“勾股定理”重、難點突破

突破點1：對勾股定理及逆定理的再認識

例1 如圖1，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC

=70，AB=30. 求：BC的長.

【再認識】勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間的數量關系，它只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形. 因此解題中，常常需要構造適當的直角三角形.

【分析】本題中，考慮構造直角三角形. 由條件∠B=60°想到構造含30°角的直角三角形，為此作AD⊥BC于D，則有∠BAD=30°，BD=■AB=15，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長.

解：作AD⊥BC于D.

∵∠B=60°，∴∠BAD=90°-60°=30°.

∴BD=■AB=15.

在直角△ABD中，根據勾股定理，

AD2=AB2-BD2=302-152=675.

在直角△ACD中，根據勾股定理，

CD2=AC2-AD2=702-675=4225，

則CD=65.

∴BC=BD+DC=15+65

=80.

【變式】已知：如圖2，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=4，CD=2.

求：四邊形ABCD的面積.

【分析】如何構造直角三角形是解本題的關鍵. 此題中，可以通過連接AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E來構造直角三角形，而結合本題給定角的條件應選后兩種方法，再進一步根據本題給定邊的條件選第三種方法較為簡單.

例2 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F是AB上一點，且FB=■AB，那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？

【再認識】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，它通過三角形三邊的數量關系來研究圖形的位置關系. 解題時，需找到某兩邊的平方和等于第三邊的平方，從而將數轉化為形.

【分析】這道題中有許多隱藏條件，解題時要仔細讀題，找出邊之間的關系：由FB=■AB可以設AB=4a，那么BE=CE=2a，AF=3a，BF=a，再利用已有的直角三角形分別表示出△DEF的各邊的平方，最后利用勾股定理逆定理去判斷△DEF是否直角三角形.

解：設BF=a，則BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a，在直角△BEF中，根據勾股定理，EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2.

在直角△CED中，根據勾股定理，

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.

在直角△ADF中，根據勾股定理，

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2，

∴DF2=EF2+DE2.

根據勾股定理的逆定理，∠DEF=90°.

∴△DEF是直角三角形.

【變式】已知：△ABC的三邊分別為m2

-n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數，且m>n），判斷△ABC是否為直角三角形.

【分析】本題是利用勾股定理的逆定理來判定直角三角形，只要證明a2+b2=c2即可. 我們把能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，勾股數除了m2

-n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數，且m>n）這一組數外，還有n2-1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數）；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n為正整數）.

突破點2：對勾股定理及逆定理的再應用

例3 （1） 如圖4，圖（1）是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形. 若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩條直角邊的和是5，求中間小正方形的面積.

（2） 現有一張長為6.5 cm、寬為2 cm的紙片，如圖4（2），請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形.

（要求：先在圖4（2）中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標明相應數據）

【再應用】用面積法驗證勾股定理是認識和理解勾股定理的重要手段，通過對圖形的割補與拼接，加深對勾股定理的認識，提高解決問題的能力.

【分析】本題第（1）問關鍵在于找到直角三角形兩直角邊與小正方形邊長間的關系，并且利用兩直角邊滿足的條件得到正方形的面積. 第（2）問中的長方形面積為13，在割補拼接過程中面積不變，所以可借助圖4（1）來尋找割補拼接的方法.

解：（1） 設直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，

則小正方形的邊長為a-b.

根據題意，可得：a+b=5. ①

由勾股定理，可得：a2+b2=13. ②

①2-②得2ab=12.

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1.

∴所求的中間小正方形的面積為1.

（2） ∵長方形的面積為6.5×2=13（cm2），

∴要拼成的正方形的面積也等于13（cm2）.

所以可按照圖4（1）制作.

由（1）知a+b=5，a-b=1，∴a=3，b=2.

根據題意，每個直角三角形的較長直角邊只能在紙片的長邊上截取，截去四個直角三角形后，余下的面積恰為中間小正方形的面積.

于是，得到以下的分割拼接方法：

【變式】已知：如圖5（1），長方形ABCD被分割成四部分，其中某些線段的長度如圖所示，已知這四部分可以沒有重疊、沒有空隙地拼成一個正方形.

（1） 求出所拼得正方形的邊長，并寫出計算過程；

（2） 保持五邊形DEFGH的位置不動，在圖5（2）中用虛線補全拼接后得到的正方形，并標出圖中所有線段的長（在不添加新線段的條件下）.

【分析】（1） 根據在拼接過程中面積保持不變可知，所拼得正方形的面積與矩形ABCD的面積相等. 在圖5（1）中分別利用勾股定理在Rt△ABG和Rt△CGH中求出AB、CG的長度，從而求出矩形ABCD的面積.

（2） 由（1）可知，拼接后得到的正方形邊長為12，應以DE為一邊拼接.