中國古代大數系統及啟示

李文林

（中國科學院數學與系統科學研究院，100190）

中國古代很早就有表示大數的名詞。《詩經》“豐年”篇有“萬億及秭”之說，“億”“秭”就是兩個大數名。毛萇注進一步解釋：“數萬至萬曰億，數億至萬曰秭。”就是說：“億”等于一萬萬，跟今天最常用的大數“億”一樣；“秭”等于一萬億，應該是由億逐次（十）進位而得。東漢應劭《風俗通義》在萬以上出現億、兆、經（京）、垓、秭、選、載、極等名，相鄰兩數皆從十進，即10億為兆，10兆為京，10京為垓，……依此類推。其中的“億”，按十進位原則等于十萬，與《詩經》毛注有別。而毛注“萬萬曰億”的萬進法在公元3世紀時被延用到億以上大數：西晉杜預注《春秋》就規定“萬萬曰億，萬億曰兆”；三國吳韋昭注《國語》則稱“萬萬兆曰垓”，是由兆萬進為京、京萬進為垓而來。因此，至公元3世紀，事實上已存在有十進和萬進兩種大數記數法。

南北朝時期，我國的大數記法有了進一步的發展，出現了以億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載十個字為基礎的大數名詞系統。這十個大數被稱為“十等”，按“等”之間的進位關系又確定有三種大數記數法：下數、中數和上數。下數以十為進，即秦漢以前通用的記法。中數“萬萬變之”，即萬萬進，首見于公元4世紀的數學著作《孫子算經》（該書中、下數并提）。上數“數窮則變”，即萬萬為億，億億為兆，兆兆為京……《數術記遺》①中始載。《數術記遺》總括了上、中、下三種大數記法，并認為“下數淺短，記事則不盡。上數宏廓，世不可用。故其傳業，惟以中數爾。”自此至宋元，數學家多沿用中數法。明代程大位的《算法統宗》中有“大數”一節，所述大數記法，仍為萬萬進中數法，只是在“載”之后又增添了“極”“恒河沙”“阿僧秪”“那由他”“不可思議”“無量數”等六個大數，這些新增名詞，顯然是從佛經借鑒而來。

為了便于了解中國古代幾種主要大數記數法表達大數的功能，與現代科學記數法對照列表如下：

十等： （萬）， 億， 兆， 京， 垓， 秭， 壤， 溝， 澗， 正， 載上數： （104） 108 1016 1032 1064 10128 10256 10512 101024 102048 104096中數： （104） 108 1016 1024 1032 1040 1048 1056 1064 1072 1080下數： （104） 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014萬進： （104） 108 1012 1016 1020 1024 1028 1032 1036 1040 1044

在上列不同的系統中，同一個名稱表示的大數是不同的。例如“兆”，下數相當于百萬，中數就是萬萬億了，而在萬進制中則為萬億。這似乎易使人產生混亂的感覺（尤其當辭書釋意未說明該名詞屬哪一種大數系統時），其實是相對于不同的進制而言。總體觀之，中國古代有著嚴整有序的大數記數系統，并具有強大的表示大數的功能，僅以上表中的第三等數“京”為例，即使在中數系統中已表示1024，而在上數系統中則已達1032。

綜上關于中國古代大數系統之論述，感到對目前大數的定名有以下啟示。

一、中國古代大數記數系統是古代文化珍品，當前的大數定名可選擇、吸收其優良元素，古為今用。同時也應該認識到，科學計數法畢竟是最簡明有效的大數表達工具。無論創造再多的大數名詞，面對現代科技、經濟和生活中出現的越來越龐大的數字，也總會不敷應用。即便在已有的大數名稱中，孤立地拿出一個來，比如“澗”，人們也很難對其大小有具體的概念。在這方面，程大位的看法不無借鑒，他在《算法統宗》中陳列大數名稱后指出：“自京垓以后世之罕用，亦不可廢，始存之。”

二、關于采用哪一種進位系統的問題，筆者認為可以在中國沿用時間最長的萬萬進（中數系統）和萬進制中選擇。由前述可知，萬萬進的中數系統中，至“京”已能表示達1024量級的大數，而萬進系統中同一名稱僅表示1016。另一方面，由于清代以來比較普遍地采用了萬進系統，人們對其更為熟悉。因此二者各有利弊，可在充分討論、權衡的基礎上擇善而從。

三、關于“兆”字的麻煩。無論是選擇萬萬進的中數系統還是萬進系統，都將遇到與信息行業中“兆”字定義的沖突。眾所周知，隨著各種信息產品的流行，作為表示百萬的“兆”字已深入千家萬戶，如果改稱“百萬”或其他的字，人們會感到很不習慣從而造成某種程度的混亂。但反過來，如果根據“百萬為兆”的原則來確定大數名稱系統，那么從《詩經》時代以來數千年人們習用的“萬萬為億”，就要變成“十萬為億”，十三億人就要說成一千三百億人或一百三十兆人，諸如此類，豈不要引起更大的混亂？因此筆者個人以為在目前的情況下，權宜之計是兩套系統暫時并存，但逐漸弱化表示百萬的“兆”。實際上，信息產品使用的“兆”，實質為字頭，而與其并列的其它字頭目前均是用外文字頭的漢語諧音字來表示之，如“吉”-G（Giga）、“太”-T（Tera），唯獨表示百萬的Mega使用了中國古代大數名“兆”。逐漸弱化“兆”，突出縮寫M，最終以一諧音字來替代，不失為一種過渡方案。

注釋

①傳本《數術記遺》卷首載：“漢徐岳撰，北周漢中郡守前司棣臣甄鸞注。”錢寶琮考證認為該書實乃甄鸞托名徐岳所作（《中國數學史》，科學出版社，1964）。徐岳，東漢末人，生平無考。甄鸞，生平亦不詳，既為北周（557—581）官吏，其活動時代當在公元6世紀。