數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵、價值及教學(xué)建議

【摘 要】數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)精神的內(nèi)核，是源于知識和方法，但又高于知識和方法的具有普遍指導(dǎo)意義的科學(xué)思想。重視數(shù)學(xué)思想教學(xué)，可以為學(xué)生架設(shè)通往數(shù)學(xué)巔峰的云梯。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了大量的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)思想的力量，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 內(nèi)涵解讀 教材透視 教學(xué)建議

教學(xué)有三重境界：第一重境界——授人以魚，基于課本教知識；第二重境界——授人以漁，基于知識教方法；第三重境界——悟其漁識，基于方法教思想。“學(xué)如弓弩，才如箭鏃，識以領(lǐng)之，方能中鵠。”這是袁枚在《隨園詩話》中的一段話，十分形象地指出了“魚”“漁”“識”三者之間的關(guān)系，也正映射了教學(xué)的三重境界。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法。只有重視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟、發(fā)現(xiàn)和生成過程，學(xué)生才能真正領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵究竟是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了哪些數(shù)學(xué)思想？教學(xué)中如何讓學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)思想？我結(jié)合自己的教學(xué)實踐進(jìn)行初步的闡述。

一、內(nèi)涵解讀：揭開數(shù)學(xué)思想的神秘面紗

小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系有兩條線索：一是數(shù)學(xué)知識線，這是寫在教材上的明線；二是數(shù)學(xué)思想方法線，這是教材編寫的指導(dǎo)思想，也是數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)涵的精神實質(zhì)，它是一條暗線。前者是內(nèi)容載體，后者是精神實質(zhì)。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵究竟是什么？不同的數(shù)學(xué)流派有不同的回答，但對數(shù)學(xué)思想的精神實質(zhì)的總體把握還是一致的。數(shù)學(xué)思想是在對數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法思考的基礎(chǔ)上升華結(jié)晶出來的一種具有普遍指導(dǎo)意義，并能解決處理數(shù)學(xué)問題的科學(xué)思想。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。

數(shù)學(xué)思想是用數(shù)學(xué)的思維方式去考慮、處理與解決問題的思維習(xí)慣，是人們通過數(shù)學(xué)活動形成的對數(shù)學(xué)基本知識和基本問題的一種本質(zhì)性的看法，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)精神和文化的核心，也是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)思想之重要正如日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用……惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身。”數(shù)學(xué)思想是學(xué)生習(xí)得的帶得走、用得上的素養(yǎng)和能力，是指導(dǎo)學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)、工作中解決問題的行動指南。

二、教材透視：挖掘數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容體系及教學(xué)建議

張景中院士曾說過：“小學(xué)數(shù)學(xué)很初等，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊(yùn)涵了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。”可以毫不夸張地說，小學(xué)數(shù)學(xué)的每一課都蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)思想，有的是顯性的，一目了然；有的是隱性的，需要深入挖掘。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》（史寧中主編）指出：數(shù)學(xué)的基本思想主要是指數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想。由上述基本思想派生、發(fā)展出來的下位數(shù)學(xué)思想還有很多。如由抽象思想派生出的下位數(shù)學(xué)思想有分類思想、集合思想、符號化思想、對應(yīng)思想等；由推理思想派生出的有歸納思想、演繹思想、化歸思想、類比思想等；由建模思想派生出的有化簡思想、量化思想、函數(shù)思想、方程思想、優(yōu)化思想等。明確這些數(shù)學(xué)思想分別蘊(yùn)涵在哪些知識之中是做好學(xué)生數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)工作的基本功。我對蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了不完全的挖掘與梳理，如下表所示：

下面僅就抽象、推理、模型三種數(shù)學(xué)基本思想，探究其內(nèi)容本質(zhì)，梳理教學(xué)應(yīng)用的途徑。

1.抽象思想及教學(xué)應(yīng)用。

所謂抽象，就是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征。數(shù)學(xué)抽象主要包括兩個方面：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象。

例如，教學(xué)蘇教版一年級上冊《認(rèn)識1、2、3、4、5》一課時，我先引導(dǎo)學(xué)生在第2頁的圖上找一找有哪些物體。再點(diǎn)一點(diǎn)、數(shù)一數(shù)。接著讓學(xué)生說一說每種物體有幾個，并發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生仿照“一頭大象”說“一***”，并板書出來。然后從一頭大象、一個太陽等抽象出數(shù)字“1”，從兩只犀牛、兩棵樹等抽象出數(shù)字“2”……

