基于兒童立場的數學規定教學

作者簡介：

中學高級教師，江蘇省特級教師，

省級以上刊物發表文章100余篇。

大凡數學規定，作為教師往往可以堂而皇之地“告訴”兒童，認為這本沒有多少道理可講，并以此拒斥數學規定的探究性學習。即使兒童出于強烈的好奇心問幾個“為什么”，也會被老師“就是這樣規定的”之解釋嗆得無語。教師在有意、無意中扼殺著兒童的好奇心與創造性。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：要感受“規定”的合理性，并在這個過程中學會數學思考，感悟理性精神。從兒童的心理來看，兒童感受到自己是發現者、研究者、探索者的需求比誰都強烈。因此，從培養人、發展人的高度認識和改進數學規定的教學是每個數學教師需要解決的重要問題。下面，筆者結合教學實踐談幾點自己的思考。

一、辨別比較中分化規定

一些數學規定是在區別于其他規定且在簡化自身的過程中逐步形成的，體現了人類的求簡思維，并考慮規定的唯一性、相容性和不循環性。這些數學規定的教學，就需要對比呈現相關易混淆的規定，并引導兒童在辨別比較中體會如此規定的必要性與合理性。而且，兒童在使用這些規定時，容易體會到隨意表達會引起數學交流的混亂，給思想的溝通和文化的傳承造成障礙。“數學的規定就像生活中的交通規則”，孩子們說得多好啊！正是有了規定，才保證了數學的秩序！如此，兒童就能更好地理解數學規定，將其納入已有的認知結構，并能有意識地正確使用這些規定進行規范化的數學表達。

含有字母的乘法式子簡寫規則較多，對于四年級兒童來說，掌握并熟練運用較為困難。兒童簡寫時所出現的大多數錯誤往往是由于循著自己的理解造成的。其背后的深層原因則是由于對規則的制定缺乏應有的了解，常常存在“為什么這樣寫，而不那樣寫”的疑問。比如，兒童將“a×2”簡寫成“a2”，將“1×a”簡寫成“1a”，將“a2”讀成“a二”等。我在教學時，有意識地將這些規則與相關規定加以對比，讓兒童在對比中從自己的規則體系中分化出合理的規則。對省略乘號的規則，我通過編講數王國中由于人們混淆使用“X”與“×”而發生爭執的童話，讓兒童輕松、愉悅地明白：省略乘號可以避免與“x”的混淆。對“a×2”簡寫成“2a”的規定，我將其與“a×a”寫成“a2”及表示一列數“a1，a2，a3，…”中的“a2”對比呈現，兒童很快明白：“2a”中的“2”寫在前面是為了避免與后兩者混淆，后兩者將“2”一個寫在上，一個寫在下，一個讀作“a的平方”，一個讀作“a二”都是為了區別，而平方（冪）是一種比乘法更高級的運算，寫在上方更合理。對“1×x”和“x× 1”的簡寫，我則喚醒兒童頭腦中1與一個數相乘求積的經驗，從而得出：按乘法的定義，這兩個式子都應當化簡成“x”。對“字母和字母相乘，省略乘號后一般按字母表的順序寫”這一規則，我引導兒童回憶交換律及比較“abcde”與“bedac”兩個式子，體會到：不僅可以按序寫，而且按序寫更簡潔、明了，便于比較。

二、體驗規定的形成過程

數學的規定其源頭是并不是神秘、不可捉摸的，往往有著其合理性的一面。面對一個初次接觸的規定，好奇心的驅使必然會使兒童在思想上追問“為什么這么規定”。對于規定教學的不作為勢必會引發兒童觀念上的沖突，影響其對規定的認同乃至抵觸，甚至埋下學習犯錯的種子。因此，教師必須熟諳規定的形成過程，并以適合兒童的方式讓其體驗規定的形成過程，從思想上認同規定的合理性，才能讓規定根植于兒童的心田，使今后規定的應用源自內在的心智。

在六年級“確定位置”教學前，我課前調研初步預習的兒童，他們追問：為什么要以南北方向為基準？以前都叫“東北”，現在為什么非得叫“北偏東”？顯然，兒童在質疑這種規定的合理性。看來，僅以課本中的“東北方向也叫北偏東”告知兒童顯然是對其求知欲的褻瀆。我在教學時，利用課件在平面圖上分別顯示從正北方向略偏向東和從正東方向略偏向北的兩個位置，以此激發兒童自主創造不同的說法。對于后者，有的認為用“東偏北”比“北偏東”更合適，理由是“因為這個點已經超過了北偏東的中間那條線”。同學們也認同這個道理。但很快有同學質疑：如果正好在北偏東45°這個方向不就兩種說法都可以嗎？這樣規定就不唯一了，就會混亂！而且平面上的方向分8種來說，太麻煩了！我覺得時機成熟：對于“北偏東”和“東偏北”只能使用其中一種說法。那到底采用哪一種說法呢？通過情境創設，引導想象：在茫茫大海上航行，你怎樣辨別方向？兒童很快想到了指南針，并由此形成統一意見：在航海中，首先用指南針確定南北，接著再看偏離這兩個方向的角度，所以南北方向為基準，采用“北偏東”“南偏西”等這樣的說法更合理。

