全相位U變換圖像內插方法

郭芬紅，熊昌鎮，熊剛強

(1.北方工業大學理學院，北京100144;2.廣東醫學院數學與計算機科學教研室，廣州東莞523808)

圖像內插放大方法是通過插值方式將圖像從低分辨率變成高分辨率，是數字圖像處理的重要研究方向，在數據壓縮、視頻編碼的漸進傳輸等很多領域都有很高的實用價值。圖像內插放大的實質是由離散信號恢復連續信號。目前插值方法很多，如最近鄰域插值法，雙線性插值法，立方卷積插值等［1］。由Nyquist采樣定理可知:若連續信號頻譜的最高頻率小于采樣頻率的兩倍，則采樣后的離散信號不會產生頻譜混疊，可通過一個理想的低通濾波器從采樣信號恢復連續信號，再對連續信號重采樣便可實現圖像信號放大。然而理想低通模擬濾波器的沖激響應具有無限持續時間，因此在實際應用中，通過取插值點前后若干采樣點設計一個有限長的內插核函數逼近理想低通濾波器，不可避免地存在吉布斯效應，它是內插方法誤差的主要來源之一。全相位數字濾波器的概念與設計方法由侯正信等［2－3］于1999年與2003年提出，全相位數字濾波方法對包含待處理位置數據的所有數據進行處理，然后將所有輸出值進行加權平均。它充分利用有限長序列提供的信息，不同相位的頻率混疊具有相互抵消作用，可有效減少頻率混疊的濾波方法［4］，即可有效地減少吉布斯效應。

U系統是齊東旭教授與馮玉瑜教授于19世紀80年代提出的一組完備的正交函數系，該函數系由分段多項式函數構成，既有連續的基函數又有間斷的基函數，且列率是逐漸遞增的［5－8］，用U系統可以精確地表達一類具有強間斷性的非連續的模擬信號，克服了Fourier三角基函數表示非連續信號所出現的Gibbs現象，并且在數字幾何與圖像處理的應用中取得了較為成功的應用［9－15］.

因此筆者利用全相位濾波思想和U系統的列率遞增特性，構造了一種基于全相位雙正交U變換的圖像內插模板，該插值模板頻率響應具有標準的菱形支撐特性，可較好消除圖像內插產生的頻率混疊現象。實驗結果表明基于全相位U變換的圖像放大結果優于雙立方圖像內插結果，也優于全相位DCT圖像內插算法得到的結果。

1 U系統及其性質

1.1 U系統的構造

k次 U系統是由［0，1］區間上的 k次Legendre多項式構造出的k次分段多項式正交函數系［1］，下面是k次U系統的構造過程。

1)取區間［0，1］上的前k+1個Legendre多項式，記為φ0(x)，φ1(x)，…，φk(x)。

2)構造U系統的生成元函數。

其中〈〉表示中的內積，

那么稱函數集合

圖1是二次U系統的前24個基函數的圖形。

圖1 二次U系統的前24個正交基函數的圖形Fig.1 The First twenty-four basis of U system with degree 2

1.2 U系統的性質

記u(n，x)是k次U系統中的第n+1個基函數，在k次U系統中，其基函數按式(1)中的值從小到大排列，那么，k次U系統有如下性質。

性質1 k次U系統是L2［0，1］中的規范正交函數系，即〈u(i，x)，u(j，x)〉=δi，j。

性質3 列率遞增性，即U系統的變號數是逐漸遞增的。

1.3 正交U變換

令x={x(0)，x(1)，…，(N－1)}T是離散時間序列中某一段長度為N=2L(L為任意的正整數)的子序列。

則稱X=Ux為的正交U變換。

由于零次U系統就是Walsh正交函數系，一次U系統就是離散Slant變換的解析表達形式，因而，很容易得到零次U系統與一次U系統的離散變換矩陣。二次U正交矩陣可以用下面的方法計算。

1)把區間［0，1］均勻劃分成N=2m個小區間;

2)用高斯積分計算出N個基函數在N個區間中的積分值;

3)由2)計算出的積分值所構成的矩陣只是近似正交，用Gram－Schmidt方法標準正交化所得到的積分值矩陣，可得到式(2)所示的二次U正交矩陣.當N=8時，二次U系統的正交矩陣如下

2 全相位雙正交U變換

2.1 正交U變換內插

基于正交變換的內插方法通常對一維有限長為N的采樣信號先進行正交變換，然后進行反變換，反變換時用連續時間代替離散時間，便內插出任意時間點的信號。

令X=DUT(x)，x=IDUT(X)分別為離散正交U變換(digital U transform，DUT)和離散正交U反變換(Inverse digital U transform，IDUT)，則正變換和反變換可寫成

其中a(l，n)和β(m，l)分別為DUT的正變換和反變換矩陣元素。令t=m，0≤t≤N－1，t∈R則連續信號可由式(3)內插重構

式(3)即為DUT內插公式，它通過采樣點的值與一系列權系數的線性組合即可得到任意位置處的插值。由于圖像的數據量很大，通常進行有限長的正交變換，不可避免地存在吉布斯效應，全相位數字濾波方法對包含待處理位置數據的所有數據進行處理，然后將所有輸出值進行加權平均。它充分利用有限長序列提供的信息，不同相位的頻率混疊具有相互抵消作用，可有效地減少吉布斯效應。

