不確定型AHP 中專家可信度計算方法研究

陳孝珍，張學軍

(1．南陽理工學院 土木工程學院，河南 南陽473004;2．南陽理工學院 機械與汽車工程學院，河南 南陽473004)

0 引言

利用層次分析法對橋梁結構的耐久性進行評估，建立相應的評估模型，對橋梁結構的性能進行層次化評估，使評估條理更加清晰［1］． 然而由于橋梁耐久性評估過程的模糊性、隨機性和復雜性，不同的專家對同一結構的評估具有不確定性和模糊性，因此準確地建立判斷矩陣十分困難，同時在評估過程中各層次的權重系數的選擇是能否對橋梁結構的性能做出準確判斷的關鍵［2］，現有層次分析法中的權重系數的選擇主要依賴專家的經驗，因而建立的矩陣有較大的主觀性［3-4］．

劉文龍等［5］利用不同專家評價的不確定矩陣計算出了相應的權重系數，然后根據每位專家的經驗、水平賦予不同的可信度系數，利用加權平均值方法計算最終權重系數．在現有研究中，計算各專家的可信度時首先要把各個專家利用區間數建立的不確定性矩陣轉化為確定性矩陣［5］． 由研究可知［6］，轉換后的確定性矩陣的部分值并不在專家建立的不確定性矩陣的相應區間內，因此在由不確定性矩陣轉化為確定性矩陣的過程中就已產生了一定誤差，同時各專家對不同指標相對重要性的判斷區間的上下限的準確程度也不同，而采用此方法計算得到的專家可信度系數的準確程度則有待于進一步研究．

筆者擬研究橋梁耐久性評估中專家可信度及評估指標權重系數的計算方法，利用現有專家對某橋梁結構指標進行評價構成不確定矩陣，針對于不同專家的評價矩陣分別形成上限矩陣和下限矩陣，利用相似性理論計算各專家評價的上限矩陣和下限矩陣的可信度矩陣，以上、下限矩陣的可信度矩陣的平均值作為不同專家對不同指標的可信度系數．計算權重系數時，在各專家評價的不確定矩陣各區間內隨機選取數值作為兩個指標間的相對重要性參數，形成多個判斷矩陣，分別由各判斷矩陣計算權重系數，不同專家判斷的指標權重系數取其平均值，然后用加權和求解專家評價的最終權系數．用區間數表示的不確定型判斷矩陣可以在很大程度上反映出專家判斷的模糊性和不確定性，更好地反映橋梁的實際工作狀態、減小不同專家權重系數選擇的主觀性，使評估結論更具可信性［7］．

1 專家可信度計算

1．1 區間數判斷矩陣

運用層次分析法對橋梁結構進行耐久性分析時，將評估目標分為目標層、準則層、指標層建立評估模型［6］．

將評估模型各層的評估指標兩兩進行相對重要性比較，構造判斷矩陣A，判斷矩陣A 可以表達為:A=(aij)n×n，其中aij表示xi與xj關于某個評估指標的相對重要性程度，相對重要性標度如表1 所示［7］．

表1 相對重要性標度Tab.1 Relative importance scale

運用層次分析法對結構耐久性進行評估時，某專家對兩個指標的相對重要性可用介于1 /9與9 之間的一個數字來表達，但不同專家個人研究經驗、偏好以及橋梁結構的本身的模糊性和不確定性，使專家不可能對兩因素的相對重要性做出準確的判斷，因此用區間數表達兩因素間的相對重要性更切合實際［8］．

1．2 根據專家建立的指標相對重要性矩陣分別形成上限矩陣和下限矩陣

巴東長江公路大橋是一座雙塔雙索面漂浮體系預應力混凝土斜拉橋，文獻［5］中6 位專家給出了用區間數表達的巴東長江大橋安全性綜合評估中的第一級評估指標的兩兩判斷矩陣，如表2 所示．

表2 不同專家的區間數判斷矩陣［5］Tab.2 Interval judgment matrix and comprehensive judgment matrix from different experts

由表2 可得，不同專家的判斷矩陣的上、下限矩陣，如專家1 判斷矩陣的上下限矩陣為

同理，其它專家的判斷矩陣的上、下限矩陣可由表2 得到．

1．3 計算專家評價的相似性系數

若有n 維行向量α = (α1，α2，…，αn)、β =(β1，β2，…，βn)，α、β 的相似性系數由下式［8］計算得到:

將6 位專家的判斷矩陣的上、下限矩陣轉化為行向量，利用式(1)計算每位專家的評價的上、下限矩陣與其它專家評價的上、下限矩陣的相似性系數．上、下限矩陣的相似性矩陣分別為η上限=

式中:m 為評判專家數量．

則第i 專家與其他專家評判結果的相似性表示為

將各專家判斷矩陣的上、下限矩陣轉化為m 個行向量，分別計算6 位專家相應的上、下限相似性系數矩陣:

u上限= (0．166 88，0．166 84，0．166 75，0．166 88，0．165 91，0．166 75)

u下限= (0．166 39，0．166 55，0．166 87，0．166 91，0．166 42，0．166 87)．

1．4 專家評價的差異性

將各專家判斷矩陣的上、下限矩陣轉化為m個行向量α1，α2，…，αm，則各專家對第i 個指標評判值的均值為

則第k 個專家對第i 個指標評判值的差值為

為第k 個專家評判的差異度．

由6 位專家的評判矩陣計算得到上、下限矩陣的差異度為

λ上限= ［0．170 78，0．169 87，0．116 71，0．170 78，0．255 16，0．116 71］;

