用假設法教學“抽屜原理”

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狹利克雷提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。分為原理1：多于n個的元素，按任一確定方式分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少2個元素。原理2：把多于np個元素（n、p∈N）分成n個集合，則至少有一個集合中含有至少p+1個元素。原理3：無窮多個元素分成n個集合，則至少有一個集合中含有無窮多個元素。抽屜原理1、2是小學六年級《數學》下冊第五單元的教學內容。在具體的教學中，筆者利用“假設法”進行教學，取得了很好的教學效果。

抽屜原理是討論物品與抽屜的關系，要求物品數比抽屜數或抽屜數的倍數多，至于多多少，這倒無妨。“任意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規定每個抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數。抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，但這里只需保證存在一個達到要求的抽屜就夠了。將a件物品放入n個抽屜中，如果a÷n=m……b，其中b是自然數，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個抽屜中的物品數不少于（m+1）件。

基于以上認識，在教學例1：“把4支鉛筆放入3個紙盒中，不論怎么放，總有一個紙盒里至少放進2支鉛筆”時，利用數據簡單這一特點，我們首先用“枚舉法”將所有的可能擺出，然后讓學生觀察，引導學生得出一般性的結論。當物體個數大于抽屜個數時，一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。然后引導學生理解“假設法”的思路，即先假設在每個盒子先放1支，還剩下1支，放入任意一個文具盒，那么這個文具盒就有2支鉛筆了。這種方法比“枚舉法”更為抽象，但更具一般性。教學完這兩種方法后，引導學生對他們進行比較，思考枚舉的方法有什么優越性和局限性，假設法有什么優點。

假設法最核心的思想就是將物品盡量多地平均分給各個抽屜，剩下的物品不管分給哪個抽屜，總有一個抽屜比平均分得的數量多1。這個核心思想是用有余數的除法這一數學形式表示出來。分得的物品數是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數”。為什么不是加余數而是加1呢？同樣可以有盡可能地平均分來理解，應假設余下的數量也盡可能地平均分到每個抽屜，那么總有一個抽屜比平均分得的數量多1，這樣就很好理解了。（作者單位：江西省南康市逸夫小學）

□本欄責任編輯 周瑜芽

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