2.2 正交U變換的列率濾波器的構造

設Y={y(0)，y(1)，…，y(N－1)}T是對應于x序列的濾波輸出向量，那么U正交變換的列率濾波器可由下式表示［15］

其中F是長度為N的列率響應向量，“·”表示兩向量對應元素相乘，即F·UkX表示向量F與向量UkX對應元素做乘積運算后的向量。直接計算式(4)，有

其中

2.3 全相位雙正交U變換列率濾波器

對于序列中某一固定點x(n)，長度為N的所有包含點x(n)的子序列為:Xm={x(n－N+m+1)}，…，x(n+m)，m=0，1，…，N－1，對該子序列進行列率濾波，計算點的所有響應輸出，將這N個輸出值進行平均，得到的全相位濾波輸出y(n)，即

其中

其中

U(i，j)為U變換矩陣中的元素。記矩陣UA= {a(j，k)}N－1j，k=0，則有

稱UA為列率響應向量F到全相位U變換列率濾波器的過渡矩陣。因此長度為2N－1的一維全相位U變換濾波器的設計公式由式(7)，式(9)和式(10)組成。

當N=8時，由式(8)可計算出二次系統的變換矩陣UA為

對于二維空間某點X(m，n)的全相位U變換列率濾波輸出Y(m，n)是所有N×N個包含X(m，n)點二維數據塊的平均列率濾波輸出值。對某一數據塊的二維正交變換列率濾波輸出定義為［14］

其中F是N×N階列率響應矩陣，類似于一維情況有

其中h是(2N－1)×(2N－1)的二維全相位u變換濾波器，它也具有線性相位特性，即

定義矩陣h1/4為

類似于一維情況有

其中UA如式(10)定義的過渡矩陣。根據二維全相位U變換濾波器的對稱性，可得到完整的(2N－1)×(2N－1)濾波器h。

3 全相位U變換的圖像內插模板

3.1 內插模板的構造

由于二維菱形半帶低通濾波器的設計易滿足二維的Shannon濾波理論［16］，計算量可減小至非半帶濾波器的1/2左右，在此采用二維菱形半帶濾波器設計圖像的內插模板，以N=4為例，其二維列率濾波響應為［14］

按照式(15)的設計方法，可得到對應于F4的0次U變換(WALSH變換)長度為7的全相位內插模板為:

2次U變換長度為7的全相位內插模板為:

若采用正交U反變換(IDUT)和DCT反變換(IDCT)設計全相位濾波，可得到其對應的IDUT和IDCT長度為7的全相位內插器模板分別為:

3.2 內插模板的頻率特性

為分析以上不同濾波器的內插特性，筆者給出不同濾波器的頻率響應透視圖及其等高線圖，結果如圖2所示。全相位IDUT，全相位DUT，全相位IDCT和全相位WALSH變換濾波器都是四象限對稱的，具有低通特性，可作為圖像內插的抗混疊濾波器，基于IDCT、IDUT和WASH變換域設計的濾波器有十分規整的菱形支撐，而基于DUT域設計的濾波器有向標準菱形支撐發展的趨勢。由于全相位IDUT的菱形半帶濾波器具有理想的菱形支撐，其頻率響應在阻帶和通帶都很平坦，無波紋，因此較其它濾波器更適合于圖像內插。后面的圖像內插的實驗結果也將驗證這點。

4 實驗結果

為驗證筆者構造的全相位U變換內插模板性能，將其應用圖像放大實驗中。實驗采用的圖像為CVG－UGR圖像測試庫，由于論文篇幅的限制只列出圖3所示常用的10幅512×512像素的測試結果。第一個實驗首先對原始圖像進行下采樣得到256×156像素的圖像，然后將256×256像素圖像按間隔補0得到512×512像素的圖像。最后利用內插模板對圖像進行對角線內插、水平和垂直內插得到4倍放大的圖像。將全相位U變換圖像內插算法與雙立方圖像內插法和全相位DCT/IDCT圖像內插法進行比較，分析其圖像放大結果來比較各內插模板的性能，以峰值信噪比(PSNR)為評價標準。采用以上設計的全相位濾波器得到4倍放大的內插圖像與原圖的峰值信噪比結果如表1所示，從表中的結果可看出，基于全相位正交變換的圖像內插的結果優于常用的雙立方內插方法。全相位內插結果中，全相位IDUT (All Phase Inverse DUT，簡記為APIDUT)濾波器圖像內插結果的PSNR是最高，全相位WASH變換(APWALSH)、全相位DCT(APDCT)和全相位IDCT(APIDCT)的內插結果很接近，全相位DUT (APDUT)的結果略差，但都優于雙立方內插結果。

圖2 全相位濾波器頻率響應的透視圖和等高線圖Fig 2 Perspective and contour figure of all phase filter frequency response

5 總結

筆者利用全相位濾波思想和U變換的列率遞增特性，構造了一種基于全相位雙正交U變換的內插模板，分析了其頻率響應特性，與常用的圖像內插方法相比，實驗結果表明APIDUT內插模板的結果是最優的。但筆者的方法還會造成邊緣模糊，因此下一步將研究圖像邊緣與全相位濾波相結合的內插方法。

圖3 實驗測試圖像Fig.3 Tentest images

表1 圖像內插4倍放大實驗結果(PSNR)Table1 image interpolation result of 4 times(PSNR)

［1］CASTLEMAN K R，朱志剛，譯.數字圖像處理［M］，北京:電子工業出版社，2002.