λ下限= ［0．328 58，0．143 53，0．145 6，0．066 252，0．170 44，0．145 6］．

1．5 專家評價的可信度

第k 個專家的可信度ωk為

則6 位專家判斷矩陣的上、下限矩陣可信度矩陣為

ω上限=［0．166 04，0．166 19，0．176 73，0．166 04，0．148 28，0．176 73］;

ω下限=［0．134 10，0．171 19，0．171 03，0．186 95，0．165 70，0．171 03］．

6 位專家的可信度取矩陣為判斷矩陣的上、下限矩陣可信度的平均值ω 為

ω = ［0．150 07，0．168 69，0．173 88，0．176 495，0．156 99，0．173 88］．

其中，ωk表示第k 個專家對指標評價的可信度．

2 利用隨機理論計算專家對指標評價的系數

根據表2 建立專家的不確定性判斷矩陣:

同理其他5 位專家的不確定矩陣也可由表2 得到．

根據各個專家給出的區間數判斷矩陣，各專家對兩個因素的相對重要程度在相應的不確定矩陣R1，R2，…，R6隨機選取，由于隨機選取可產生無數個取值，形成多個矩陣． 為便于計算，在各取值區間中每0．5 取一個值形成相應取值的集合．

如由專家1 的不確定性矩陣可形成18 個矩陣確定矩陣，即

運用matlab 計算各判斷矩陣的最大特征值λmax，對應式(2)矩陣的最大特征分別為λ1max=3．005 5，λ2max= 3．022 2，λ3max= 3．002 9，λ4max=3．016 5，…，λ15max= 3．013 2，λ16max= 3．036，λ17max= 3．009 2，λ18max= 3．029 1．

由于矩陣都是正反矩陣，因此只要矩陣An×n的最大特征值λmax≥n，則矩陣An×n是一致的［6］．對不滿足一致性的矩陣予以去除，滿足一致性的矩陣作為計算權重系數的判斷矩陣．

根據其他5 位專家的不確定矩陣分別可形成18，40，48，24 和40 個確定矩陣，并進行一致性檢驗，過程與上面相同．

3 權重系數計算

權重系數的計算有和法、根法、特征根法、對數最小二乘法、最小二乘法等，筆者采用和法計算權重系數．利用和法計算權重系數先將判斷矩陣的每一列都歸一化處理，得到矩陣B = (bij)n×n，然后按B 的行求和就可以得到權重系數，即

以式(2)的滿足一致性的矩陣為判斷矩陣，計算得到對應的權重系數，專家1 的權重計算結果如下:

則專家1 評價的指標最終權重系數取式(3)中各權重系數的平均值，即

同理可計算其他5 位專家評價的指標權重系數分別為

考慮不同專家的可信度，利用加權和求解6位專家對指標評價的最終權重系數為

劉文龍在計算權重系數時根據專家的經驗、水平給每一位專家的評估結果賦予了可信度系數［6］，計算得到的權重系數如下:

4 結論

根據不同專家所確定的不確定判斷矩陣，本文利用不確定矩陣形成了相應的上限矩陣和下限矩陣，運用相似理論分析了上限矩陣、下限矩陣的相似性、差異性，計算得到了每位專家的可信度．本文計算專家可信度的方法綜合考慮了專家對不同指標評判的準確度，同時也考慮了各專家對每一指標評判區間上下限評價的準確程度，充分反映了各專家的研究經歷及經驗．

在每位專家評價的不確定判斷矩陣的基礎上，運用隨機理論在各評價指標的相應取值區間內隨機取值作為兩指標間的相對重要性參數，由此形成多個確定判斷矩陣計算指標的權重系數，其平均值作為該專家對指標評價的權重系數． 本文中計算指標權重系數的方法減少了現有由不確定判斷矩陣向確定性矩陣轉化中的誤差，使計算得到的權重系數更貼近專家的評價．

利用加權和的方法計算得到的指標的最終權重系數，與文獻［4］相比最大誤差為1．8%，本文的方法更全面地考慮了專家的水平、專家對不同指標的評價結論，避免了對專家經驗、水平評價的主觀性．

［1］ SAATY T L． The analytic hierarchy process［M］． New York:McGraw Hill，1980．

［2］ 閆磊，任偉． FRP 加固橋梁受彎構件的可靠性分析［J］． 鄭州大學學報:工學版，2011，32(2):83-86．

［3］ LIU B，LI H． Method of factor weights allocation based on combination of fuzzy and rough set［J］． Control and Decision，2007，12(22):1440 -1737．

［4］ ZHAO B，REN F，YU H，et al． Research on application of customer satisfaction index model［J］． IEEE Press，2011．

［5］ 劉文龍． 基于不確定型層次分析法橋梁安全性評估研究［D］．武漢:武漢理工大學土木工程與建筑學院，2005．

［6］ 劉均利，方志． 基于灰色關聯度的在役雙曲拱橋耐久性綜合評估［J］． 湖南大學學報:自然科學版，2010，37(9):1 -6．

［7］ 謝志堅，劉承平． 模糊數學方法及其應用［M］． 第3 版． 武漢:華中科技大學出版社，2006．

［8］ 許樹柏． 層次分析法原理［M］． 天津:天津大學出版社，1988．