在問題中培養思維能力

在浙江省杭州市結束的“卡西歐杯”第八屆全國初中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動中，無錫市江南中學張珉老師憑著新穎獨特的教學設計、沉穩干練的教學風格和扎實全面的綜合素質，贏得現場知名專家和來自全國各地數千名教師的一致肯定和贊揚，并榮獲一等獎。

張老師上的課為蘇科版《數學》七年級（上）“有理數和無理數”的教學內容。新修訂的蘇科版教材把無理數的概念前置到有理數部分之前，目的是完善數學體系，為后續涉及實數體系知識的教學提供依據。本節課先讓學生感受無理數產生的現實背景和引入的必要性，然后讓學生經歷無理數發現的過程，感知生活中確實存在有不同于有理數的數，從而激發學生探求的欲望，最后歸納得到有理數和無理數的定義，并能清晰地判斷有理數和無理數。

創設“情境型”問題，培養思維的深刻性

師：隨著年齡的增長、學習的深入，我們對數的認識也在不斷地更新，請同學們回憶一下，到目前為止，我們已經學過了哪些數？

生：自然數、整數、分數、正整數、負整數、正分數、負分數、小數、有限小數、無限循環小數、無限不循環小數、偶數、奇數、質數（素數）、合數、正數、負數……

師：我們已經學過了這么多數，那么這些數之間有什么關系，讓我們來整理一下？

生：正整數、負整數、0、自然數、素數（質數）、合數、奇數、偶數。

（在開始記錄的數的上方編號①）

師：你能把屬于分數的都找出來嗎？

生：正分數、負分數、有限小數、無限循環小數、帶分數（在開始記錄的數的上方編號②）。

師：剩下還有一些數，它們是整數嗎？是分數嗎？

生：不是整數，也不是分數。

師：如果說到“正數、負數”，那么它們與整數是什么關系？

生：正數里有整數，負數里也有整數。

師：正數中有一部分數是整數，就是正整數，負數中有一部分數是整數，就是負整數，還有什么整數？

生：0。

師：小數有哪些呢？

生：有限小數、無限循環小數。

師：有限小數可以化為分數，無限循環小數可以化為分數。還有沒有其他的小數呢？

生：π、0.3142537…

師：它是整數嗎？是分數嗎？

生：都不是。

（課件展示π）

師：借助電腦計算可得到π的一個結果，但是還沒有寫完，其實也寫不完，所以最后用了省略號。請同學們觀察，它是怎樣的一個小數？（說不出無限，提示省略號是什么含義）是一個循環小數嗎？事實上是一個無限不循環小數。

…………

《數學課程標準》指出：“要增強學生發現問題和提出問題的能力，要重視學生的問題意識以及解決問題綜合能力的培養。”在本教學片段中，張老師通過與學生一起回顧所學過的數，幫助學生認識到：以前學過的數中絕大多數是整數和分數，絕大多數小數也都可以轉化為分數或整數。但也有極個別的數沒法化成分數或整數，這些數擁有共同的特征：都是一個無限小數，而且小數點后的數，其排列是“無循環規律”。張老師通過這樣的教學過程，揭示了無理數的客觀存在及其本質屬性——無限不循環的小數。

建立“活動型”問題，培養思維的探究性

師：請同學們拿出準備好的兩個邊長為1cm的小正方形和剪刀，將小正方形沿著圖中對角線剪開，設法重新拼成一個大正方形。大家動手試一試剪剪看。

（學生動手操作）

師：經過同學們的努力，基本都完成任務了，請兩位學生把自己拼的圖在黑板上展示。

師：你們知道這個大正方形的面積是多少嗎？為什么？

生：它的面積為2cm2，因為它是由兩個面積為1cm2的小正方形拼成的。

師：知道了這個圖形的面積是2cm2，你還想知道它的一些什么信息呢？

生：邊長。

師：你能不能求出邊長？

生：……

學生在小學階段對自然數、分數或小數等有了初步的認識，進入初中后，接觸到了負數，學生所認識的“數”有了進一步的擴充，同時也知道了整數和分數的分類。但學生在學習“無理數”概念時可能會存在困難或疑惑，為此，張老師在教學中設計了操作活動——把兩個面積為1cm2的正方形剪拼成面積為2cm2的大正方形，再提出這個大正方形“你能不能求出邊長”的問題，引導學生探索，這樣既能使學生確認無理數的存在，又能順理成章地導出無理數的概念。通過拼圖，讓學生感受到現實世界中真真切切存在著“a2=2”這樣的實際例子，揭示了研究無理數的必要性和現實性。同時讓學生在動手操作中發現問題、提出問題，通過分析、類比、歸納、討論、交流等形式解決問題，自然生成概念，形成認知。

鞏固“再生型”問題，培養思維的嚴密性

師：把下列各數分別填入相應的大括號內：

-0.5，-6，2.5，0，+3，-0.333，

-1.41421356……，2005，3.141，85%，0.3030030003……，，π。

生：有理數集合有：{-0.5，-6，2.5，0，+3，-0.333，2005，3.141，85%，，……}；無理數集合有：{-1.41421356……，0.30300 30003……，π……}。

師：分數都是有理數嗎？

生1：不一定，如，計算器計算顯示的結果是3.142857143，但好像是無限不循環小數，也就是無理數。

生2：不一定，如就是無理數。

在本教學片段中，張老師引導學生理解有理數的意義，了解無理數的概念，判斷一個數是有理數還是無理數。在教學過程中，張老師設置大量教學活動，讓學生動手動腦，積極參與教學活動，體現了“數學教學主要是數學活動的教學”這一教育新理念。

綜觀整節課，張老師的教學是以學生的“學”為出發點進行設置的，層層遞進，使學生主動地獲取知識，并在獲得知識的過程中感受轉化、歸納、特殊與一般等數學思想，促使思維相互碰撞，進一步激發思維的靈感以迸發創造的火花。教師對本課的重點（理解有理數與無理數的概念）和難點（無理數概念的理解）把握得非常準確。在拼圖中，教師通過“知道了這個圖形面積是2cm2的正方形，你還想知道它的一些什么信息呢”這樣一個簡單設問，展現了數學家的思考方式，培養學生學習“數學地思考問題”；在探索過程中，通過實踐、操作、探索、思考、歸納，展現了數學研究的方式，同時滲透了數學中的一種重要思想——逼近思想。

在教學中，張老師能處處以學生為主體，引導學生不斷地試驗、操作、探索，漸漸走向真理。本節課注重活動與探究相結合，討論與歸納相結合，思維訓練與能力提升相結合，以知識點形成知識鏈，再結合已有知識形成知識網絡，很好地完成了本節課的教學目標。整個教學過程重在學生的感知、感悟、數學思想方法的滲透，培養學生學習數學的方法，培養學生的實踐意識和探索精神，是一堂難得的好課（作者單位：江西省吉安市神崗山學校）

□責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyzyy@163.com