［2］侯正信，王兆華，楊喜.全相位DFT數字濾波器的設計與實現［J］.電子學報，2003，31(4):539－543.

Hou Zhen－xin，Wang Zhao－hua，Yang Xi.All phase DFT digital fitter design and implementation［J］.Chinese Journal of Electronics，2003，31(4):539－543.

［3］侯正信.離散余弦列率濾波器的設計及應用［J］.天津大學學報，1999，32(2):324－328.

Hou Zheng－xin.Fitter design and application if discrete cosine sequency［J］.Journal of Tianjin University，1999，32(2):324－328.

［4］侯正信，王成優，楊愛萍，等.全相位沃爾什雙正交變換及其在圖像壓縮中的應用［J］.電子學報，2007，35 (7):1376－1381.

Hou Zheng－xin，Wang Cheng－you，Yang Ai－ping，et al. All phase walsh biorthogonal transform and its application in image compression［J］.Chinese Journal of Electronics，2007，35(7):1376－1381.

［5］齊東旭，馮玉瑜.關于Fourier－U級數的收斂性［J］.中國科技大學學報(數學專輯)，1983(5):7－17.

Qi Dong－xu，Feng Yu－yu.About the convergence of the Fourier－U series［J］.Journal of University of Science and Technology of China，1983(5):7－17.

［6］齊東旭，馮玉瑜.關于正交完備系{U}［J］.吉林大學自然科學學報，1984，(2):21－31.

Qi Dong－xu，Feng Yu－yu.U on the orthogonal complete system［J］.Acta Scientiarm Naturalium Universitatis Jilinensis，1984，(2):21－31.

［7］Feng Yu－yu，Qi Dong－xu.A sequence of piecewise orthogonal polynomials［J］.SIAM JMath Anal 1984，15 (4):834－844.

［8］宋瑞霞，馬輝.信號多分辨分析的一類新的正交基［J］.科學技術與工程，2005，5(23):1807－1812.

Song Rui－xia，Ma Hui.SigralMulti－resolation analysis of a newclass of orthogonal basis［J］.Science and Engineering，2005，5(23):1807－1812.

［9］Ma Hui，Song Rui－xia，QiDong－xu.Orthogonal complete U－system and its application in CAGD［C］∥Proceeding of 1st Korea－China Joint Conference on Geometric and Visual Computing.Busan，Korea，2005:31－36.

［10］Cai Zhan－chuan，Ma Hui，Sun Wei，et al.Analysis of frequency spectrum for geometricmodeling in digitalgeometry［C］//Wavelet Analysis and Applications“in the Springer book series”Applied and Numerical Harmonic Analysis Basel.Switzerland:Birkh user Verlag Basel，2007:525－542.

［11］齊東旭，陶塵鈞，宋瑞霞，等.基于正交完備U－系統的參數曲線圖組表達［J］.計算機學報，2006，29 (5):778－785.

Qi Dong－xu，Tao Chen－jun，Song Rui－xia，et al.Expression based on the orthogoral complete U system parameters graph group［J］.Chinese Journal of Computers，2006，29(5):778－785.

［12］丁偉，閆偉齊，齊東旭.基于U系統的數字圖象水印技術［J］.中國圖象圖形學報，2001，6(6):44－49.

Ding Wei，Yan Wei－qi，Qi Dong－xu.U system based cligital image waterwarking technique［J］.Journal of Image and Craphics，2001，6(6):44－49.

［13］Ding Wei，Yan Wei－qi，Qi Dong－xu.Digital watermarking image embedding based on U－system［J］.Proceedings of the 6th International Conference on Computer Aided Design＆Computer Graphics，1999，3(12):893－899.

［14］Li Zong－min，Men Xiu－ping，Li Hua.3D model retrieval based on U system rotation invariant moments［C］// 2nd International Conference on Pervasive Computing and Applications.Birmingham，2007，183－188.

［15］Liu Yu－jie，Yao Xiao－lan，Li Zong－min，et al.SHREC’08 entry:3D model retrieval based on the V system invariantmoment［C］//IEEE International Conference on Shape Modeling and Applications.Stony Brook，NY，USA，2008:249－250.

［16］Siohan P.2D FIR filter design for sampling structure conversion［J］.IEEE Trans on Circuits and Systems for Video Technology，1991，1(4):337－350.