空氣阻力與球體運動速度的函數關系

代超超 楊 凱 龍姝明

（陜西理工學院物理系，陜西 漢中 723005）

運動物體所受空氣阻力的大小與物體的形狀、幾何大小、運動速度、密度、表面光潔度等因素有關，文獻［1］認為當物體高速運動時空氣阻力f正比于速度的平方v2；低速運動時阻力f 正比于速度v，但是這些研究結果都是特定情況下的結論.本文通過對乒乓球在空氣阻力和重力作用下的落體及其多次反彈運動的研究，給出了輕質球體所受空氣阻力與速度的函數關系，并提出了這類問題的科學有效的研究方法.

1 考慮空氣阻力的乒乓球落體及其反彈運動的動力學方程

假定α≥1，合并式（1）和（2）為

其中，“｜｜”表示取絕對值運算.初始位移記為x0，初始速度記為v0.很明顯，式（3）是二階非線性非齊次常微分方程，α＝1和α＝2的解析解為

一般情況下，α取非整數值，方程式（3）的解析解不存在，只能用數值方法解方程.用數值方法解式（3）時，一要給定方程中所有參數（m，g，k，α）的具體數值，二要給定初始位移x0和初始速度v0，三要選定解方程的時區時間起止點.

由于乒乓球下落及其反彈運動受空氣阻力作用，各時段的起止時間未知，各時段開始時刻的速度v0和位移x0各不相同而且未知，這給數值求解帶來困難.要通過編程，分時段求解落體運動微分方程，最后疊加得到方程在整個時間段的解，這一過程就只能一步步來，即選定方程中各參數一組數值，從頭開始，逐段求解，每當解得當前時段的運動，就可能給出下一時段的“初始”條件及開始時刻，為下一段數值方法求解準備好條件.

2 乒乓球落體運動的動力學方程求解思路

假設與地面的碰撞是彈性碰撞，要研究乒乓球下落后多次與地面碰撞的反彈運動特征，只能采用數值方法求解式（3）.由于每次反彈運動的初始條件都不一樣，且必須在求解了前面各次反彈運動時段起止點及前一次反彈落地的末速度之后，才能知道這次反彈的開始時間和開始速度，所以必須采取分時段，依次求解每次反彈運動方程的方法.

記乒乓球首次下落的起始時間為t0＝0，初速度v0＝0，初始位移x0＝h0，各次反彈過程的初始位移均為零.求式（3）的數值解，得到第一次球與地面碰撞的時點t1和碰撞時刻前的速度v1－，以t1作為第一次反彈運動的起始時間，碰撞時刻后反彈的開始速度v1＋＝－v1－，再次求解式（3），可得到第一次反彈過程的落地時點t2和落地末速度v2－，從而得到第二次反彈運動的開始時點t2和初始初速度v2＋＝－v2－.以此類推，便可以求得各次反彈運動的開始時點及初始速度，進而求得乒乓球各次反彈運動隨時間演化的規律.下面給出采用Mathematica軟件編程［2］求解落體反彈運動規律的主要思路.

設乒乓球質量m＝0.0027kg，重力加速度g＝9.8m/s2，選擇初始高度為h0＝2m .取空氣阻尼系數k＝0.001，速度冪次α＝1.1，求解時間段為（0，tf），tf為首次下落過程的預估時間，tf大于等于首次真實落地時間點t1，v為乒乓球接觸地面時點之前的末速度，分別將各段運動中的末速度v，末時刻tn，最大上升高度h 記錄在數表vt，tt，H中.利用Mathematica 8.0內部函數NDSolve［］解微分方程（3），得到首次下落過程數值解所需程序段為

為求解乒乓球各次反彈運動特征，設th為乒乓球每次反彈上升最大高度的時點，h為時點th對應的最大上升高度，t1是落地時點，調用Mathematica8.0的While［］函數編寫循環程序

下面分別給出兩組不同（k，α）值的理論計算數據，n表示乒乓球運動下落反彈次數編號，取前9次的計算數據列于表1中.

表1 （k＝0.001 53，α＝1.2）

表2 （k＝0.000 62，α＝2.0）

由表1和表2可以看出，對于給定的每組（k，α）值，隨著乒乓球碰撞次數的增加，每次反彈上升最大高度、觸地前的速度、落地時間都逐漸減小，限于篇幅，這里不畫乒乓球位移隨時間演化的曲線.

3 實驗數據與理論計算的比較

乒乓球落體反彈運動試驗記錄了每次乒乓球落地時間t/s和彈起的最大高度（h/m）（見表3）與乒乓球運動下落次數n的關系（見圖1～圖6）.為了檢驗理論計算數據與實驗數據的吻合程度，在程序中多次改變速度冪次α，對于每個α值又調整k值大小，比較乒乓球每次反彈高度、落地時間理論值與實驗值，借助關系圖1～圖6和相應理論分析，最終找到理論與實驗符合較好的α值與k 值.

表3 乒乓球下落反彈過程中各次落地時間及反彈最大高度實驗數據

表4給出不同（k，α）值的理論數據與實驗數據的 吻 合 程 度，ge、be、fin 分 別 表 示 一 般、較好、好.

表4 不同α與k 值時理論與實驗吻合程度

分別以每次著地時間t/s、反彈最大高度h/m為橫坐標，以乒乓球運動下落次數n 為縱坐標畫圖，正方形點代表試驗數據，五角星代表不同組（k，α）值下理論數據，給出α＝2.5，k＝0.000 32；α＝2.0，k＝0.000 62；α＝1.2，k＝0.001 53三組不同實驗數據的對比圖.

對比圖1～圖6，我們可以清楚地看出當α＝1.2，k＝0.001 53時，對應理論計算數據與實驗數據吻合最好.如表3所示，當α 值在1.4～1.0之間時，理論數據與實驗數據都有比較好的吻合度.

由于乒乓球大小固定、質地均勻、表面光潔、隨機性弱，運動時所受空氣阻力規律相對固定.實際上，乒乓球在著地時，與地面發生的碰撞不是完全彈性碰撞，碰撞過程有能量損失，上面各圖中實驗測量反彈高度總是低于理論計算值，這就說明碰撞過程確實有能量損失.

如果研究球體密度變大，或者幾何形狀對稱性降低，表面粗糙，運動時所受空氣阻尼系數k 和依賴于速度的冪次α 一定不同于乒乓球的情況，而且有隨機性，這有待進一步研究.

4 結語

通過本文的研究，發現乒乓球在空氣阻力和重力作用下的落體運動過程中，所受空氣阻力規律f＝kvα中α 取值范圍為1.4到1.0.這一研究結果是對文獻［3］給出的“低速物體所受空氣阻力與速度一次方成正比”結論的進一步修正和完善.本文所采用的分時段數值方法求解非線性物理系統演化規律的思想，對于處理同類問題，有方法論的啟示.

［1］蔡志東，陸建隆.考慮空氣阻力時鉛球最佳投射角的參數方程和實用方程［J］.大學物理，2006，25（10）：16－22.

［2］龍姝明，朱杰武，孫彥清，等.數學物理方法＆ Mathematica［M］.西安：陜西人民出版社，2002.343－441.

［3］梁兵，甘皓元.在實驗室中利用自由落體測定空氣阻力系數［J］.百色物理學報，2009，22（6）：58－60.