打造“悟”的三步曲

《說(shuō)文》曰：“悟，覺(jué)也?！蔽虿皇歉嬖V，而是激勵(lì)，是喚醒，是點(diǎn)化，是體驗(yàn)。在一次骨干教師培訓(xùn)交流課上，劉榮嬌老師在“找次品”這節(jié)課上充分展示教師的主導(dǎo)作用，引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、對(duì)比、分析、反思、運(yùn)用，在分三個(gè)層次運(yùn)用天平“找次品”中體驗(yàn)“悟”的過(guò)程。

在充分感悟中尋找最優(yōu)策略

師：三瓶口香糖中有一瓶次品，它更輕一些，你有辦法把它找出來(lái)嗎？

生：通過(guò)觀(guān)察外包裝，可以找出次品。

師：這是采用了觀(guān)察法。如果外包裝區(qū)別不大，怎么辦？

生：稱(chēng)一下。

師：你會(huì)采用什么工具來(lái)稱(chēng)？

生：天平。

師：誰(shuí)愿意來(lái)表演一下天平，稱(chēng)出這瓶次品？

[一名學(xué)生在同學(xué)的笑聲中上臺(tái)，打開(kāi)雙手模仿天平]

師：一邊放兩瓶，一邊放一瓶，能找出這瓶次品嗎？

生：不能。

師：那應(yīng)該怎么做？

生1：天平兩邊各放一瓶。

生2：天平兩邊要放的瓶數(shù)必須一樣多。

師：如果天平是平衡的，次品在哪里？

生：次品肯定就是天平外的那一瓶。

師：如果一邊翹起，次品又在哪里？

生：翹起的那一邊就是次品。

師：要稱(chēng)幾次才能找到？有幾種可能？

生：有兩種可能，只需要稱(chēng)一次。

我們加大難度，現(xiàn)在有5個(gè)棋子，其中一個(gè)是次品，次品輕一些，請(qǐng)用天平找出來(lái)。

[生在小組合作中解決問(wèn)題]

生1：我們是分成5（1、1、1、1、1），先稱(chēng)兩個(gè)，如果不平衡，只需要稱(chēng)一次。如果平衡，再放另兩個(gè)，需要稱(chēng)兩次。

生2：我們是把5個(gè)分成5（2、2、1），天平一邊放兩個(gè)，如果平衡，剩下那個(gè)是次品，稱(chēng)一次。如果不平衡，把翹起的一邊中的兩個(gè)分開(kāi)來(lái)再稱(chēng)一次，需要稱(chēng)兩次。

師：我們發(fā)現(xiàn)，不管運(yùn)氣好壞，兩次都能找出次品。

師：這批零件有2187個(gè)，其中有一個(gè)次品更輕一些，猜猜看，你認(rèn)為要稱(chēng)多少次？

生1：100次。

生2：30次。

生3：1000次。

……

師：“天下難事必作于易，天下大事必作于細(xì)。”2187個(gè)太多了，我們可以采用化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想，找到最好的策略來(lái)解決。

找次品最優(yōu)策略的發(fā)現(xiàn)不可能一蹴而就，劉老師采取了“溫水煮青蛙”的方式，從最簡(jiǎn)單的三瓶中找一瓶次品，再過(guò)渡到五個(gè)棋子，最后再引出下面片段二的九個(gè)零件。這樣有梯度的設(shè)計(jì)有效地降低了學(xué)生尋找最優(yōu)策略的難度，尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和發(fā)展規(guī)律，為學(xué)生探究最優(yōu)策略搭好了“腳手架”。而從2187個(gè)零件中找一個(gè)次品，她讓學(xué)生大膽對(duì)所需次數(shù)進(jìn)行猜想。數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者波亞利曾說(shuō)：“在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的、負(fù)責(zé)任的態(tài)度?！边@樣的猜想可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望，形成積極的思維態(tài)勢(shì)，從而一步步進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的思考，感悟數(shù)學(xué)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的初步運(yùn)用。

在操作對(duì)比中領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)最優(yōu)策略

師：9個(gè)零件中有1個(gè)次品，次品重一些，至少稱(chēng)幾次就一定能找出？你能找出題目中的關(guān)鍵詞嗎？

生1：一定。

生2：至少。

師：你怎么體會(huì)這兩個(gè)詞？

生：用天平稱(chēng)的時(shí)候，要保證能找到次品的最少的次數(shù)。

師：再用天平稱(chēng)的時(shí)候，有時(shí)會(huì)因?yàn)檫\(yùn)氣好而提前找到，但這并不能保證我們每一次都能有這么好的運(yùn)氣，所以在尋找規(guī)律時(shí)，我們要做最壞的打算。請(qǐng)小組合作，拿出學(xué)習(xí)單，完成表格。

師：現(xiàn)在你能看出哪種分法能最快找出次品嗎？

生：第三種分法。

師：它是怎么分的呢？

生：這種分法是把9個(gè)平均分成了三份。

師：是不是平均分成三份的方法最好？你能不能舉例驗(yàn)證？

在教學(xué)中采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，形成了師生、生生之間的全方位、多層次、多角度的交流模式，通過(guò)小組合作探究找到了用天平在9個(gè)物品中找一個(gè)次品的各種方法，再通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)了找次品的最優(yōu)策略，進(jìn)而有一種“豁然開(kāi)朗”的感覺(jué)，達(dá)到領(lǐng)悟的效果。

