勻質懸鏈幾何形狀的力學研究

李玉良 黃湘茹

（閩江學院物理學與電子信息工程系，福建 福州 350108）

1 引言

繩索、鐵鏈、柔性電線等兩端固定，懸掛空中在自重或其他外力作用下使用時通常被稱為懸鏈，自重作用下懸鏈幾何形狀用“懸鏈線”描述.懸鏈是一類在工程力學和生產實際中有著廣泛應用的工具，它可用于電力線路、水利吊裝、橋梁施工、旅游或礦山索道、懸索橋、林業集運材索道、客運貨運架空索道甚至納米技術中，因而被廣泛討論［1～3］.早在1690年由雅各布.伯努利提出，伽利略等人曾猜想這條曲線是拋物線，但后來發現不對，最后由約翰·伯努利解出來，萊布尼茨把它定名為懸鏈線.生活中柔繩常用來曬衣服，當它空置時，有確定形狀；當它放上被單時，形狀改變；當它僅掛著若干衣架時，又是另外形狀.大量經驗告訴我們，當懸鏈上受到的外力的大小、方向、作用點分布之一改變時，懸鏈幾何形狀也隨之改變，故探索懸鏈幾何形狀與所受外力分布關系不僅有趣而且有意義.

本文從力學原理出發，對懸鏈問題力學建模并求解；引出并探討懸鏈幾何形狀與其受到外力分布之間的關聯；最后對懸鏈線回稟的幾何參量和力學參量間的關系、計算公式給出了嚴格推導.

2 外力作用下均質懸鏈的幾何形狀

2.1 自重作用下均質懸鏈的形狀

設鏈的質量分布均勻且不隨形狀變化而改變，兩端固定在A、B 兩點，則懸鏈各微元的自重隨各處鏈元的弧長正比分布，記它的線密度為λ、鏈長為S.如圖建立坐標系，兩端點的坐標為A（a1，b1）、B（a2，b2），最低點坐標為（x0，y0）.

圖1 均質懸鏈兩端固定時仼一鏈元x→x＋dx 受力分析

進而

即

這里，T0、λ為均質鏈中間應力的水平分量和線質量密度且均是與位置無關的常量；k＝T0/λg，為懸鏈內稟的力學參量.此方式的通解為

設懸鏈 最 低點 坐 標為 （x0，y0），則 有 初 始條 件y（x0）＝y0，y′（x0）＝0，特解為

故懸鏈因自重而形成的幾何形狀為雙曲函數曲線（通常被稱為懸鏈線），x＝x0是其對稱軸.顯然，它不是圓弧線也不是拋物線，但當|x－x0|?k時，由于

由（5）推出懸鏈線函數在x＝x0附近的泰勒展開為［4］

這個結果說明拋物線是懸鏈線的一級近似，條件|x－x0|?k越滿足近似越準確.

2.2 水平均勻荷載懸鏈的形狀

懸索橋中的懸鏈，所承受的外力主要不是自重而是橋梁的重力，它在懸鏈的水平投影線上均勻施加.故假設懸鏈上任何一段質元受到的外力，其方向豎直向下、大小沿水平方向均勻分布，即與這一段在水平軸的投影長度成正比（比例系數標記為gλ0，λ0為常量、線質量密度量綱）.這種情況下，任意一段質元受豎直方向的外力dF＝gλ0dx，水平方向仍滿足（1）式但豎直方向方程改變為

這里，k0＝T0/λ0g，方程化簡后為k0y″－1＝0，特解為

此時的懸鏈形狀為拋物線.

2.3 懸鏈的幾何形狀與外力分布關系

由式（5）和式（8）推斷：懸鏈的形狀與它不同位置質元在豎直方向受到外力大小的分布密切相關.若這個關系是所受外力與鏈長成正比，則懸鏈形狀為雙曲線（即懸鏈線）；若這個關系是所受外力與懸鏈水平方向投影長度成正比，則懸鏈形狀為拋物線（非懸鏈線）.懸空高壓電線豎直方向受到的外力為電線自重，滿足前者條件因而電線形狀是懸鏈線；若懸線豎直方向受力主要不是自重而是負載，如懸鏈工路橋、用于掛窗簾布的輕繩，近似滿足后者條件因而形狀接近拋物線.

一般考慮，設作用在均質鏈上外力的線密度分布函數為dF＝gλ（x，y，y′）dx，則類似2.1節中分析，懸鏈形狀曲線為方程

3 懸鏈線內稟參數關系

3.1 勻質鏈一般情形

選取懸鏈形狀由懸鏈線描寫.如圖1所示，定義下列幾何參數：兩端點A、B 的水平方向和豎直方向的長度w、h，懸鏈下垂深度f

由于兩端點A、B 在懸鏈線上，所以h和懸鏈弧長S 為

由此得由懸鏈內稟參數滿足的關系式

上式中含有懸鏈線幾何參數w、h、S（由鏈長和端點位置決定）和力學參量k（k＝T0/gλ），四者相互制約.當均質鏈長度（S ） 一定，兩端懸掛于固定點（即w、h 給定）時，則（1）力學參數k 確定；（2）懸鏈中各質元間內的水平應力T0與鏈的線質量密度λ成正比；（3）處于x 處質元間內應力

與T0一樣與λ成正比.由（14）式，T （x） 仍然關于x＝x0對稱，最低點（x0，y0）鏈元間的內應力最?。礊門0），離最低點越遠鏈元之間的內應力越大.據此，可以定性解釋制作手工拉面時常常發生的現象：被手抓住兩端提起的條形面團，手握處快速變細，這樣變化隨面團向下慚慚變小，一段時間后變化停止面團形態穩定；因為手握處的面團內應力開始時最大，隨著面團變細（λ↓）引起k↑（k＝T0/gλ），反過來導制內應力變?。▍⒁娛剑?4）），當各處粗細漸變的面團間內應力一致時面團變化停止.

3.2 端點在同一水平面上的懸鏈線

懸鏈下垂深度

考慮懸鏈線兩端點在同一水平面上，下垂深度f、參量關系（13）式變為［4］

上式消去雙曲函數得

從而

由上述四個公式可得出下列關于端點水平的懸鏈線的幾個結論：（1）三個幾何參量（w 、S、f）中只有兩個獨立；（2）端口的寬度（w ）、鏈長度（S） 確定，力學 參 量（k、T0、T （x） ）和 下 垂 深度（f） 隨之確定，且與鏈的材質（λ） 無關（λ 變化被T0變化抵消）；（3）對于給定的均質鏈（S、λ 確定），只要給定端口寬度（w ），其他參量f、k、T0與T （x） 隨之確定.

通常f?S，S 與w 同數量級，由式（16）～式（18）可推出近似公式

在精度不嚴格情況下，式（20）中公式可方便計算.

4 小結

［1］郭致星，魯束.懸鏈線模型和拋物線模型的差異性及其對ADSS設計影響［J］.電力系統通信，2003，（11）：35～37

［2］J.G.Bankstain，黃迅成.A note on catenary.揚州職業大學學報，2009，13（1）：1～5

［3］刑富沖.懸鏈線馳埀度的計算方法［J］.數學的實踐和認識，2004，34（11）：98～101

［4］《數學手冊》編寫組.數學手冊［M］.北京：高等教育出版社，1979.57～61