例談如何引領學生感悟教材中的數學基本思想

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的“四基”是數學課程及其實施的基本目標。基本思想是教師與學生數學素養的重要標識。數學基本思想涵蓋抽象思想、推理思想和模型思想，蘊涵于數學教學內容之中。在教學過程中，教師要引導學生感悟數學基本思想，提升其數學素養。

【關鍵詞】數學基本思想 抽象思想 推理思想 模型思想 數學素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出，要“使學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。史寧中說：“數學基本思想很多，有數形結合、等量替換等，基本的數學思想主要有三個：一個是抽象，一個是推理，還有一個是模型。”數學基本思想很多隱含在數學教學內容中，如果與具體的數學知識剝離開來，單純地講數學思想是空洞的、抽象的，是沒有價值的。只有同具體的知識相結合，用具體的知識來分析和解決問題，數學思想才能發揮其存在價值。下面，筆者就小學數學一至三年級的教學內容來談談教師應如何引導學生感悟蘊涵其中的數學基本思想，提升他們的數學素養。

一、感悟抽象思想，提升數學素養

所謂抽象，是指從現實的材料中抽象出數量關系和空間形式進行研究，而不是研究具體存在于現實世界的事物本身。數學研究的是抽象了的東西，這些“抽象了的東西”來源于現實世界，來源于人們的感性經驗，是人們通過直觀和抽象得到的。蘇教版小學數學教材中涵蓋了自然數的抽象、計數法的抽象、四則運算的抽象、分數的抽象、幾何圖形的抽象等，下面僅就一至三年級的教學內容來分析說明。

1.自然數的抽象。

數概念的產生經歷了以下幾個階段：第一階段是分類，即根據事物的特點進行歸類，把具有相同特征和屬性的事物放在一起，以便于研究和討論。比如蘇教版小學數學教材一年級上冊第三單元“分一分”，把樹葉分在3個盤子里，可以把樹葉按形狀分成三類，也可以按顏色分成三類。第二階段是比較，即就兩種或兩種以上的同類事物辨別異同或高下，以便于更好地認識同類事物。人們常將實物按照大小、多少、高矮、長短、輕重分別進行比較。比如蘇教版小學數學教材一年級上冊第二單元“比一比”，新授部分比較兩根繩的長短、兩個學生的高矮，比兩種水果（石榴和柿子）的輕重。第三階段是多少，即同類事物在數量上進行比較，考察它們數量上的差異。第四階段是數數，即采用實物一一對應或口頭叨念或心中默念等方式查點數目，逐個說出數目，這是對事物的數量進行比較精確的界定。第五階段是記數，即用語言、符號、文字等替代物將數數的結果記錄下來，以便于日后使用。比如蘇教版小學數學教材一年級上冊第一單元“數一數”，第一部分的綜合性場景圖里各種物體的個數都不相同，分別是1臺滑梯、2架秋千、3匹木馬、4架飛機、5只蝴蝶、6只鳥、7朵花、8棵樹、9個氣球、10個小朋友。學生要開展數個數的活動。第二部分是十幅小圖及與其相對應的圓點圖。用圓點表示物體的個數，滲透了對應的數學思想。3匹木馬畫成3個圓點就是一個抽象過程，是第一次抽象，之后寫成數字“3”就是第二次抽象。教師在教學寫數的過程中，一定要讓學生經歷這種過程，感悟抽象的數學思想。

2.計數法的抽象。

人類經歷了漫長的過程，才從用文字表示數進入到用“十進制計數法”表示數的階段：第一階段創造數字符號。一年級小學生認識和表示0～10各數就處在這個階段。第二階段建立進位規則，即重復使用有限的幾個數字符號按一定規則進行組合表示大量數字，這是早期的“十進制計數法”。第三階段建立位置概念，即數字符號在不同的“位”表示基數不同的量。比如蘇教版小學數學教材一年級上冊的第十單元“認識11～20各數”的教學，讓學生從本質上領悟該計數方法，比如“11”中兩個“1”表示不同的量，第一個“1”表示1個十，第二個“1”表示1個一。第四階段建立十進制計數法，即按照“滿十進一”的原則，用0～9這10個數字表示所有的自然數。比如在教學“整數的認識”時，可以進一步凸顯“現實情境中的數量→小棒（或正方體組合）表示數→計數器（或算盤）表示數→寫數”這樣一個不斷抽象的過程，體現數學抽象的意義和十進制計數法的特點，讓學生在這個過程中感悟數學思想，促進其數學素養的提高。

