保守力的二元屬性

蘇云

(韓山師范學院物理與電子工程系 廣東 潮州 521041)

力學是物理學的入門篇章，而力是物理學中最重要的概念，從牛頓運動定律到萬有引力定律，經典力學用了4個定律來定義這個概念，這在物理學乃至整個自然科學中都是絕無僅有的.

在力這個大概念之下有一種性質非常特殊的力，它就是保守力.從作用效果來看保守力可以分為兩種，一種是以做功的形式表現出來，成為改變質點能量(動能、勢能、機械能)的原因，這一點與所有其他力相同.另一種是以能量的形式呈現，成為被其他力做的功所改變的對象，也就是勢能，這是保守力所特有的性質，也是導致力學系統與能量守恒定律建立聯系的關鍵所在.為了更好地理解保守力的獨特性質，有必要回顧一下這一概念產生和演變的過程.本文的討論只限于經典力學.

從牛頓第二定律出發可以推導出質點的動能定理[1]

(1)

這是一般意義上的功能轉換關系，方程左端是所有力對這個質點所做功之和.我們知道，經典力學只有為數不多的幾種常用力，其中重力、萬有引力和彈性力等都有已知的函數形式，分別由萬有引力定律和胡克定律來表述.下面把這些力函數分別代入方程(1)，看看能得出些什么結果.

首先考慮重力的情況，把式(1)左端A當中重力所做的功分離出來，并用力函數來表示它，于是方程變為

(2)

式中A′是重力以外的其他力對質點所做的功.

這一變化引出了兩個結論：

第一，重力的功是位置的函數，當z=z0時這個功等于零，換句話說，如果質點運動了一個閉合路徑，重力在這個過程中不做功.

第二，重力的功已經是自變量z的函數了，按照數學的習慣應該把它移到方程右端，式(2)左端m前面的那個負號就是在為移項做準備.我們知道，教科書是通過做功來定義保守力概念的，即保守力做功等于勢能增量的負值，其中的“負值”就源于這個為移項做準備的負號，此刻它已經成為保守力概念的一部分了.移項后方程(2)變為

(3)

接下來討論引力的情況，按照同樣方法可以得到類似于式(2)和(3)的兩個方程

(4)

(5)

同樣，對于彈性力的情況也可以得到相應的兩個方程

(6)

(7)

可見，萬有引力和彈性力做的功也都可以表示成位置坐標的函數，因而可以移項并與動能合并，而且在質點運動一個閉合路徑時這兩個力所做的功都等于零.

上述分析揭示出這三個函數形式已知的力所具有的一些獨特物理性質.首先，它們所做的功可以表示成位置坐標的函數，即當質點運動一個閉合路徑時這些力不做功，這一特性最終導致保守力概念的產生.其次，保守力的功在移項后可以與方程右端的動能合并，現在需要把這個功當作能量來看待了，于是勢能概念應運而生，與動能合并之后機械能的概念也順理成章地產生了.

鑒于這三個力的共同屬性，可以將上述6個方程概括為下面兩個

A′+[-(Ep-Ep0)]=Ek-Ek0

(8)

A′=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)=E-E0

(9)

其中Ek和Ep分別是質點的動能和勢能，E和E0分別是末態和初態的機械能，此處的A′則是所有非保守力做的功.

上述推導過程揭示了保守力的雙重屬性.它要么像方程(8)那樣以力做功的形式存在，成為改變質點動能的原因；要么以能量的形式呈現，像方程(9)那樣被其他力做的功所改變，二者必居其一.前者側重的是保守力的做功屬性，體現其改變質點能量的作用，而后者側重的則是它的能量屬性，被其他力做的功所改變.究竟采取哪種形式取決于解決實際問題時方便與否.

式(1)的功能關系揭示了做功與動能改變之間的一般關系，保守力的二元屬性使這一關系向前推進了一大步，即式(9)所表示的非保守力做功與機械能改變之間的轉換關系，由此與能量轉換與守恒定律建立了聯系，進而得到了機械能守恒定律.

綜上所述，在勢能和機械能等基礎概念的建立過程中，以及在功能關系的演變過程中，保守力的二元屬性所起的作用是極為關鍵的.

參考文獻

1 程守洙,江之永.普通物理學(第五版第一冊).北京:高等教育出版社, 2000.82