數學感覺的教學意蘊及實踐詮釋

【摘 要】數學感覺是對數學研究對象內在規律的整體把握，是直接、簡約和智慧的數學印象、數學意識、數學直覺和經驗感覺。數學感覺既具有不一定說得清的理性，也包含著某種非理性。培養學生的數學感覺，要從文化、情感、思維等方面對學生進行滋養。

【關鍵詞】數學感覺 文化 情感 思維

拉近學生與數學的距離是我的一個重要決斷。學生憑什么學習數學？當然要憑理性的數學思維能力和經驗，但這不是學生學習數學的唯一的手段或路徑?！耙磺兄R都從感官的知覺開始”（夸美紐斯），數學學得怎么樣跟有無數學感覺密切相關。亞里士多德說：“心靈沒有意象就永遠不可能思考。”數學感覺類似于這種意象，并指向學生心靈深處那片柔軟的區間，它豐富了學生數學學習的生命屬性，使數學更完整，使人更豐富有力。

一、數學感覺的內涵特征

（一）數學感覺的內涵

感覺是客觀事物的個別特性在人腦中引起的反應。筆者以為：數學感覺是對數學研究對象內在規律的整體把握，是直接、簡約和智慧的數學印象、數學意識、數學直覺和經驗感覺。它具有不一定說得清的理性，也包含著某種非理性。數學感覺充盈著兒童心中柔軟的區間，豐富著兒童數學學習的生命屬性。數學印象強調了作為感官參與的表征作用。數學意識突顯了數學學習的心理傾向。數學直覺表達了直接、簡約的思維頓悟。而經驗感覺則顯現出學習者本身的經驗基礎和獨特的學習視角，數學感覺具有能力指向的作用。

通俗點說，兒童的數學感覺可以是建立在實物操作基礎上的數學表象；可以是簡潔凝練但不一定完整的數學術語，比如“點到對邊的距離是三角形的高”；可以是指向概念、性質、定律等的數學圖式，比如“3+4=4+3”，“□+○=○+□”，“a+b=b+a”。兒童的數學感覺是一種直接、簡約的思維，無需一步一步推理，是數學學習經驗的個體理解和表達，是一種幸福的學習狀態，是一種直覺靈動的智慧頓悟。

有三點理解很重要：一是數學感覺不等同于數感。數感主要是指關于數與數量表示、數量大小比較、數量和運算結果的估計等方面的直觀感覺。二是數學感覺不等同于直覺。數學感覺包括數學直覺，比直覺的范圍更寬泛。直覺是一種創生的思維和智慧。數學感覺包括數學印象、經驗感覺和直覺智慧等學習經驗品質。三是數學感覺有利于建構數學圖式。建立數學圖式是兒童數學學習的一種實踐方式，是一種知識的呈現形式。數學感覺是兒童學習數學的一種實踐策略，是一種學習的思維路徑和智慧的表達形式，數學感覺可以幫助學生建立數學圖式，并對數學進行解釋和應用。

（二）數學感覺的特征

1.整體認知的表征性。

學生對數學現象、概念、規律等的認識首先是感知的結果，是對思維對象（數學內容、結構及關系）從整體上進行考察，跳過中間步驟，放過個別細節，調動自身的知識經驗和豐富想象作出的假設、猜想或判斷，因而具有整體特質。

2.形象認知的直覺性。

學生形象思維豐富的特點，決定了數學感覺是指未經逐步分析而直接抓住問題的核心，迅速對問題的答案作出合理的猜測、設想或頓悟。因而，數學感覺具有直接性、跳躍性和頓悟性，是創造性思維的重要表現形式。正如數學家龐加萊所說：“邏輯用于證明，直覺用于發明?！?/p>

3.直接思維的非理性。

理性的思維一般都需要通過邏輯的推理。小學生對數學的理解有很多感覺性的認知，是一種初級的思維，其具體過程為：觀察、分析→跳躍式的推理→判斷，是憑借大量的知識和經驗所產生的結果，有一定的理性，也包含著無需嚴密邏輯推理的非理性。這和常有學生遇到完全沒有感覺、無處著手的問題時隨便猜一個答案有著本質的區別。

二、數學感覺的實踐滋養

1.指向數學感覺的文化滋養。

文化不同，感覺亦不一樣。小學數學的文化滲透應當讓學生去感悟數學之美，體驗數學探索的過程，領略其背后的文化價值和觀念。不能將其窄化為數學史，也不能將其無限泛化指向課堂的一切。