三、尋找合適的認知載體

很多數學規定在成人看來似乎不難理解，也很合理。但一段純文字的抽象表達足以讓兒童琢磨不透。所以，很多數學規定并不適宜采用“演繹”的教學方式，即呈現規定——做出解釋——舉例說明——模仿應用。這種接受式的學習會讓兒童喪失學習的熱情，導致規定的迅速遺忘，形成錯誤的根源。因此，基于兒童的已有經驗，尋找合適的認知載體，引導兒童通過歸納探究形成數學規定顯得尤為重要。這些載體包括問題情境、數學游戲、數學兒歌、數學童話、合情推理、幾何直觀、數學模型、數據分析等。針對不同的數學規定采用何種載體要視規定的內容和兒童認知特點而定。

“四舍五入法”對四年級兒童來說實屬不易，如果僅停留于對規定的機械應用，兒童的錯誤率很高。因此，如何讓兒童經歷這一規定的創造過程，體會這一規定源頭所閃爍的人類的自由思維是教學首要解決的問題。華羅庚說：“數無形則少直觀。”我在教學時，就抓住幾何直觀這個切入點，呈現數軸讓兒童觀察從31到39這9個數選擇最近的路，會去誰的家？（30和40外圍畫出了房子的外形）直觀地感受哪些數離30近，哪些數離40近。引導兒童自主創造出個位是1、2、3、4的就舍去，個位是6、7、8、9的就進1的規定。而對于個位是5的也絕不回避，它與30和40的距離一樣。兒童明白：數學規定為了便于應用和交流必須考慮唯一性。我在教學時，擬人化說：“為了不讓35為難，我們規定35去40的家。”這樣的規定充滿“溫情”，兒童能夠理解并體會數學思維的嚴謹。但我深知：兒童對為什么規定“五入”而不規定“五舍”還是心存疑惑的。在后續學習了求一個大數目的近似數后，我仍以數軸為載體讓兒童感知284999、285001與28萬和29萬的距離，體會這一規定對于尾數位數較多時只需看尾數最高位所體現的簡便、合理。隨著數學學習的深入，兒童發現對于尾數只有一位的任意一個數，將尾數“四舍”的可能性為■，而“五入”的可能性為■，這一規定對于一些情況（如近似計算）仍存在一定的不合理性。于是我進一步引導兒童思考：能不能將這一規定適當改進，使“舍”與“入”的可能性相等。結合兒童的探究引出“四舍六入五成雙”這一求近似數方法。在比較中，一方面體會到“四舍五入”的簡便易操作，也體會到對于更高要求，如何采用更合理的求近似數方法。

四、促進兒童的自主建構

很多數學規定僅僅說起來也挺容易，兒童經過反復應用和多次訓練也能內化為操作技能，但終究是外在于兒童的認知結構，不是兒童自主探究和創造成果的凝聚。正因為如此，我們也就不難理解為什么兒童在列綜合算式時常常出現“心里有括號，筆頭無括號”的現象。因此，對于數學規定我們必須從數學知識發生發展的視角加以審視，如果屬于兒童能夠自主建構的內容，我們就必須重建教學方式，讓兒童親身經歷，“重蹈人類思維發展中的那些關鍵性步子”（波利亞語）。這樣，兒童就會深刻體驗到：數學的規定并非高深莫測，并不來自于老師和課本，也可以自己創造。

在教學運算順序時，我創設問題情境：1本練習本2元，1枝鋼筆8元。買3本練習本和1枝鋼筆一共要花多少元？要求兒童列出綜合算式，并作記號表示先算什么。再出示：1本練習本和1枝鋼筆為1份獎品，王老師買3份獎品要多少錢？同樣要求兒童用自己的記號標出先算什么。由此，引發兒童的思維沖突：同樣是乘加混合運算，有時候先算乘法，有時候先算加法，這運算順序怎么規定呢？這時，教師引導兒童回顧數學學習過程：先是數數，然后是加減計算，接著是乘除計算，并明確乘除是比加減法更高級的運算。兒童發現高級運算優先更合理，所以最終自主選擇了先乘后加的運算順序。同時，對乘加混合運算中需要先算加法的就必須保留先算的記號。針對兒童所作的畫圈、畫框子、添括號、畫大括號等記號，教師充分肯定其創造性。在此基礎上組織兒童優選，發現添括號最簡潔明了。當兒童得知人類最終選擇并在世界通用的是小括號后，興奮之情無以言表。

當然，限于認知水平和已有數學知識經驗，兒童對有些數學規定或許一時無法明白其來龍去脈、必要性和合理性。但作為教師必須堅守兒童立場，熟諳規定的形成，著眼兒童的未來發展，選擇適當的時機逐步滿足兒童對人類如此規定的好奇心。（作者單位：江蘇省如皋師范學校附屬小學）

□責任編輯 湯金娥

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