在假設中排除 在想象中轉化

5月10日至12日，在江蘇淮安參加了第16屆“現代與經典”觀摩活動，有幸聆聽了多位大師的精彩課，讓我印象特別深刻的是劉德武老師的課。盡管劉老師年齡偏大，但看上去精神矍鑠。恰巧早餐時，劉老師主動與我們打了個招呼，真像是我們的“師長”，讓人感覺特別親切！他執教的“平行四邊形面積”一課，設計精巧，思考靈動，語言魅力無不折服著我們。這當中尤其是他的教學構想“在假設中排除，在想象中轉化”，更是給人以啟迪。

在假設中排除

師：長方形面積公式是什么？正方形面積公式是什么？

生：長方形面積=長×寬。

生：正方形面積=邊長×邊長。

師：平行四邊形面積怎樣計算呢？

出示一個標準的平行四邊形圖。

師：猜一猜，這個平行四邊形的面積如何計算？

此時，劉老師針對“面積”的“積”引導學生思考，數學上的“積”一般表示兩個數相乘。根據長方形和正方形面積計算猜想，學生提出計算這個平行四邊形面積的三種假設，用6×5、6×4或5×4，劉老師在每道算式后面加了一個問號。

師：三種情況都能正確嗎？

生：不能，只有一個正確，或者都不正確。

師：估測一下，這個平行四邊形的面積大約是多少？

生：大約20平方厘米。

生：大約25平方厘米。

師：能停留在估測上嗎？

生：不能。

師：用1平方厘米的方格填入這個平行四邊形，里面一共有多少平方厘米？

生：20平方厘米。

師：這樣可以排除哪一道算式？

生：第三個算式5×4=20，因為它的面積比20平方厘米大。

師：把“？”改為“×”。繼續出示方格，看下圖，一共有多少個方格？

生：28個方格，28平方厘米。

師：這樣我們可以排除哪一道算式？

生：6×5=30（平方厘米），因為這個平行四邊形的面積比28平方厘米小。

師：第一道算式排除，第三道算式排除，能不能說明第二道算式就對了？

生：不能。

師：看，用電腦動畫演示一下，把它們移到相應的位置，正好補成了24個小方格，這里的6和4分別扮演什么角色？

生：6是平行四邊形的底，4是平行四邊形的高。

師：平行四邊形的面積怎樣算？

生：平行四邊形面積=底×高。

師：研究數學沒有國界，用漢字表示，外國小朋友看不懂，我們可以用字母表示：S=a×h。

劉老師從學生已有經驗出發，先幫助學生回憶了長方形和正方形的面積計算方法，為學生猜平行四邊形的面積計算公式打好基礎。接著，借助學生常見的“方格”研究一個標準的平行四邊形，采用“猜想—估計—排除—推理”的方法，把一個復雜的問題深入淺出地進行研究。首先，給出4cm、5cm和6cm讓學生猜想，究竟用哪兩個數相乘，學生提出三種假設。然后，用標準的1平方厘米去估計，從內部看，這個平行四邊形面積比20平方厘米多，排除第3個算式，從外部看，比28平方厘米少，排除第1個算式。最后，采用平移的方法，把平行四邊形內部的小方格進行“合并”，得到標準的24個方格，即24平方厘米。引導學生觀察，6cm就是平行四邊形的底，4cm正是平行四邊形的高，從而推導出結論。劉老師采用科學研究的方式，與孩子們一起經歷了探究過程，“在假設中排除，并進行推理驗證”。在此過程中，讓學生積累了數學活動經驗，感受了數學研究過程，提升了數學思維能力。

