HPM在公安院校數學教育中的作用

游永興

（湖北警官學院 基礎課教學部，湖北 武漢430034)）

當前數學教育①數學教育包括廣義數學教育和狹義數學教育：狹義數學教育指數學類課程的教學，而廣義數學教育則指所有對學習者數學素養的培養過程。本文主要針對狹義數學教育而言。強調“四基”：即在原來培養學生的基礎知識和基本技能“兩基”的基礎上，增加培養學生的基本思想和基本活動經驗。在這種理念的影響下，相應的數學教學研究改革也隨之發生了變化。Sfard A強調：“就研究工作而言，僅僅在一些年前仍然充滿著居高臨下這樣一種基調，但現在已經發生了根本性的變化……，強調支持教師與學習者發展自己的能力，而不是力圖去改變他們。”[1]在培養學生的基本思想和基本活動經驗方面，HPM②1972年，第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations betweenHistoryandPedagogyofMathematics），標志著數學史與數學教育關系作為一個學術研究領域的出現。通常把該研究領域和該組織在不引起混淆的情況下都簡稱為HPM。帶來了新的思路。公安院校數學教育作為數學教育的分支，引入HPM可以有效解決其所面臨的一些問題。

一、HPM解讀

19世紀末至20世紀70年代，歐美眾多著名數學家、數學史家和數學教育家都提倡在數學教學中直接或間接地利用數學史。1972年，第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（HPM）。HPM關注的內容包括：數學與其他學科的關系、多元文化的數學、數學史與學生的認知發展、發生教學法、數學史與學生的困難、數學原始文本在教學中的應用等[2]。

HPM研究數學史與數學教育的關系，是數學教育取向的數學史研究，其主要目的之一是為數學課堂教學提供支持[3]。HPM致力于對數學史和數學教育以及兩者的結合進行研究，著眼于將數學史引入數學課堂教學中，改變數學教育以知識和理論講解為主的傳統，扭轉重理論輕思想、重知識輕文化的教育教學習慣，提升學生的思維能力，培養學生的創新意識，提高學生的文化素質，將對學生的教育從應試教育逐漸轉變到素質教育。

目前國內大學數學教學基本上根據知識的邏輯結構進行，忽視了歸納和猜想在數學發現中的作用，表現為教材的前后順序與歷史上的發展順序完全相左。HPM 可以彌補這一點。它通過展現歷史真正的思維過程和活動過程，讓學生理解其出現和發展的思路，培養其創新意識。它經過了通過將數學史和數學教育緊密結合起來，展現數學經過歸納和類比；通過合情推理模式得出基礎不很嚴謹的數學；然后通過許多數學家的連續工作將其不斷完善、夯實基礎的歷史進程。這也有助于培養學生的歷史唯物主義觀點：推動科學理論發展的是社會的發展和對自然不斷深化的認識，它和一定的歷史階段緊密相關。

二、公安院校數學教育面臨的困惑及HPM帶來的啟示

公安院校作為培養公安高級復合應用型人才的機構，不可避免地需要培養學生一定的數學素養。筆者曾對公安院校數學教育改革進行了探討。[4]公安院校數學教育在新的歷史時期至少面臨著三個方面的挑戰：一是海量的信息對數學教育的影響。公安院校作為高等院校，在如今的信息時代與其它高校一樣面臨著在校講授知識和校外應用知識的不同步。二是公安院校擁有自己的培養目標和管理模式，如何改革數學教育的內容和方法，更好地契合公安院校教育體系，對于公安數學教育者是不可回避的。三是基礎課程的第三個目標是培養態度情感與價值觀，如何在教學過程中培養忠誠于黨，忠誠于人民的預備警官的態度情感和價值觀也是值得思考的問題。

HPM 對于公安院校數學教育面臨的三個問題可以有不同程度的解決：（1）引入HPM后更加注重數學思想和價值觀培養，對學生終生都可以起到作用；（2）HPM可以更好更明確地培養學生的思維，提升學生的方法論水平，更好地促成公安院校的培養目標；（3）通過在教學過程中穿插數學史教育，可以培養學生優良的意識品質，包括忠誠與奉獻精神。

