“實數”中的數學思想

數學思想方法是數學知識內涵的精髓，同學們在學習的過程中要重視對它的提煉、概括和應用，長此以往必將對你的數學學習大有裨益.

1. 數形結合思想

數形結合的思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考慮，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.

例1 在數軸上作出■這個點的位置.

【分析】如圖，以數軸的單位長線段為邊作一個正方形，由勾股定理可知正方形的對角線長度為■，以數軸的原點為圓心，對角線長為半徑畫弧，與數軸正半軸的交點就表示數■.

2. 轉化思想

轉化思想就是將所要解決的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經解決的問題，是一種把復雜轉化為簡單的思想方法.

例2 已知x、y是實數，且（2x+y-6）2

+■=0，求4x+3y的平方根.

【分析】根據非負數的性質，若幾個非負數的和為0，則這幾個非負數均為0，得到關于x、y的二元一次方程組，解這個方程組可求出x、y的值，使問題得以解決. 這里巧妙地運用轉化思想，把問題化難為易.

解：2x+y-6=0，3x+2y-11=0.

解得x=1，y=4.

∴4x+3y=4+3×4=16.

16的平方根是±4.

3. 整體思想

整體思想就是從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析、探究問題的解決方法，從而使問題得以簡捷巧妙地解決.

例3 求2（2x-1）2-14=0中的x.

【分析】首先把（2x-1）看成一個整體，通過化簡可得（2x-1）2=7，所以（2x-1）就是7的平方根，所以2x-1=±■，從而得出x=■.