域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)

樊玉環(huán)，王佩臣

（黑龍江工程學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江哈爾濱 150001）

研究各種不變量以及不變量保持的映射和變換歷來(lái)是數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域關(guān)注的問(wèn)題。在矩陣?yán)碚撗芯恐校３謫?wèn)題已成為一個(gè)十分活躍的研究領(lǐng)域，一方面是因?yàn)樗睦碚搩r(jià)值；另一方面是因?yàn)檫@些問(wèn)題在微分方程、系統(tǒng)控制、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有著實(shí)際應(yīng)用背景。關(guān)于保持問(wèn)題的研究，許多學(xué)者做了大量的工作，取得了豐厚的成果［1-14］。YAO等研究了全矩陣空間上的保持冪等的函數(shù)的形式［1］，文獻(xiàn)［2］研究了保持冪等的矩陣加群自同態(tài)，隨后，大量的文獻(xiàn)研究了特殊矩陣空間上的保持冪等的算子［3-4］，但關(guān)于特殊矩陣空間上的保持冪等的函數(shù)文獻(xiàn)至今還沒(méi)有，本文刻畫(huà)了上三角矩陣空間上保持冪等的函數(shù)的形式，并作為應(yīng)用，刻畫(huà)了上三角矩陣空間上保持立方冪等的函數(shù)的形式，上三角矩陣空間上保持k-冪等的函數(shù)的形式及上三角矩陣空間上保｛1，2｝逆的函數(shù)的形式。

1 符號(hào)及基本概念

用N表示自然數(shù)集，設(shè)F是任意給定的域，F(xiàn)＊表示F／｛0｝，Mn（F）為F上所有n階矩陣的全體，Tn（F）為F上所有n階上三角矩陣的全體。

定義1［1］稱(chēng)函數(shù)f：F→F是域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)，如果f滿(mǎn)足：

稱(chēng)函數(shù)f：F→F是域上上三角矩陣空間的保持立方冪等的函數(shù)，如果f滿(mǎn)足：

稱(chēng)函數(shù)f：F→F是域上上三角矩陣空間的保持｛1，2｝逆的函數(shù)，如果f滿(mǎn)足：

定義2［15］設(shè)k∈N且k≥2，A∈Mn（F），若Ak=A，則稱(chēng)A是k-冪等。特別地，當(dāng)k=2時(shí)，稱(chēng)A是冪等的；當(dāng)k=3時(shí)，稱(chēng)A是立方冪等的。

定義3［15］設(shè)A∈Mn（F），如果X∈Mn（F）是矩陣方程AXA=A和XAX=X的解，則稱(chēng)X是A的｛1，2｝逆。

定義4［16］稱(chēng)f：F→F是同態(tài)，如果f滿(mǎn)足f（a＋b）=f（a）＋f（b），f（ab）=f（a）f（b）。

2 基本結(jié)論

定理1 函數(shù)f是域上上三角矩陣空間的保持冪等的充要條件是下列結(jié)論之一成立：

1）f≡0；2）f≡；3）f是域F上的單的自同態(tài)。

證明 充分性顯然，下面證明必要性。

步驟1 證明f（0）=0或f（0）=

通過(guò)直接計(jì)算得到

由式（4）得f（0）=0或f（0）=

步驟2 證明當(dāng)f（0）=時(shí)

在式（3）中令a=1得到

步驟3 證明當(dāng)f（0）=0時(shí)，2種情況f≡0及f是域F上的單的自同態(tài)。

將f（0）=0代入式（1）得f2（1）=f（1）。故f（1）=0或1。

下面分2種情況。

第1種情況：f（0）=0，f（1）=0。

將f（0）=0，f（1）=0代入式（2）得f（a）=0，?a∈F＊，從而f≡0，這就完成了結(jié)論1）的證明。

第2種情況：f（0）=0，f（1）=1。

通過(guò)計(jì)算得到

通過(guò)計(jì)算得到

應(yīng)用式（6）及式（7）得到

即

由式（6）及式（8）可得f是域F上的自同態(tài)。由式（6）得到

故

由f的定義可知：

通過(guò)計(jì)算得到

若f（a）=f（b），則應(yīng)用式（8）、式（9）及式（10）可得a=b。

從而f是域F上的單的自同態(tài)。這就完成了結(jié)論3）的證明。

作為本定理的應(yīng)用可得域上上三角矩陣空間的幾個(gè)定理。

定理2 函數(shù)f是域上上三角矩陣空間的保持立方冪等的充要條件是下列結(jié)論之一成立：

1）f≡0；2）f≡；4）f=cδ，δ是域F上的單自同態(tài)。

在定理2證明中上三角立方冪等矩陣的選取如定理1，式（4）則變成nf3（0）=f（0），從而f（0）=0，-。結(jié)論4）中令c=f（1）。

定理3 函數(shù)f是域上上三角矩陣空間的保持k-冪等的充要條件是下列結(jié)論之一成立：

1）f≡0；2）f≡，ε為k-1次單位根；3）f=cδ，δ是域F上的單自同態(tài)。

定理4 函數(shù)f是域上上三角矩陣空間的保持｛1，2｝逆的充要條件是下列結(jié)論之一成立：

1）f≡0；2；4）f=cδ，δ是域F上的單自同態(tài)。

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