圓環電流/荷在軸線上的磁/電場的兩個簡潔公式

周國全

（武漢大學物理科學與技術學院物理系，湖北 武漢 430072）

1 引言

在電磁場理論中，均勻分布的環狀電荷在其中心軸線上任意一點的靜電場，以及環形恒定電流在其中心軸線上任意一點的磁場，這兩個典型問題，在幾乎任何一本電磁學或大學物理教材中均為經典的例題或習題［1～6］，其結果表達式均顯繁鎖，難于記憶，不便應用.文獻［7］通過引進立體角的概念，給出了這類問題的一種簡潔表達式.本文推導出這類問題的一種簡潔緊湊，易于記憶的三角函數表達形式，并將其羅列對比，以饗同仁.

2 圓環電流在軸線上任意一點的磁場

如圖1所示，半徑為R 的環形通有恒定電流I，在其中心軸線上到圓心距離為x 的任意一點P的磁感應強度B 可運用畢奧－薩伐爾定律加以計算，結果為［1，2］

其 中，μ0為 真 空 磁 導 率，i 為x 方 向 單 位矢量.

圖1 圓環電流在軸線上的磁場

當x＝0時，式（1）表示的即是圓心O 點的磁感應強度BO，記為

圓環上任意一點與P 點的連線即圓環為底面以P為頂點的錐體的母線，它與錐軸（x 軸）的夾角為α，易知

則表達式（1）可改寫為如下形式

可記為

它顯然形式簡潔，易于記憶，便于應用.僅舉以下兩例說明.

1）運用式（4）與式（2），很容易證明，對于軸線上從左端無窮遠到右端無窮遠的唯一的一條不閉合的磁場線，安培環路定理依然成立.因為x＝Rcotα，所以如下積分易如反掌

2）如圖2所示，圓臺的側面分布有均勻的環繞面電流，面電流密度為η；兩圓形底面的半徑分別為R1與R2.則其錐形側面的圓錐頂點P 處的磁感應強度可如下算出：

圖2 錐形圓臺側面環繞面電流在圓臺錐頂點的磁場

由式（2）并代入以上二式可得

運用公式（4），并將式（6）代入可得

3 均勻圓環電荷在軸線上任意一點的電場

無獨有偶的是，靜電場中也有類似的問題.如圖3所示，半徑為R 的圓環帶有均勻線分布的電荷，總電量為q.則其中心軸線上到圓心距離為x的任意一點P 的電場強度E 可應用庫侖定律和微積分算出為如下公式

圖3 圓環電荷在軸線上的電場

其中EPoint＝E∞即為x?R 時的點電荷近似的理想結果，亦即將全部電荷視為集中于圓心的點電荷時電場強度的表達式.公式（9）與公式（4）比較，相映成趣，有著幾分神似，便于對照記憶，因而在多年的教學實踐中深受同學們的喜歡.公式（9）的應用舉例如下.要計算一個無限大均勻帶電平板附近任意一點的電場，我們先計算具有均勻面電荷分布σ，內外半徑分別為為R1與R2的環狀圓盤在其軸線上距離圓心為x 處的電場強度.如圖4所示，

圖4 無限大均勻帶電平面的電場

其中，α1，α2分別是圓盤內外圓周對軸上點P 所張的錐面頂角之半.

結果表明，場強與P 點坐標x 無關，因而無限大均勻帶電平面兩側均為勻強電場.

4 結語

具有同樣環狀分布的電流的磁場（軸線上）BP＝BOsin3α 與 電 荷 的 電 場（軸 線 上）EP＝E∞cos3α的表達式之間，既有著如此驚人而美妙的相似之處，又有著本質特性的不同.這種情形在電磁場理論中并不鮮見，例如在有限或無限長直線電荷/流分布的電/磁場的表達式之間，也有著同樣奇妙的相似與不同之處；又如電偶極子的電勢與磁偶極子的磁標勢之間的相似表達方式［3～6］，凡此種種，不一而足.其本質原因在于決定點電荷電場的庫侖定律具有平方反比特性，且電場是一極矢，而元電流的磁感強度也具有平方反比特性，但磁場為一軸矢.這決定了電場與磁場兩者之間在空間分布上的神似與不同之處.

［1］趙凱華，陳熙謀.新概念物理《電磁學》［M］.北京：高等教育出版社，2003第二版.42；96～97

［2］張三慧，臧庚媛，華基美.《電磁場》［M］.北京：清華大學出版社，1991第一版.17～19；229～230

［3］虞國寅，周國全.電動力學［M］.武漢：武漢大學出版社.2008第一版.74，88

［4］張之翔，王書仁，陳獻偉.電動力學［M］.1988第一版.130～145；362～364

［5］俎棟林.電動力學［M］.北京：清華大學出版社，2006 第一版.109，96～97

［6］蔡圣善，朱耘.經典電動力學［M］.上海：復旦大學出版社，1985第一版.187～190

［7］佘守憲.立體角概念在電磁學中的應用.物理與工程，2004，14（2），5～11