在變式訓(xùn)練中沖破難點(diǎn)

歷年各地中考?jí)狠S題大都是以某個(gè)數(shù)學(xué)模型為背景的綜合題目，其綜合難度令許多學(xué)生望而卻步.作為一線教師，如果能在教學(xué)中選取典型數(shù)學(xué)模型，從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，設(shè)計(jì)以某個(gè)數(shù)學(xué)模型為主線索的系列題組，對(duì)學(xué)生進(jìn)行潛移默化的訓(xùn)練，使學(xué)生能熟練分析、探索、解決以其為背景的相關(guān)綜合題目，那么，中考?jí)狠S題的突破絕非難事.

“廣東省初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試”十年來(lái)未曾出現(xiàn)“撞桌球問題”（原名為“軸對(duì)稱求最短距離”）的考點(diǎn)，故筆者結(jié)合本地考試大綱難度要求，選取以此數(shù)學(xué)模型為背景的題組設(shè)計(jì)為例，談?wù)劇巴ㄟ^設(shè)計(jì)以某個(gè)數(shù)學(xué)模型為主線的變式題組，提高中考?jí)狠S題的解題效率”的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)模型變式題組的設(shè)計(jì)應(yīng)該就近幾年某數(shù)學(xué)模型所出現(xiàn)的題型，結(jié)合本地中考的難度、所教學(xué)生的程度，按其所涉及的問題，歸為三類題型，題型采用階梯式處理，由易到難，由淺到深，層層遞進(jìn)，從不同地角度訓(xùn)練學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型，并解決與數(shù)學(xué)模型為背景的相關(guān)問題.

1. 根據(jù)幾何知識(shí)問題編制基礎(chǔ)題型

此類題型主要培養(yǎng)學(xué)生遇到一個(gè)問題時(shí)，要善于捕捉問題所蘊(yùn)含的信息，包括顯性和隱性的，然后進(jìn)行模式識(shí)別，和熟悉的知識(shí)模型建立聯(lián)系，從而獲得解題思路的能力.

當(dāng)我們學(xué)習(xí)三角形、四邊形、圓等軸對(duì)稱圖形時(shí)，會(huì)遇到大量的以“撞桌球問題”為背景的幾何基礎(chǔ)題目.

例1：如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是________.

例2： 如圖，在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為____.

例3：如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則PD+PE的最小值是_______________.

例4：如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，則EM+CM的最小值為_________.

例5：如圖，已知⊙O的直徑CD為4，弧AD所對(duì)圓心角的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，請(qǐng)你在直徑CD找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值是_______.

設(shè)計(jì)意圖：①訓(xùn)練學(xué)生熟練掌握該模型的作圖方法，考慮選擇在圖中作出對(duì)稱點(diǎn)或在圖中找到對(duì)稱點(diǎn)，找出最短路線.培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，符合考試大綱的要求.②以上例題通過變換問題背景，提高學(xué)生快速識(shí)別、分析模型，運(yùn)用模型的性質(zhì)，結(jié)合背景圖形的幾何知識(shí)解決問題的能力，不但可深化問題，而且能挖掘知識(shí)內(nèi)容，既鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，開拓了解題思路，又提高了學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性，為綜合題的解決打下堅(jiān)實(shí)的幾何基礎(chǔ).

2. 根據(jù)理解運(yùn)用問題編制閱讀理解題型

近幾年各地中考注重考查學(xué)生的閱讀、理解、猜想、歸納、類比、運(yùn)用等能力，特別是近幾年“廣東省初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試”每年均出現(xiàn)一道閱讀理解的綜合題.故此，對(duì)于具有較強(qiáng)典型性和遷移性的數(shù)學(xué)模型，我們應(yīng)當(dāng)選擇以其為發(fā)生、發(fā)展源泉的閱讀理解題型，培養(yǎng)學(xué)生將問題進(jìn)行拓展、引申與推廣，概括出模型的原理或規(guī)律，將其遷移至類似問題的能力.

“撞桌球問題” 解決原理運(yùn)用的最好體現(xiàn)是閱讀理解題型.

例6：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

提示：如圖，可以作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)是最小的.這樣，你只需求出OE的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn)E的坐標(biāo)了.

點(diǎn)評(píng)：第（2）小題用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化后，DE+CF的長(zhǎng)轉(zhuǎn)為D'E+CF，根據(jù)原模型的解決原理應(yīng)將點(diǎn)C平移至D'E所在的直線，使對(duì)稱點(diǎn)D'與定點(diǎn)C共線，故將CF平移至EG的位置，使D'E+CF=D'E+GE=D'G.

