擅“變”衍出千般彩

“變式教學”是通過定理、命題，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景暴露問題的本質，揭示不同知識點內在聯系的一種教學設計方法。通過“變式教學”，可以激發學生的好奇心、求知欲和創造力，增加學生的參與度，提高學生參與活動的興趣和熱情，從而產生意外生成，揭示知識的本質。變則靈動，變則出彩，吉安市數學學科帶頭人鄧武高老師在教學“垂徑定理”這節課時，通過定理的變式、例題的變式，引領學生在變式中領悟“垂徑定理”的本質。

盡展知識的探究過程，貫穿變式教學的生命線

（用多媒體展示）問題1：在⊙O中，AB是弦，CD是直徑，CD⊥AB，垂足為M，此時CD就是垂直于弦的直徑。直徑CD除了和弦AB垂直外，可能還會有哪些等量關系？（電腦顯示圖1沿直線CD折疊的動畫，并閃爍A、B兩點。教師引導學生進行圓形紙片的操作）

（學生演板）

師：如何用幾何語言表示這個定理。

生3：因為CD是直徑，CD⊥AB，所以AM=BM，

（師對問題1進行變式）

【變式一】：在⊙O中，AB是弦，CD是直徑，CD平分弦AB，你能得到什么結論？

（教師引導學生進行圓形紙片的操作）

生4：CD⊥AB，

師：若弦是直徑，結論成立嗎？

（學生積極思考）

師：一定要強調被平分的弦AB不是直徑，如何用幾何語言來準確描述？

生5：因為CD是直徑，弦AB不是直徑，AM=BM，所以CD⊥AB，

師：這是推論1——平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

【變式二】：在⊙O中，AB是弦，直線CD垂直平分弦AB。你能得到什么結論？

（教師引導學生進行圓形紙片的操作）

師：如何用幾何語言描述得到的結論？

生6：直線CD經過圓心，。

理由：因為AM=BM，CD⊥AB，所以直線CD經過圓心，

師：這是推論2——弦的垂直平分線必經過圓心，且平分弦所對的兩條弧。

還能有什么變式呢？你能得到什么結論呢？

生7：推論3——平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

師：垂徑定理及其推論反映了同一圓中的弦、弧、直徑之間有些什么關系呢？

生：一條直線在圓中若具有下列五個性質中的任何兩個，則也具有其他三個條件：①經過圓心；②垂直于弦；③平分不是直徑的弦；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優弧。

鄧老師對垂徑定理的題設與結論進行調換，變化出幾個推論，又由這些定理與推論總結出一條直線若滿足兩個條件，則可得到其余三個結論。學生經歷了知識探究的全過程，充分體驗到探索的樂趣以及領悟定理的真諦。學生的思維能力得到了提高和發展，學生思維的火花躍然而出。知識的探究過程是變式教學的生命線。在定理的變式過程中，學生發現問題、操作體驗、探索交流、質疑反思、解決問題，最后悟到定理。

■顯知識的“預設”和“生成”，展開變式教學的雙翼

（用多媒體展示）

問題2：如圖2，在⊙O中，弦AB的長為8 cm，圓心O到AB的距離為3 cm，求⊙O的半徑及弧AB的中點到弦AB的距離。

生1：過O作OE⊥AB于E，交⊙O于D，連接OA。則在Rt△OEA中，弦的一半、弦心距、半徑滿足勾股定理OE 2+AE2=OA2，則可求出OA，再由DE=OD-OC，可求出弓形高DE的長。

師：在⊙O中，已知弦長、圓心到弦的距離，則能求出⊙O的半徑及弓形高。在⊙O中有4個量：弦長、半徑、圓心到弦的距離、弓形高，若已知2個量，則能求出其余2個量嗎？請同學們仿照例題嘗試變式并給出解答。

生2：【變式一】如圖3，在⊙O中，半徑OC⊥弦AB，垂足為D，若OD=1，半徑為2，求弦AB和弓形高CD的長。

生3：可用OD2+AD2=OA2求AD，進而求出AB。由OC-OD=CD求出弓形高CD的長。

師：這是一個屬于圓的半徑、圓心到弦的距離來，求弦AB和弓形高CD的長。

生4：若已知弦長和弓形高，能求出圓的半徑、圓心到弦的距離嗎？

生5：同樣可以。

師：此題是垂徑定理的應用，是已知弦長和弓形高求半徑。在解題過程中要使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題的數學思想方法同學們一定要掌握。

（教師邊分析邊講解，并給出規范解答）

解：如圖，連接OC，

所以這段彎路的半徑為545 m。

同學們，你們能從這一類問題中得到什么啟示嗎？

生5：在⊙O中有4個量：弦長a、半徑r、圓心到弦的距離h、弓形高d，若已知2個量，則能運用求出其余2個量。

老師通過變換例題的題設與結論，適當拓寬了例題的應用范圍與難度，學生在變式題中升華觀點，促進了遷移，使學生的思維進一步縱深發展，從而由精心的“預設”到精彩的“生成”。鄧老師在講解完例題后，留出了時間與空間，鼓勵學生自主探索。鄧老師按著學生探索的方向解惑，發揮學生在變式教學中的主體作用，鼓勵創新，培養求異思維。

學生的有效發展是變式教學的魂，一個定理、一道例題從形成、發展、解決到生成，都是由學生通過自主探索和合作交流完成的，學生始終是課堂的主角。教學中鄧老師舍得放手，通過變式盡展知識的探究過程；通過變式反復敲打，引發學生的思考與參與；通過精心的“預設”到精彩的“生成”，讓知識得到升華與遷移。整節課“鮮活而靈動、形散而神聚”。（作者單位：江西省南昌市育新學校）

□責任編輯 周瑜芽

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