（1）背景滲透：體現數學史的文化精彩。學習“負數”時，可介紹中國古代“糧食入倉為正，出倉為負”的思想；學習“等腰直角三角形”時，可介紹古埃及數學家法列士利用在陽光下人的影子與身高相等的現象測出金字塔高度的故事；學習“圓柱體積的計算”時，可介紹發明家愛迪生在燈泡殼中灌滿水再將水倒入圓柱形量杯中，從而測出燈泡殼體積的故事。

（2）知識整合：強化數學課的文化意蘊。如將圓的認識、圓的周長、圓的面積系統綜合成“走進圓的世界”單元。課時內容的重組有助于學生在新的板塊內部進行有意義的發現和歸納。借助于音樂、美術、多媒體等解釋“自然中的圓”和欣賞“人文中的圓”，使圓所具有的文化特性浸潤學生的心田，使其擺脫習慣思維的陰影，感悟文化意蘊。

2.指向數學感覺的情感滋養。

豐富的數學感覺體現學生對數學學習的情感色彩。教師應當用富有情趣的言語解釋相關內容，揭示數學知識背后隱藏著的人物軼事，將數學知識與人的活動聯系起來，使其產生數學親切感。

（1）讓學生帶著情感去體驗數學。富有挑戰性的問題最能培養學生的數學情感，在潛移默化中改變學生的思維方式，促進其思維能力的發展。在教學蘇教版三下《長方形、正方形的面積》一課之后，教師將一個富有挑戰性的問題擺在學生面前：靠一面長80米的墻，用100米長的鐵柵欄圍一個停車場，面積不得少于800平方米，可以怎么圍？學生在積極的研究、探討及多次嘗試中，找到了解決實際問題的多種方法。問題具有挑戰性，學生的數學感覺被激活，學習數學的情感會更強烈。

（2）關注學生情感體驗的變化。行程相遇問題練習：小龍帶著一條狗去離家18千米的外婆家，每小時行走5千米。同時，爸爸從外婆家回家，每小時行走4千米。這條狗每小時跑8千米，它跑向外婆家，碰到小龍爸爸后，立即返回，碰到小龍后又馬上跑向爸爸，這樣來回地跑。幾小時后小龍和爸爸相遇？這條狗一共跑了多少千米？學生紛紛回答，直到有學生說出“8×2=16（千米）”，學生的情感變化經歷了如下過程：無從下手→令人吃驚→不甘示弱→豁然開朗。教師應關注常態課堂，善于發現學生之間的情感體驗差異，合理組織現場資源，放大學生的數學情感，引導他們感受數學學習的意義。

3.指向數學感覺的思維滋養。

（1）豐富數學感覺的直接性思維教學。中低年級學生的數學思維表現為直接性和圖像化。教學《認數》：小明家和冬冬家都在淮海路上。小明家距少年宮3000米，冬冬家距少年宮5000米，他們兩家可能相距多遠？教學時可以用拉繩子或畫圖的方法：①小明家、冬冬家在少年宮的同側，5000-3000=2000（米）；②小明家、冬冬家在少年宮的兩側，5000+3000=8000（米）；③小明家、冬冬家、少年宮不在同一直線上，兩家間的距離在2000米到8000米之間。這種沒有經過推理的直接性思維教學豐富了學生的數學感覺意識。

（2）豐富數學感覺的操作性理解教學。在教學“三角形任意兩邊的和大于第三邊”時，可安排學生操作探究：三組小木棒，第一組可以組成三角形，第二組兩根木棒的長度和等于第三根的長度，第三組是兩根木棒的長度和小于第三根的長度。量出各組每根木棒的長度，確定好長度后，讓學生“用一個等式或不等式來表示三根木棒能否組成三角形”。操作活動有利于深化學生的數學理解，激活其操作性思維，培養其數學學習的意識。

（3）豐富數學感覺的成長性生成教學。學習《圓的周長》一課之后，設計這樣的問題：假設在地球赤道上纏一根橡皮筋，同時在一個西瓜的最大橫截面上也纏一根橡皮筋。如果將地球和西瓜的半徑都加長1米，那么纏在地球和西瓜上的橡皮筋都將拉長。哪根橡皮筋被拉長的幅度大？有學生想象是纏在地球上的橡皮筋拉得長。有學生感覺需要計算說明。假設地球半徑為R米，西瓜半徑為r米，經過計算，纏在地球和西瓜上的橡皮筋都拉長“2π（R+1）-2πR=2π（r+1）-2πr=2π（米）”。從預想錯誤到經歷正確，從數學感覺到數學成長，教學有時要從超越數學本身的視角去思考。■

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省淮安市實驗小學教育集團）