高壓輸電導(dǎo)線非線性振動(dòng)分析

趙桂峰，張 猛，李 杰，陳 淮

(1．鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州450001;2．同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092)

0 引言

輸電導(dǎo)線是電力系統(tǒng)中重要的載體，其安全性關(guān)系到整個(gè)電力系統(tǒng)的正常運(yùn)行． 根據(jù)其主要力學(xué)特性，現(xiàn)行設(shè)計(jì)方法常采用懸索靜力理論對(duì)輸電線進(jìn)行設(shè)計(jì)［1-4］．由于輸電導(dǎo)線具有質(zhì)量輕、阻尼小、柔度大及跨度大的特點(diǎn)，其風(fēng)致振動(dòng)明顯且具有大位移小應(yīng)變的幾何非線性特征，尤其當(dāng)輸電線受到風(fēng)雨激勵(lì)或者強(qiáng)風(fēng)時(shí)更易發(fā)生較強(qiáng)的非線性振動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)將會(huì)造成線路的破壞．因此，對(duì)輸電導(dǎo)線的非線性振動(dòng)進(jìn)行深入研究具有重要意義． 筆者在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，基于擴(kuò)展的Hamilton 原理建立了考慮初始撓度的水平懸垂輸電線的三維非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，按文獻(xiàn)［2］的方法將三維問(wèn)題約化為二維問(wèn)題，采用Galerkin模態(tài)截?cái)喾椒▽⑦B續(xù)偏微分方程離散得到相應(yīng)的離散運(yùn)動(dòng)方程，用四階的Runge-Kutta 方法研究了輸電導(dǎo)線在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用時(shí)面外振動(dòng)與面內(nèi)振動(dòng)在主共振、超諧波共振和次諧波共振時(shí)的耦合運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)．

1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

以兩端鉸支在同一水平線上的彈性輸電線為研究對(duì)象，將其在Oxy 平面內(nèi)的初始靜平衡構(gòu)型S0作為參考位置，且以函數(shù)y(x)表示其在Oxy 平面的靜平衡幾何構(gòu)型．Ec是輸電線的彈性模量，Ac是其在靜止?fàn)顟B(tài)的橫截面面積，假定在振動(dòng)過(guò)程中為常數(shù);γc=mg 是單位長(zhǎng)度輸電線自重，g 是重力加速度．在外部激勵(lì)F(t)作用下，輸電線的三維動(dòng)構(gòu)型以SD表示，且外部激勵(lì)在x、y、z 坐標(biāo)軸的分量分別表示為F(x，t)、F(y，t)、F(z，t);u、v、w 分別為輸電線沿面內(nèi)縱向振動(dòng)、面內(nèi)橫向振動(dòng)和面外橫向振動(dòng)的位移．

圖1 輸電線構(gòu)型Fig．1 Configurations of conductor

采用擴(kuò)展的Hamilton 原理建立輸電線的三維運(yùn)動(dòng)方程為

考慮實(shí)際輸電線的軸向剛度EcAc較大、阻尼較小，故可其軸向慣性力和阻尼力;同時(shí)不考慮輸電塔的振動(dòng)對(duì)導(dǎo)線振動(dòng)的參數(shù)激勵(lì)作用． 按文獻(xiàn)［2］的方法將上述方程約化為二維方程:

輸電線屬于小垂度懸索，其初始構(gòu)型可用拋物線描述，取y(x)=4d(x0/LH-x20/LH)．d 為導(dǎo)線弧垂，LH為導(dǎo)線水平跨度．采用Galerkin 模態(tài)截?cái)喾椒▽⑵涿鎯?nèi)響應(yīng)和面外響應(yīng)表示為:

其中，各系數(shù)定義詳見(jiàn)文獻(xiàn)［5］．

從式(6)可見(jiàn)，輸電線的面內(nèi)和面外振動(dòng)非線性耦合強(qiáng)烈，除線性耦合外，還包含有平方耦合和立方耦合，根據(jù)懸索線性振動(dòng)理論［3］，其面外與面內(nèi)振動(dòng)的線性固有頻率之間具有倍頻關(guān)系．由非線性振動(dòng)理論［2］知，輸電線在一定參數(shù)條件下可發(fā)生面外與面內(nèi)振動(dòng)的1∶1、1∶2(或2∶1)、1∶3(或3∶1)內(nèi)共振，當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)頻率滿足一定關(guān)系時(shí)，輸電線系統(tǒng)將產(chǎn)生主共振、1/2(1/3)次諧波共振和2 階(3 階)超諧波共振，同時(shí)內(nèi)共振會(huì)激發(fā)非直接受激模態(tài)的振動(dòng)．

