在普物教學中用守恒量研究開普勒運動的一點補記

李 力

（重慶清華中學，重慶 400054）

在普物教學中用守恒量研究開普勒運動的一點補記

李 力

（重慶清華中學，重慶 400054）

針對開普勒運動中三個守恒量之間的關系，給出兩種適合普通物理教學的證明方法，并指出一種用守恒量完整研究開普勒運動的普物教學思路.

開普勒運動；守恒量；普物教學

目前，已有一些普物教材用三個守恒量講解開普勒運動，優(yōu)點是數學推導較簡單，不須解微分方程和積分運算，物理意義也非常鮮明，很適合普通物理層次的教學.比如在文獻［1］中，通過計算徑矢與矢量B的標積r·B便得出了行星軌道的極坐標方程［1］

其中

由此可知行星軌道是圓錐曲線，ε是偏心率，p是半正焦弦.這樣可以看出矢量B的幾何意義：其方向沿通過焦點的對稱軸，指向最近的拱點，其大小正比于偏心率［1］.

但文獻［1］接下來轉而用有效勢能曲線研究開普勒運動，只得到橢圓軌道情況下的公式［1］

其實上面這個公式可一般地寫為

式（5）表明了能量與行星軌道形狀之間的重要關系，對拋物線軌道（E＝0，ε＝1）、雙曲線軌道（E＞0，ε＞1）和橢圓軌道（E＜0，ε＜1）的所有情況全部適用.

實際上在推出軌道方程（2）后，再導出守恒量L、E、B之間的關系，可以直接得到用能量表示圓錐曲線軌道種類的普遍公式（5），這是用三個守恒量完整解決開普勒運動的一種有效的普物教學思路.為此，我們先用兩種適合普物教學的證明方法推出三個守恒量的關系.

由于是守恒量，故可以用拱點這個特殊點來計算，不難發(fā)現在拱點上，r，v，L三者成兩兩垂直的空間關系，且v×L與r同向，所以有

從式（6）、（7）得v＝（B＋GMm）/L 和r＝L2/［m（B＋GMm）］，均代入式（8），化簡得

這就是開普勒運動中三個守恒量之間滿足的關系式.還可以將式（1）與自身點乘，得

最后，把式（9）代入式（3）中后一個式子，便得到式（5）.這樣用三個守恒量不但導出了行星運動的軌道方程，而且也推出了決定軌道形狀的公式，完整地解決了開普勒運動.

［1］ 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程（力學，第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.330，331，332

2012－05－02）