四至六年級(jí)學(xué)段的學(xué)習(xí)目標(biāo)指出：在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能進(jìn)行有條理的思考，能對(duì)結(jié)論的合理性作出有說(shuō)服力的說(shuō)明，能表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程，并嘗試解釋所得的結(jié)果。學(xué)生通過(guò)合作探索、歸納總結(jié)出了“找次品”的最優(yōu)策略，劉老師并不滿(mǎn)足，而是讓學(xué)生舉例說(shuō)明，以解釋這個(gè)最優(yōu)策略，利用不完全歸納法誘發(fā)學(xué)生自覺(jué)地分類(lèi)、比較及運(yùn)用，使得學(xué)生真正把握了找次品的方法，從而對(duì)得出的結(jié)論從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。在發(fā)現(xiàn)最優(yōu)策略的過(guò)程中完成了“悟”的第二步。

在反思運(yùn)用中證實(shí)最優(yōu)策略

師：最優(yōu)策略是把物品總數(shù)平均分成3份?？墒菫槭裁雌骄殖?份，所稱(chēng)的次數(shù)最少呢？請(qǐng)認(rèn)真觀(guān)察表格，每一種分法在第一次稱(chēng)后，一次可以排除幾個(gè)正品？第一種分法，在天平兩邊各放兩個(gè)，如果平衡，次品在哪里？

生：在剩下的5個(gè)之中。

師：那在天平上的4個(gè)就是正品，占總數(shù)的幾分之幾？

生：九分之四。

師：第二種分法可以排除幾個(gè)正品？占總數(shù)的幾分之幾？

生1：九分之五。

師：第三種分法呢？

生2：九分之六。

師：第四種？第五種？第六種？

生3：九分之四。

師：最后一種？

生4：九分之二。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：第三種能排除的正品占總數(shù)的比率最高。

師：一次可以排除的個(gè)數(shù)越多，那么稱(chēng)的次數(shù)就越少。

師：我們?cè)賮?lái)解決從2187個(gè)零件中找一個(gè)次品的問(wèn)題，至少幾次一定能找出次品？

……

通常的數(shù)學(xué)課堂里，在找到最優(yōu)策略后，接著就是反復(fù)的練習(xí)以促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)方法的記憶和運(yùn)用?？墒莿⒗蠋煵](méi)有急于讓學(xué)生去練習(xí)，而是采取了回顧反思的形式?！盀槭裁雌骄殖?份，所需要的次數(shù)會(huì)最少？”這樣的一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生陷入了沉思，也讓我們陷入了沉思——數(shù)學(xué)廣角中學(xué)習(xí)的內(nèi)容是不是學(xué)生知道方法并會(huì)運(yùn)用方法就夠了？需要不需要讓學(xué)生弄懂為什么這樣做是最佳的？如何讓知識(shí)點(diǎn)升華？劉老師采取的方式是讓學(xué)生去證明自己找到的最優(yōu)策略的合理性，引導(dǎo)學(xué)生用“一次稱(chēng)量后，排除的正品個(gè)數(shù)占總個(gè)數(shù)的幾分之幾”來(lái)驗(yàn)證最優(yōu)策略，這種“證明感悟”的環(huán)節(jié)不僅加深了學(xué)生對(duì)最優(yōu)策略的理解，而且豐富了學(xué)生的情感體驗(yàn)，使生澀的數(shù)學(xué)知識(shí)變得容易理解，更培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)生在經(jīng)歷迷惑和挫折以后，在劉老師的引導(dǎo)點(diǎn)撥下真正明白了最優(yōu)策略的本質(zhì)，經(jīng)過(guò)思考后才產(chǎn)生覺(jué)悟。當(dāng)然，個(gè)人認(rèn)為“排除正品”的說(shuō)法有一些別扭，是否可以改為“確定正品”，或是在第一次稱(chēng)后將次品的范圍縮小到幾個(gè)，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)更容易一些。

教育家馬寅初說(shuō)：“對(duì)于書(shū)本知識(shí)，要深入鉆研，過(guò)細(xì)咀嚼，獨(dú)立思考，切忌囫圇吞棗，人云亦云，隨波逐流，粗枝大葉，淺嘗輒止?！眲⒗蠋熢诒菊n的教學(xué)中不僅重視結(jié)果，更重視了學(xué)習(xí)的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作的探究活動(dòng)，循著“由淺入深、逐步推進(jìn)、合作探索、深化理解、自主運(yùn)用”的思路，讓學(xué)生在“猜想、對(duì)比、總結(jié)、驗(yàn)證、運(yùn)用”的過(guò)程中真正體會(huì)到“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想。自主的學(xué)習(xí)活躍了學(xué)生思維，激發(fā)了學(xué)生的靈感，學(xué)生在“感悟、領(lǐng)悟、覺(jué)悟”的三步中自由舒展，悟性靈動(dòng)。（作者單位：江西省上饒市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

□責(zé)任編輯 湯金娥

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