學(xué)生認(rèn)識數(shù)的過程，不只是單純認(rèn)識數(shù)字符號，而是一個從具體到抽象的過程，教師應(yīng)綜合考慮數(shù)、數(shù)量、數(shù)量關(guān)系等要素，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的特征設(shè)計和組織相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)。“認(rèn)數(shù)”教學(xué)中需要注意以下幾點(diǎn)：第一，引導(dǎo)學(xué)生看圖感知數(shù)量。把看到的數(shù)量盡可能地表達(dá)出來，建立實物與數(shù)量之間的關(guān)系，了解實物的個數(shù)可以用數(shù)量表示。第二，從數(shù)量抽象為數(shù)。從一頭大象、一個太陽等抽象得到數(shù)字“1”，從兩只犀牛、兩棵樹等抽象得到數(shù)字“2”，……是從數(shù)量到數(shù)的抽象。第三，感知數(shù)量的多少和數(shù)的大小。“比較大小”要完成兩個層次的抽象，一個是比較數(shù)量的多少，一個是比較數(shù)的大小。比較數(shù)量的多少應(yīng)當(dāng)是將同樣的東西進(jìn)行比較，我們不能說4個梨比3個猴子多，只能說4個梨比3個梨多。只有抽象為數(shù)的時候，才能比較大小。

2.推理思想及教學(xué)應(yīng)用。

所謂推理，是指從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。在本質(zhì)上，數(shù)學(xué)推理分為歸納推理和演繹推理兩大類。歸納推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。通過歸納推理得到的結(jié)論是或然的。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理。小學(xué)數(shù)學(xué)的基本性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等大都是通過探究一類事物的部分對象，來作出有關(guān)這一類事物的一般性結(jié)論的，這樣的推理是不完全歸納推理。

例如，教學(xué)蘇教版四年級下冊《3的倍數(shù)的特征》一課時，我給每個學(xué)生發(fā)了一盒火柴，讓他們在紙上擺出15、23、27、111等數(shù)，并填寫實驗記錄單。接著，引導(dǎo)學(xué)生分析實驗記錄單，得出初步的數(shù)學(xué)猜想：火柴棒的根數(shù)是3的倍數(shù)，擺出的數(shù)也是3的倍數(shù)，也就是各個數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。僅僅憑借這四個數(shù)還不能完全說明結(jié)論的正確性，需要來驗證，于是讓學(xué)生自己舉例來驗證剛才的數(shù)學(xué)猜想是否正確。這一過程是典型的不完全歸納推理。在這一過程中，有實驗，有記錄，有觀察，有分析，有猜想，有例證。這樣從特殊的幾個數(shù)經(jīng)過不完全歸納推理得到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，可以用來解決普遍的此類問題。

3.模型思想及教學(xué)應(yīng)用。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。張奠宙認(rèn)為：“廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數(shù)學(xué)模型。如自然數(shù)系1、2、3……是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。”數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中分布十分廣泛，如數(shù)的表示、數(shù)的運(yùn)算、用字母表示公式、統(tǒng)計圖表等。因此，我們應(yīng)該清醒地知道“建模”“模型”對于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價值。

例如，在蘇教版四年級上冊《找一一間隔規(guī)律》一課中，我充分利用書本上的實際問題，以學(xué)生喜愛的小兔子曬手帕的情境引入，讓學(xué)生先觀察手帕和夾子的排列順序，再讓學(xué)生用小棒和圓片把手帕和夾子模擬擺出來，完成建模之前的數(shù)學(xué)抽象。學(xué)生在動手?jǐn)[的過程中自主發(fā)現(xiàn)：1根小棒對應(yīng)1個圓片，到最后還剩1根小棒沒有圓片做好朋友，所以小棒比圓片多1。進(jìn)而推理得到這一類問題的數(shù)學(xué)模型：一一間隔的兩種物體，當(dāng)兩端物體相同時，中間的物體比兩端的物體少1。這個數(shù)學(xué)模型是學(xué)生在動手操作中、在觀察思考的基礎(chǔ)上自主探究發(fā)現(xiàn)的，在練習(xí)中我再次創(chuàng)設(shè)開放的教學(xué)情境，提供給學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“圓形池塘邊樹木的排列規(guī)律”的機(jī)會，這也是數(shù)學(xué)建模中“破模”的過程，使學(xué)生對“兩種物體一個隔一個排列”的認(rèn)識從不封閉直線拓展到封閉曲線的思維層次。在這樣的探究過程中，學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，嘗試將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并通過對實際問題的分析處理，建立起某種特定的數(shù)量關(guān)系，利用相關(guān)的知識使問題得以解決。這么做的最終目的不是建立數(shù)學(xué)模型，而是要讓學(xué)生在解決問題的過程中形成建模思想，感悟數(shù)學(xué)精神。

數(shù)學(xué)思想是抽象的，小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)是以形象思維為主的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，絕不能抽象地講思想，而應(yīng)注重結(jié)合具體的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程中感悟與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。學(xué)生數(shù)學(xué)思想的感悟與形成需要有一個不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過程。這一過程是從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級的螺旋上升的過程。在這一過程中，需要我們教師首先做個思想者，不斷豐厚自己的數(shù)學(xué)思想，同時還要做一個“思想”的點(diǎn)撥者，不斷用我們的數(shù)學(xué)思想“敲擊”，讓學(xué)生在一次次被“敲擊”的過程中，不斷積累、感悟、發(fā)現(xiàn)、理解、生成自己的數(shù)學(xué)思想，直到最后自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實際問題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和實踐能力。■

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省江陰市新橋中心小學(xué)）