設(shè)計(jì)意圖：例6通過閱讀理解的方式，引導(dǎo)學(xué)生歸納出數(shù)學(xué)模型的解決策略，然后改變問題的背景條件，對(duì)結(jié)論進(jìn)行延伸拓展，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力、對(duì)函數(shù)幾何的運(yùn)用能力、運(yùn)用問題轉(zhuǎn)化問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

3. 根據(jù)數(shù)形結(jié)合問題編制綜合題

中考的壓軸題大多是考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想巧妙地解決函數(shù)問題和幾何運(yùn)動(dòng)型問題，注重考查學(xué)生的綜合能力和轉(zhuǎn)化問題的能力.當(dāng)我們?cè)诓煌瑤缀伪尘爸袕?qiáng)化某個(gè)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用訓(xùn)練并總結(jié)解法后，就要將其運(yùn)用到綜合題型中，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去探索、解決問題.此時(shí)，教師要結(jié)合考綱難度，選擇最具代表性的類型對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，緊防“滑過”現(xiàn)象.

“撞桌球問題” 根據(jù)考綱的難度，在綜合題中最典型的問題是：在拋物線上構(gòu)建此模型，將軸對(duì)稱問題、全等或相似問題、坐標(biāo)點(diǎn)問題和函數(shù)問題相結(jié)合，考查學(xué)生的綜合能力和轉(zhuǎn)化問題的能力.其難點(diǎn)問題是求點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)法和幾何法的選擇.

例7：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）.（1）試求出拋物線的解析式；（2）問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，試求出△QAC的周長(zhǎng)的最小值，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

點(diǎn)評(píng)：①利用拋物線的對(duì)稱性找最短距離.②求點(diǎn)的坐標(biāo)有兩個(gè)方法：代數(shù)法（聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)方程）和幾何法（運(yùn)用幾何知識(shí)求點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的垂線段長(zhǎng)，一般利用相似或勾股定理）.③利用相似和勾股定理即可求得最短距離.

例8：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-■x■），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-■）.（1）求拋物線的表達(dá)式.（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC.判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由.（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得△FBD的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

點(diǎn)評(píng)：第三小題作出最短距離后，采用逆向思維轉(zhuǎn)化問題：①考慮選擇用代數(shù)法或幾何法求點(diǎn)的坐標(biāo).②作FM⊥y軸于點(diǎn)M，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從軸對(duì)稱性及矩形的性質(zhì)、全等的知識(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F是AC的中點(diǎn).③從解題方法的優(yōu)化角度考慮應(yīng)選擇幾何法求動(dòng)點(diǎn)F的坐標(biāo).

例9：如圖，拋物線y=

-■x■-■■x+■交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.（1）求A、B、C的坐標(biāo).（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC：①求E點(diǎn)坐標(biāo).②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由.（3）試探索：在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由？

點(diǎn)評(píng)：逆向思維：①比較代數(shù)法或幾何法，此題應(yīng)采用代數(shù)法求點(diǎn)P的坐標(biāo).②轉(zhuǎn)化問題：確定直線A'D的表達(dá)式→求點(diǎn)A'的坐標(biāo)→結(jié)合RT△AOC的位置，作A'F⊥x軸于點(diǎn)F，結(jié)合相似采用幾何法求點(diǎn)A'的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：①根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律由易到難，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，掌握求點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)、方程、全等、相似等幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.②例8和例9從結(jié)論入手，通過問題的層層轉(zhuǎn)化來(lái)指向題設(shè)條件，使問題解決簡(jiǎn)單化，鍛煉了學(xué)生的逆向思維.③著眼于解題方法的優(yōu)化及對(duì)比，讓學(xué)生更有效地感受數(shù)形結(jié)合思想化繁為簡(jiǎn)的神奇，提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性及深刻性.④3個(gè)例題集一次函數(shù)、軸對(duì)稱、二次函數(shù)等知識(shí)于一體，主要培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐操作能力、探索能力、想象能力及數(shù)學(xué)運(yùn)用能力，符合考試大綱對(duì)綜合題的難度要求.

最后，從深入掌握技能，培養(yǎng)學(xué)優(yōu)生的角度來(lái)看，以數(shù)學(xué)模型為主線的題組設(shè)計(jì)不能只立足于中考難度，應(yīng)提供該模型關(guān)于質(zhì)同形異和形同質(zhì)異的更深一層的問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性.

責(zé)任編輯 羅 峰