在想象中轉化

師：人們研究事物不能只通過一條途徑，要想證明一個結論是正確的，必須通過多條途徑。想一想，還可以怎么辦呢？

生：和剛才的圖一樣，把平行四邊形變成一個長方形。

生：把平行四邊形分成一個三角形和一個直角梯形，然后平移過去，變成一個長方形。

師：這位同學用了“平移”一詞，非常好！請同學們想象一下，這個平移的過程。用動作比畫一下，“走你”！（連續動畫，學生非常開心和老師一起“走你”！）

師：平行四邊形有多少條高？

生：無數條。

師：我們還可以怎樣分一分，再平移？

生：在中間畫一條高，然后平移過去。

師：請同學們先想象一下，把這個直角梯形平移過去，用動作比劃一下，“走你”！

師：觀察原來平行四邊形和平移后的長方形之間有什么關系？

生：平行四邊形的底等于長方形的長，高等于長方形的寬，面積不變。

（出示名稱，閃動線段之間的對應關系）

生：平行四邊形面積=底×高。

師：平行四邊形除了這樣畫高，還可以怎樣畫？

生：沿另一條底畫出一條高。

師：請同學們想象一下，把這個直角三角形平移下去，用動作比畫一下，“走你”！還可以畫出另一條高嗎？

生：沿中間畫一條高。

師：觀察平行四邊形和長方形之間有什么關系？

生：平行四邊形的這一條底等于長方形的寬，這條高等于長方形的長，面積不變。（電腦出示名稱，閃動線段之間的關系）

生：平行四邊形面積=底×高。

生：我發現，可以用不同的底和高求出平行四邊形的面積。

師：剛才，我們通過平移的方法求平行四邊形的面積，可不可以通過旋轉的方法也變成一個長方形？

（有一個學生舉手，教師讓他走上講臺）

生：找到這一邊的中心，畫一條線，把上面一個小三角形旋轉180度到下面，再找到這一條邊的中心，畫一條線，把下面的小三角形旋轉180度到上面。

師：我們一起來看一看，是不是可以變成一個長方形了。（學生自發為他鼓掌）

師：數學就是這樣奇妙，我們是怎樣根據長方形面積公式推導出平行四邊形面積公式的？

生：平行四邊形的底等于長方形的長，高等于長方形的寬，面積不變。根據長方形的面積=長×寬，可得出平行四邊形面積=底×高。

學生受方格圖中把不滿一格的“合并”成一格的啟發，很快想到把一個平行四邊形通過剪拼變成一個長方形，劉老師研究了“平移”和“旋轉”兩種不同策略。用“平移”方法研究了不同的底和高的情況，每一情況從不同位置畫高，都可以變成一個長方形，讓學生先想象后動畫，有意培養學生的想象力。把平行四邊形變成長方形后，觀察思考兩者之間的關系，配動畫演示對應的底和高，學生清楚地感受到面積不變，底和長，寬和高的相等性，再用演繹推導的方法得到平行四邊形面積公式。研究從不同方向作高，隱含著兩種對應的“底和高”，滲透了平行四邊形“每組底和高”的特征。劉老師還不滿足于此，為拓展學生的思路，想介紹“旋轉”的策略，有一位學生會這個方法，就順勢讓他介紹，全班為他鼓掌，使學生感受到了圖形變化的魅力。

師：可以嗎？（可以）很可以嗎？

生：用平行四邊形把湖泊框住了，平行四邊形的面積比湖泊的面積應該大一些了。

再出示圖2，在湖泊里面有一個平行四邊形，問湖泊的面積大約是多少？

生：如果用110×90計算，應該比湖泊小一些。

師：（順勢出示圖3）這樣可以嗎？

生：用120×100計算，更加合理。

師：“合理”用得好，古人都知道這個道理，用“出入相補”來描述。

生：把多出來的部分補給少的。

師：這個平行四邊形的底120米，高100米，面積大約是多少平方米？

生：120×100=12000（平方米）。

師：畫等號，還是約等號？

生：約等號。

師：從120×100等于12000平方米，本身有沒有大約？

生：沒有。

師：嗯，動腦筋想一想，是誰與誰在約，12000平方厘米代表標準平行四邊形的面積，用這個標準平行四邊形的面積約等于湖泊的面積，在答句中寫上大約，列式中不應該約等于。

劉老師精心設計了一道求湖泊面積的問題，把湖泊面積看成一個平行四邊形面積，怎樣看？部分孩子沒有清晰認識，先在湖泊外圍“套”一個平行四邊形，面積太大；接著在湖泊里面“套”一個平行四邊形，面積略小；最后采用“出入相補”的平行四邊形“放”上面，面積最接近。通過這三個平行四邊形面積的比較，讓學生深刻感受到，估計也要講究策略，滲透了無限逼近的思想。用不用“約等于號”部分學生混淆不清，對此，劉老師沒有直接告知，而是引導學生弄清問題本質，誰與誰在“約”，從而揭示了等量之間的替代關系。（作者單位：江蘇省寶應縣實驗小學）

□責任編輯 湯金娥

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