數形結合的思想及應用

數形結合的實質是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀.數形結合通常分為以形解數和以數解形.

一、以形解數

“以形解數”是把代數問題轉化為幾何問題，經過觀察和證明，得到相關的幾何結論，從而解決代數問題.

1.用坐標法解決代數問題

坐標法是通過選擇適當的坐標系，建立數與形的對應關系，進行數與形的相互轉化，從而實現問題解決的解題方法.

例：如果實數x，y滿足（x-2）2+y2=3，則■的最大值為（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：待解問題■=■具有直線斜率的形式，可把它看成過定點（0，0）和動點（x，y）的直線斜率k，而x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，其幾何意義就是動點的軌跡是以（2，0）為圓心，■為半徑的圓，借助圖形可得k的最大值.

解：建立直角坐標系，設動點p（x，y），其中x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，因而p（x，y）是以A（2，0）為圓心，■為半徑的圓上的動點（如圖）.過定點（0，0）和動點（x，y）的直線斜率k=■.從上圖容易看出，當直線OP與A的上半圓相切時， k可取最大值.設相應的切點為B， 則kmax=■=■=■. 故選D.

2.用圖解法解決代數問題

圖解法是對數量關系進行適當的幾何解釋，把代數或三角問題轉化為幾何問題，再利用幾何和函數的圖像的知識實現的代數、三角問題解決的方法.

例：方程x2+x+a-1=0在區間（-2，2）有2個不等根，求a的取值范圍.

分析： 方程可變形為-x2-x+1=a，設f（x）=-x2-x+1（-2

解：方程變形為-x2-x+1=a，設f（x）=-x2-x+1（-2

二、以數解形

“以數解形”是把幾何問題轉化為代數問題，經過計算和推理，得到相關的代數結論，從而解決幾何問題.

例：如圖，過正方形ABCD的頂點C任作一直線與AB、AD的延長線分別交于E、F.求證：AE+AF？叟4AB.

分析：這是“形”的問題，但要直接從“形”入手會很棘手.若將結論變為（AE+AF）2-4AB（AE+AF）？叟0，再從此式的形式上看，聯想起一元二次方程根的判別式，從而把“形”的問題轉化成“數”的問題來解決.

證：設AB=a，AE=m，AF=n，連結AC.則S△AEF=S△AEC+S△AFC，即■mn=■am+■an，∴mn=a（m+n），設m+n=p，則mn=ap，所以m、n是方程x2-px+ap=0的兩根，而m、n為實數，故Δ=p2-4ap？叟0，又p>0，∴p？叟4a，即AE+AF？叟4AB.

我們往往對某些從正面直接求解比較困難的數學問題，通過數形之間的轉化，使問題更加清晰，解題過程更加明確，以達到求新、簡捷的效果.在利用代數解幾何問題或利用幾何解代數問題時，有機地把兩者結合起來，往往會達到事半功倍.

責任編輯 羅 峰