古埃及人與勾股定理

按：本文選編自《勾股定理：悠悠4000年的故事》一書.

埃及人一定使用過公式（a2+b2=c2），否則他們不可能建造出金字塔，但是他們從沒有把這當作一個有用的理論加以描述.

——喬伊·哈克姆，《科學的故事》

美索不達米亞以東約800 km，沿尼羅河岸，另外一個古老的文明國度埃及在這里繁榮壯大. 這兩個文明國度和平共處超過3000年，大約從公元前3500年直到希臘時代. 這兩個國度都有發達的書寫技巧，熱衷于天文觀測，而且對他們的軍事勝利、商業交流和文化傳統有著非常詳盡的記錄. 但是，不同的是，巴比倫人把這一切記錄在泥板上，這的確是一個不易損壞的書寫材料；而埃及人使用的卻是紙莎草紙，顯然這是一種相當易碎的材料. 如果不是因為干燥的沙漠氣候，他們的文獻早就灰飛煙滅了. 盡管如此，我們對古埃及的了解還是少于對美索不達米亞的了解. 我們主要是通過在各朝代埃及統治者的墓穴里發現的藝術品來了解他們，或者通過少部分殘留下來的紙莎草紙卷軸，以及他們的神殿和碑文上的象形文字來了解他們.

眾多的埃及神殿中最著名的就是金字塔，前后大約歷時1500年人們建造金字塔來贊美統治者法老們生前身后的榮耀. 大量的文學作品都有關于金字塔的描述，遺憾的是，其中很多文學作品是虛構的. 金字塔吸引很多崇拜者的祭奠，這些人發現了這些墓碑與宇宙中事物間的隱含著的關聯，從π的值到黃金分割，再到星相. 借用著名埃及古物學家理查德·基靈斯的話來說：“作家、小說家、記者以及虛構小說的寫手們在19世紀發現了一個新話題‘金字塔’，對這個課題了解得越少，或者理解得越不清楚，那么他們可以駕馭的想象空間就越大.”

顯然，建造每條邊長為230 m、高為146 m的基奧普斯大金字塔這樣如此巨大的墓碑需要大量的數學知識，而且可以肯定這些知識當中一定包含畢達哥拉斯定理. 但事實是這樣的嗎？我們對古埃及數學狀況的了解主要來源于萊茵德紙草書，該書收集了84個問題，分別涉及算術、幾何和初等代數等領域. 該書是由蘇格蘭的埃及古物學者亨利·萊茵德于1858年發現的，這本紙草書長近5.5 m、寬近4 m. 它保存得非常完好，是我們得到的近乎完整的最古老的數學教科書（該書現存于倫敦大英博物館）. 這本紙草書是由一位名叫阿摩塞的抄寫員在大約公元前1650年寫成的，在西方稱其為Ah-mose. 但是，正如阿摩塞告知我們那樣，這本書不是他自己的著作，他只是把一份大約為公元前1800年的文獻抄寫下來而已. 書中對84個問題中的每一個問題都有詳細的求解過程，有些問題還配有圖. 最有可能的是這本著作是抄寫員學校使用的訓練手冊，因為這是分配給皇家抄寫員的文字工作的一部分，這些抄寫員通常要做的是讀（reading）、寫（writing）、算（arithmetic），即我們現代所說的“3R”.

在萊茵德紙草書的84個問題中，有20個幾何問題，這些問題大都是研究諸如求圓形谷倉的體積，或求給定尺寸的一塊土地的面積等問題（求土地面積問題對埃及人來說是一個非常重要的問題，他們的生計與尼羅河每年的洪水息息相關）. 其中有5個問題是關于金字塔的問題，但在這些問題中并沒有直接或間接地引用畢達哥拉斯定理. 其中重復出現的一個概念就是金字塔邊的斜度，顯然這一問題對施工人員來說非常重要，因為他們必須確保 4 個面相等而且有相同的斜度. 但是畢達哥拉斯定理呢？卻一次也沒有提到.

當然，就像考古學家喜歡說的那樣，缺乏證據不能證明不存在. 然而，很有可能的是，萊茵德紙草書是對抄寫員、建筑師或者收稅員等一類有知識的人在其生涯中所遇到的數學問題的一種概括，沒有提到畢達哥拉斯定理的事實充分提示埃及人不知道這個定理. 據說，他們是使用帶有等距離間隔的繩結的繩子丈量距離. 那么可以這樣推理：有3-4-5繩結的繩子一定會誘發埃及人發現3-4-5三角形是一個直角三角形，從而推斷出32+42=52的事實. 但是，沒有支持這種假設的任何證據. 更沒有如有些作家所描述的那樣，他們使用了3-4-5這樣的繩子來構造直角，使用鉛垂線似乎更容易實現這樣的目的. 對于這種情況，引用3個著名的古代數學學者的話作為概括最好.

在90%（關于數學歷史）的書籍中，有一本論述了埃及人知道邊長為3、4和5的直角三角形，并使用這個直角三角形擺出了一個直角. 這一陳述有多少價值呢？完全沒有.

——范德瓦爾登

沒有跡象表明埃及人有什么畢達哥拉斯定理的概念，盡管有一些關于“拉繩定界先師”（司繩）的沒有事實根據的故事，推測他們在有 3+4+5=12個繩結的繩子的幫助下構造出直角三角形.

——斯特洛伊克

好像沒有證據表明他們知道三角形（3，4，5）是直角三角形. 確確實實是這樣，根據最近的權威著作（皮特，《萊茵德紙草書》，1923），埃及數學中沒有什么東西說明埃及人知道畢達哥拉斯定理或者這個定理的任何特殊情況.

——希思

當然，考古學家們也有可能在某一天挖出某份文獻，它展示一個矩形，有如YBC 7289那樣標明它的邊和對角線. 但是，在這一發現之前，我們不能斷定埃及人知道直角三角形的3條邊之間的關系.

（摘編：海安縣李堡中學 張海燕）