基站網絡結構下，其卡拉美羅下限、Chan氏算法定位誤差的均方值、Taylor級數算法定位誤差的均方值隨測距誤差變化的曲線和Taylor級數算法聯合Chan氏算法時定位誤差的均方值隨測距誤差變化的曲線。單獨使用Taylor級數算法時假設目標的初始位置為[[24，26]]km。圖2（b）則給出了B類基站網絡結構下，四種定位誤差變換曲線。為了保證仿真的正確性，在每種TDOA測量誤差條件下，進行1 000次蒙特卡羅仿真。

從圖2中可以看出在仿真條件要求的情況下，B類基站網絡結構對應的各算法的性能優于A類基站網絡結構，這主要是因為前者可以比后者多提供兩組TDOA測量值，即利用更多的信息完成對目標的定位。

圖2 各類基站網絡結構下各定位算法的定位精度曲線

4 結 論

本文詳細分析了基于民用移動通信信號的無源定位系統的定位模型和適用于該系統的Chan氏算法和Taylor級數算法的實現過程，并在不同的基站配置下，利用蒙特卡羅仿真與各基站配置情況下的定位精度卡拉美羅下限進行了比較，發現當測量誤差的均方差較小時，利用Chan氏算法和Taylor級數算法均可以逼近于卡拉美羅下限。

參考文獻

[1] 楊廣平.外輻射源雷達關鍵技術研究[J].現代雷達，2008，30（8）：5?9.

[2] 徐偉杰，王俊基.基于TOA測量的T～n?R型無源雷達目標跟蹤算法[J].系統工程與電子技術，2010，32（3）：512?517.

[3] 王卓，王立志.一種單源單站模式下空間無源定位新技術研究[J].現代電子技術，2011，34（15）：15?18.

[4] 楊向星，張群，梁賢姣，等.基于CDMA信號的TDOA定位時延參數獲取算法[J].科學技術與工程，2012，12（27）：6944?6947.

[5] CHAN Y T， HO K C. A simple and efficient estimator for hyperbolic location [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1994， 42（8）： 1905?1915.

[6] FOY W H. Position?location solutions by Taylor series estimation [J]. IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems， 1976， 12（2）： 187?194.

[7] FRIEDLANDER B. A passive localization algorithm and its accuracy analysis [J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 1987， 12（1）： 234?245.

[8] CHAN Y T， HANG Y C， CHING P C. Exact and approximate maximum likelihood localization algorithms [J]. IEEE Transaction on Vehicular Technology， 2006， 55（1）： 10?16.

[9] STOICA P， LI J. Lecture notes?source localization from range?difference measurements [J]. IEEE Signal Processing Magazine， 2006， 23（6）： 63?66.

[10] 董秀芳.多用戶環境CDMA目標定位技術研究[D].成都：西南交通大學，2005.