2 數(shù)值分析

采用四階的Runge-Kutta 方法，對(duì)輸電線在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用時(shí)的非線性共振以及內(nèi)共振進(jìn)行數(shù)值分析，以揭示其非線性振動(dòng)特點(diǎn)．引入狀態(tài)變量:

則式(6)可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程:

由于懸索面外一階振動(dòng)的線性固有頻率是其所有頻率中的最小值［3］，考慮實(shí)際輸電線對(duì)風(fēng)荷載的敏感性可知其面外振動(dòng)最易被激發(fā)，故僅研究輸電線直接受面外簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)非線性振動(dòng)特點(diǎn)，即取Fy=0，F(xiàn)w=Awcos(ωzt)．以下分析時(shí)均取Aw=10，初值:qv1=0，q·v1=0;qw1=1，q·w1=0．000 05．

以華東地區(qū)某高壓輸電線路中常見(jiàn)的LGJ -630/45 型號(hào)導(dǎo)線為例，其自重為2．06 kg/m，直徑33．6 mm，截面積666．55 mm2，彈性模量63 000 MPa，拉斷力141 265 N，平均運(yùn)行張力35 316 N，大風(fēng)(30 m/s)張力43 688 N． 最大弧垂16．6 m．水平檔距480 m．可知該輸電線垂跨比為1/27?1/8，上述運(yùn)動(dòng)方程可用于分析其強(qiáng)迫振動(dòng)特點(diǎn)．

2．1 主共振(ωz≈ωw1)和密頻內(nèi)共振

按懸索線性振動(dòng)理論［3］，其面外振動(dòng)模態(tài)取: φn(x)=sin(nπx/LH)，n=1，2，3，…相應(yīng)的固有頻率為

式中:H 為輸電線跨中水平張力． 由上述參數(shù)可得:ωw1=0．136 4 Hz．由模態(tài)截?cái)鄷r(shí)的假設(shè)可知，輸電線面內(nèi)振動(dòng)的線性固有頻率ωv1與面外線性固有頻率ωw1近似相等，故此條件下面外振動(dòng)與面內(nèi)振動(dòng)存在密頻內(nèi)共振［4］．

為表征激勵(lì)頻率ωz與輸電線面外固有頻率ωw1的關(guān)系，引進(jìn)解諧參數(shù)σ1:

ωz=kωw1+εσ1． (8)

式中:k 為非負(fù)實(shí)數(shù);ε 為小參數(shù)．

為研究系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，取k = 1，ε =0．001，σ1=10 并將初值條件代入狀態(tài)方程(7)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2 所示．

由圖2 可知，由于密頻內(nèi)共振影響，非直接受激的面內(nèi)橫向振動(dòng)被激發(fā)，其振動(dòng)具有強(qiáng)迫振動(dòng)的特點(diǎn)，且穩(wěn)態(tài)時(shí)其振動(dòng)幅值可達(dá)到與直接受激的面外振動(dòng)幅值在同一數(shù)量級(jí)． 由面外與面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程可見(jiàn)，穩(wěn)態(tài)時(shí)的響應(yīng)具有“拍”的現(xiàn)象，說(shuō)明面外與面內(nèi)振動(dòng)之間具有能量轉(zhuǎn)移;雖然外激勵(lì)是單頻激勵(lì)，且面內(nèi)和面外振動(dòng)取的是單模態(tài)運(yùn)動(dòng)，但從響應(yīng)的Fourier 幅值譜可見(jiàn)，面外和面內(nèi)振動(dòng)均呈現(xiàn)出寬頻振動(dòng)特性，直接受激的面外振動(dòng)以1、3 倍線性固有頻率附近的寬頻振動(dòng)為主，而面內(nèi)振動(dòng)則以1/3、3 倍的線性固有頻率附近的寬頻振動(dòng)為主，且高頻振動(dòng)能量不可忽視．可見(jiàn)密頻內(nèi)共振不但使面外和面內(nèi)振動(dòng)相互耦合，而且還對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)具有調(diào)頻作用．