三、HPM在公安院校數學教育中的一個設計

在講數的理論時，要講到數系的擴展，從有理數擴展到無理數是一個歷史的進步。其中無理數是不可能用分數來表示的，證明過程如下：

于是2是p2的因子，從而也是p的因子，從而4是p2的因子。

于是4是2q2的因子，從而2是q2的因子，從而2是q的因子。

由于p和q互素，這是一個矛盾，從而假設是錯誤的。

講到這個地方，可以很自然地把希伯維斯悖論和第一次數學危機介紹給學生。希伯維斯悖論的提出與畢達哥拉斯定理（國內稱為勾股定理）的發現密切相關。相傳畢達哥拉斯完成其證明后殺百牛來慶祝，所以有人又稱其為“百牛定理”。畢達哥拉斯學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？我們知道這個數是，根據上面的證明，這既不是分數更不是整數。這與畢達哥拉斯創立的畢達哥拉斯學派“一切數均可表成整數或整數之比”的數學信仰是矛盾的。富有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人”。后來的故事出了幾個版本，但結局都是一樣的，希伯維斯為之付出了生命的代價。

通過這個教學過程，可以起到以下作用：

（一）提升學生對于數學的認識，進而引出公理化的處理方式。這一悖論出來200年后，才華橫溢的歐多索克斯建立了比例論，暫時回避了這個問題。19世紀下半葉，實數理論建立之后，隨著分劃說、序列說等對于實數意義解釋的出現造成的危機才得以真正解決。在這個歷史進程中，對于“數學基礎”的研究也就不可回避，之后公理化的出現成為一種必然，現在公理化已成為包括數學在內科學理論研究的基礎方法。

公理化的思考方式可以避免先入為主的思維模式。公安機關面臨形式多樣的犯罪活動，如果能夠堅持公理化的思考，嚴格按照邏輯進行推理，綜合使用案例分析、調查、科學實驗和比較等多種方法，能夠更好地維護人民群眾的利益。同時，在案件陷入僵局的時候，能夠及時思考作為“公理”使用的假設是否有誤，則有可能出現柳暗花明又一村的結果。

（二）培養學生基本的人文素養，尤其是哲學素養。第一次數學危機是由于畢達哥拉斯學派將“萬物皆數”作為該學派的哲學基石，而“數”皆為最小單位的倍數，至多有分數。第一次數學危機嚴重影響到其哲學基石，這也告訴學生，哲學是研究最基本問題的，包括對世界、對思維、對方法的認識等最能影響人類進程的問題，而西方數學的發展對哲學是有很深的影響的。正如數學家希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”培養具有深厚人文素養的預備警官是公安院校不可或缺的歷史使命，而通過各種課程包括數學等來進行潛移默化的教育，比單純的說教效果會更明顯。

（三）培養學生堅持真理的意識品質。從畢達哥拉斯和希伯索斯的行為可以看出，雙方為了堅持自己的“真理”都付出了巨大的代價。對于公安院校而言，忠誠是教育的最重要目標，通過教學過程也可以告訴學生，忠誠于黨、忠誠于人民是預備警官必備的品質，是歷史賦予我們的責任。

[1]Sfard A.What Can Be More Practice Than Good Research on the Relations between Research and Practice of Mathematics Educationl Studies inMathematics[J].Educational Studies inMathematics,2005(3):393-413.

[2]汪曉勤,張曉明.HPM研究的內容與方法[J].數學教育學報,2006(1):20-22.

[3]蒲淑萍.尋找歷史與教學的最佳融合——國際HPM2012會議及其研究分析[J].數學教育學報,2013(1):89-92.

[4]游永興.關于公安院校大學數學教育的一些思考[J].湖北經濟學院學報(人文社會科學版),2010(4):174-175.