天線調諧器T形阻抗匹配網絡參數估算

摘 要： 介紹了天線調諧器T形匹配網絡的結構組成和元件配置；在給定VSWR門限值的條件下，定量分析了匹配網絡中各元件的最小取值所必須滿足的取值范圍，得出了合理的估算值。對于決定網絡匹配范圍的各元件的最大取值，則依據天線輸入阻抗的變化范圍，給出了初步的估算值。通過對以上兩類參數的估算，為天線調諧器調諧算法的設計和整備性能指標的實現提供了參考依據。

關鍵詞： 天線調諧器； 阻抗匹配網絡； 電壓駐波比； 天線輸入阻抗

中圖分類號： TN820.8?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）08?0007?03

天線調諧器阻抗匹配網絡用于實現天線輸入阻抗和發射機輸出阻抗之間的匹配，以實現信號功率的高效傳輸[1]。阻抗匹配網絡的參數設置（取值步進和取值范圍）將會極大地影響天線調諧器調諧算法的設計以及性能指標的實現。阻抗匹配網絡的形式包括基本型Г形和反Г形及其擴展型Π形和T形。Г形和反Г形網絡的匹配范圍不能覆蓋整個阻抗復平面，因此在天線調諧器中的應用具有局限性（如中長波天調等特殊場合）；Π形和T形網絡的匹配范圍則可以覆蓋整個阻抗復平面，因此對其參數設置的分析更具參考性和普遍性。由于分析方法的類似，文章僅對T形網絡參數設置進行分析，Π形網絡的分析可參考相關文獻。

1 阻抗匹配網絡

1.1 網絡結構

L?C?L′型網絡[2]是最常見的T形阻抗匹配網絡，如圖1所示。

令天線的輸入阻抗為[Za′]，經[L′]匹配后的輸入阻抗為[Za]，經網絡匹配后的輸入阻抗為[Zin]，三者滿足關系式（1）和式（2）：

[Zin=11Za+jωC+jωL] （1）

式中：

[Za=Za′+jωL′] （2）

當網絡完全匹配時，有[Zin=Rg]（通常[Rg=50 Ω]），對式（1）進行重寫可得：

[Za=11Rg-jωL-jωC] （3）

對式（3）進行：[Ra=Rg（1-ω2LC）2-（ωCRg）2Xa=ωC（（ωL）2+R2g）-ωL（1-ω2LC）2-（ωCRg）2] （4）

進一步可得：

[ωC=ωL+（（ωL）2+R2g）RgRa-R2g（ωL）2+R2g， Ra≤RgωL±（（ωL）2+R2g）RgRa-R2g（ωL）2+R2g， Ra>Rg] （5）

令[L]和[C]的取值范圍為0～∞，通過式（4）可以求得

L?C型反Г形網絡的匹配區域[3?4]為：

[Xa≥Ra（Rg-Ra）， Ra≤RgXa∈（-∞，+∞）， Ra>Rg] （6）

重寫式（2）可得：

[ωL′=Xa-Xa′] （7）

反Г形網絡通過接入[L′]形成T形網絡，其匹配區域也由式（6）擴展到整個阻抗復平面（當[L′]取值范圍為0～∞時）。

1.2 元件配置

阻抗匹配網絡中各元件的取值通常按照下式[5?6]進行設置：

[Li=2i-1L1Cj=2j-1C1L′i′=2i′-1L′1] （8）

則[L]，[C]和[L′]的取值為：

[L=i=1m2i-1L1aiC=j=1n2j-1C1bjL′=i′=1m′2i′-1L1′ci′] （9）

式中，[ai]，[bj]和[ci′]取值為“0”或“1”。當取值為“1”時表示元件接入網絡中，當取值為“0”時表示元件與網絡斷開。這樣，[L]，[C]和[L′]就可以在式（9）范圍內以式（8）所示步進任意取值。顯然，步進的大小決定了[L]，[C]和[L′]的取值精度和網絡匹配精度，元件的個數（[m]，[n]和[m′]）決定了[L]，[C]和[L′]的取值范圍和網絡匹配范圍。

2 網絡參數估算

定量確定式（8）中的參數[L1]，[C1]，[L1′]，[m]，[n]和[m′]，對于天線調諧器的性能指標實現和調諧算法設計有著重要的意義。令匹配后的VSWR門限值為[σ：]