綜上所述，小學數學一至三年級的教學內容中蘊涵著大量的抽象思想。教師在教學設計的過程中，要讓學生經歷過程，感悟抽象思想的價值。

二、感悟推理思想，提升數學素養

推理是數學的顯著特征，與這個特征有關的思想也就成為數學的核心思想。數學推理的模式有兩種，即演繹推理和歸納推理。演繹推理就是按照某些規定的法則進行的、前提與結論之間有著必然關系的推理。歸納推理則是按照某些法則進行的、前提與結論之間有著或然聯系的推理。

1.小學數學的演繹推理。

在小學數學中，有很多地方都涉及演繹推理，比如蘇教版小學數學教材二、三年級的加法運算的規則、乘法運算的規則等。從本質上說，自然數的加減都是整數，都是“+1”的復合，加法是順著數，減法是倒著數的。什么意思呢？如“7+2”就是順著7的后面數2個數得9，“7-2”就是7倒著數（往前數）2個數得5。當數字很大時，一個個地數要花很長時間，于是便有了筆算加減法，其本質就是十進制計數法的“位置原理”，比如“32+54=（3×10+5×10）+（2+4）=8×10+6=86”。如果是進位加，就要遵守“滿十進一”的原則，如“37+48=（3×10+4×10）+（7+8）=7×10+1×10+5=8×10+5=85”。乘法豎式的計算規則是用乘法分配律來完成的。這里就不再說明了。

2.小學數學的歸納推理。

在小學數學中，使用最多的歸納推理是簡單的枚舉推理，也叫不完全歸納推理。即從一些個別或者特殊的事物出發，概括出一般性概念、原則或結論的思維方法。比如教學蘇教版小學數學教材二年級“長方形周長的計算方法”時，可以觀察一些典型的長方形，然后寫出它們的周長：

這樣很容易歸納出：長方形的周長就是兩條長和兩條寬的和，即“長×2+寬×2”或“（長+寬）×2”。

一年級開始安排“思考題”，有些涉及的數學思想深刻一些，能夠發展學生的數學思維。在教學中一定要讓學生去感悟這些思想，這對提升其數學素養是很有幫助的。

三、感悟模型思想，提升數學素養

數學模型是指對于一個現實對象，為了達到特定目的，根據其內在的規律，做出必要的簡化假設，再用適當的數學工具將現實對象轉化成一個數學結構。數學建模就是建立教學模型用于解決現實問題的全過程，包括表達、求解、解釋、檢驗等基本過程。數學模型思想是用數學的語言描述現實世界所依賴的思想，也就是讓數學走出數學的世界，是構建數學與現實世界之間的聯系的橋梁。數學模型思想和數學模型緊密聯系在一起，不能單獨存在。

小學數學教材中蘊涵了許多數學模型和模型思想。在數學教學中，利用學生可以理解的形象、直觀、具體的實例來說明，通過實例來幫助學生理解抽象的教學內容，這些實例就是數學模型。在教學中，通過一個典型問題的解決，帶動相關問題的解決，從一個到一類，這就是模型思想。教師在教學這類問題時，一定要滲透，讓學生去感悟。比如蘇教版小學數學教材三年級上冊第三單元“千克和克”，在教學“2千克=（ ）克”時，引導學生經歷“1千克=1000克”的學習過程，理解了兩者之間的進率，很快，“2千克=（2000）克”就可以解決，反過來“2000克=（2）千克”也就迎刃而解了。這種模型建構好了，學生對于“7千克=（ ）克”“9000克=（ ）千克”這一類的問題就都可以解決了。

總之，數學思想蘊涵在教學內容中，教師要善于把握，讓學生經歷過程去體驗和感悟數學思想，這對提高學生的數學素養有極大的幫助。■

（作者單位：南京市鼓樓區教師進修學校）