2．2 1/2 次諧波共振(ωz≈2ωw1)和密頻內(nèi)共振

當(dāng)激勵(lì)頻率ωz≈2ωw1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生1/2 次諧波共振．受激的面外振動(dòng)穩(wěn)態(tài)最大位移幅值是初始振幅的2．4 倍;密頻內(nèi)共振使得未受激的面內(nèi)產(chǎn)生有阻尼的自由振動(dòng)，但穩(wěn)態(tài)時(shí)其振動(dòng)并未完全衰減，而是保持有限幅值的振動(dòng);導(dǎo)線的振動(dòng)呈現(xiàn)出寬頻振動(dòng)特性(圖3(c)、(d))，面外振動(dòng)以近似于1/2、1/3 和1 倍激勵(lì)頻率附近的模態(tài)振動(dòng)為主，面內(nèi)振動(dòng)的能量分布在0 ～0．6 Hz 的頻段內(nèi)，尤其在0．3 ～0．45 Hz 頻段的振動(dòng)能量較大，可見(jiàn)密頻內(nèi)共振對(duì)導(dǎo)線的振動(dòng)具有調(diào)頻作用．

2．3 2 階超諧波共振(ωz ≈1/2ωw1)和密頻內(nèi)共振

當(dāng)激勵(lì)頻率ωz≈1/2ωw1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生2 階超諧波共振．此時(shí)導(dǎo)線的振動(dòng)具有類似于主共振時(shí)的響應(yīng)特點(diǎn)，直接受激的面外振動(dòng)產(chǎn)生了較大的位移，在穩(wěn)態(tài)時(shí)其最大位移幅值是初始值的11倍;密頻內(nèi)共振使非直接受激的面內(nèi)振動(dòng)被激發(fā)，面外振動(dòng)以近似于1、2 倍激勵(lì)頻率附近的振動(dòng)為主(圖4(d))，面內(nèi)振動(dòng)則以較寬頻段的振動(dòng)為主(圖4(c))，導(dǎo)線的高頻振動(dòng)不容忽視．由此可見(jiàn)，密頻內(nèi)共振使得系統(tǒng)的振動(dòng)特性發(fā)生了較大改變．

3 結(jié)論

采用擴(kuò)展的Hamilton 原理建立水平懸垂導(dǎo)線的三維運(yùn)動(dòng)方程，并將其約化為二維振動(dòng)方程，應(yīng)用Galerkin 方法對(duì)其進(jìn)行模態(tài)截?cái)嗟玫接邢拮杂啥鹊碾x散運(yùn)動(dòng)方程，然后使用四階的Runge-Kutta 方法對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到了導(dǎo)線在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用時(shí)的面內(nèi)和面外響應(yīng)．研究表明:輸電線結(jié)構(gòu)由幾何非線性可引起其面外振動(dòng)模態(tài)與面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)的一次方、平方與立方耦合，當(dāng)面外線性固有頻率與面內(nèi)線性固有頻率接近時(shí)，在外激勵(lì)作用時(shí)導(dǎo)線將產(chǎn)生密頻內(nèi)共振現(xiàn)象，響應(yīng)的能量從直接受激模態(tài)轉(zhuǎn)移到非直接受激模態(tài);幾何非線性使得系統(tǒng)不僅有主共振發(fā)生，還將產(chǎn)生次諧波共振和超諧波共振，且超諧波共振時(shí)的響應(yīng)遠(yuǎn)大于次諧波共振時(shí)的響應(yīng);密頻內(nèi)共振使得導(dǎo)線在主共振、次諧波共振和超諧波共振時(shí)對(duì)其振動(dòng)具有明顯的調(diào)頻作用．

可見(jiàn)，由于非線性振動(dòng)的調(diào)幅調(diào)頻作用，使得輸電線即使在外激勵(lì)的幅值不大的情況下或者激勵(lì)頻率不等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，也可因發(fā)生主共振、次諧波共振和超諧波共振而使其振幅很大．同時(shí)，在振動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)線面內(nèi)的高頻振動(dòng)顯著，由于面內(nèi)振動(dòng)(面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)振動(dòng))可引起導(dǎo)線動(dòng)張力的變化，同時(shí)導(dǎo)線的高頻振動(dòng)將使得導(dǎo)線與輸電塔之間的耦合振動(dòng)更為顯著，這對(duì)于輸電線路結(jié)構(gòu)的安全是非常不利的．

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［4］ 白鴻柏．結(jié)構(gòu)密集模態(tài)的非線性相互作用及其表現(xiàn)［D］． 南京:南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所，1996．

［5］ 趙桂峰．高壓輸電塔-線耦聯(lián)體系風(fēng)致非線性振動(dòng)研究［D］．上海:同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2009．