[σ=1+Γ1-Γ] （10）

式中：

[Γ=Zin-RgZin+Rg] （11）

2.1 [C1]和[n]的估算

2.1.1 [C1]的估算

令匹配后的阻抗點位于等VSWR圓與[Xin=0]的交點，如圖2所示。

聯合式（10）和式（11）可解得：

[R（1）in=RgσR（2）in=Rgσ] （12）

根據圖2可以求得滿足門限值[σ]的[C1]取值（對應于[Z2-Z1]）需滿足下式：

[ωC1=X1R21+X21-X2R22+X22] （13）

式中[R1=R（2）in]，[R2=R（1）in]，[X1]和[X2]滿足下式：

[Xk=-Rk（R0-Rk）] （14）

式中[Z0]為[Za]所在匹配軌跡圓與[R]軸交點[（R0，0）]，且滿足：

[Xa=±Ra（R0-Ra）] （15）

聯合式（13）和式（14），可以得到：

[ωC1=1R2-1R01R0-1R1-1R01R0] （16）

可以看到，[C1]的取值僅與[R0]相關。當[R2

[?（ωC1）?R0≈-121R0R2R0-1R0R1R0] （17）

顯然，當[R2

2.1.2 [n]的估算

同樣的，參照式（13）可得下式：[ωC=XaR2a+X2a-X1R21+X21] （18）

聯合式（14）、式（15）和式（18）可得：

[ωC=1R1-1R01R0±1Ra-1R01R0] （19）

顯然，當[R0]確定后，[Xa>0]時，[ωC]是關于[Ra]的單調遞減函數；[Xa<0]時，[ωC]是關于[Ra]的單調遞增函數。

當[Ra]被確定后，令[Xa>0]，[?（ωC）/?R0=0]，可以得到：

[R0=Ra+R1] （20）

此時，[ωC]取得最大值。以[f=3 MHz，][Ra=5 Ω，][σ=2]為例，根據式（19）和式（20）可求得此時[C]的取值應大于2 300 pF，若[C1=12.5 pF]，則[n=8]。

2.2 [L1]和[m]的估算

2.2.1 [L1]的估算

令最后的匹配點所在的匹配軌跡經過點[（R（3）in，0）]，如圖3所示，其中[Z3]和[Z4]為匹配軌跡與等VSWR圓的交點。此時可求得滿足門限值[σ]的[L1]取值（對應于[Im（Z4-Z3））]需滿足下式：

[ωL1=2-R（3）in-R（2）inR（3）in-R（1）in] （21）

式中[R（2）in≤R（3）in≤R（1）in]。

令[?（ωL1）?R（3）in=0]，可以得到：

[R（3）in=R（1）in+R（2）in2] （22）

此時，[ωL1]取最大值。

以[f=30 MHz，][σ=2]為例，根據式（21）和式（22）可求得此時[L1]的取值應小于0.4 μH。

2.2.2 [m]的估算

根據圖2和圖3可知[L]用于抵消電抗[X1]或[X2]，根據式（14）可得：

[ωL=R（3）in（R0-R（3）in）] （23）

顯然，[ωL]是關于[R0]的單調遞增函數，且當[R0?R（3）in]時，可忽略[R（3）in]對[L]取值的影響。以[f=3 MHz，][R0=2 000 Ω，][R（3）in=50 Ω]為例，根據式（23）可求得此時[L]的取值應大于16 μH，若[L1=0.4 μH]，則[m=6]。

2.3 [L1′]和[m′]的估算

2.3.1 [L1′]的估算

[L1′]對[Za′]的變換軌跡如圖4所示。

軌跡由[Z5]點進入式（6）所示匹配區域內，[L1′]的大小決定了[Im（Za-Z5）]的大小，同時根據式（15）可以得到

[ωL1′=Ra（R0-Ra）-Ra（Rg-Ra）] （24）

顯然，[ωL′1]是關于[R0]的單調遞增函數。

對式（24）求關于[Ra]的偏導數：

[?（ωL1′）?Ra=12R0-RaRa-Rg-RaRa+RaRg-Ra-RaR0-Ra] （25）

可知，當[R0≥Rg]時，式（25）的值恒大于零，即[ωL1′]是關于[Ra]的單調遞增函數。以[f=30 MHz，][R0=2 000 Ω，][Ra=1 Ω]為例，根據式（24）可求得此時[L1′]取值應小于0.2 μH。

2.3.2 [m′]的估算

[L′]的作用是將式（6）所示匹配區域外的點變換到匹配區域內，阻抗點離匹配區域越遠（即容抗[7]越大），所需[L′]也越大，因此有：

[ωL′=Ra（Rg-Ra）-Xa′] （26）

令[?（ωL′）?Ra=0]，可以得到：

[Ra=Rg2] （27）

此時，[ωL′]取最大值。

以[f=3 MHz，][Xa′=-2 000 Ω]為例，根據式（26）和式（27）可求得此時[L′]的取值應大于107 μH，若[L1′=0.2 μH，]則[m′=9]。

3 結 語

阻抗匹配網絡的參數設置將會影響到天線調諧器調諧算法[8]的設計和技術指標[1]實現，甚至影響到硬件電路的規模和復雜性，對參數進行合理估算，是優化天線調諧器整備性能的必備步驟。此外，文中所用估算方法對Г形、反Г形和Π形網絡的分析具有通用性，分析的結果還可用于對天線調諧器適配天線的類型和頻段進行判斷，在實際應用中為天線的選配和頻率的規劃提供參考依據。

參考文獻

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