一類混沌系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)同步控制及其應(yīng)用

譚 文 ，蔣逢靈 ，王耀南 ，劉建勛 ，唐婷婷

1.湖南科技大學(xué) 知識(shí)處理與網(wǎng)絡(luò)化制造省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201

2.湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201

3.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082

1 引言

客觀世界是唯一的，究竟將其定義為確定性的還是隨機(jī)性的，一直以來(lái)未有定論。而混沌學(xué)的誕生，為這兩大體系之間筑起了一座相互聯(lián)系的橋梁。自20世紀(jì)90年代以來(lái)，混沌同步的研究在各相關(guān)學(xué)科，如物理、醫(yī)學(xué)、生物工程、信息科學(xué)等領(lǐng)域所顯示出的潛力，引起了越來(lái)越多專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。自1990年Carroll和Pecora[1]首次提出實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)之間同步的思想以來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多科研人員投身到混沌同步及其在保密通信方面的應(yīng)用研究之中[2-8]。目前混沌保密通信有以下幾種方法：混沌掩蓋[9]、混沌鍵控通信、混沌參數(shù)調(diào)制和混沌擴(kuò)頻通信。混沌掩蓋屬于混沌模擬通信，其主要思想是將具有逼近于高斯白噪聲統(tǒng)計(jì)特性的混沌信號(hào)作為一種載體，在發(fā)送端隱藏信號(hào)或遮蔽所要傳送的信息，然后在接收端利用同步后的混沌信號(hào)去掩蓋，恢復(fù)出有用信號(hào)，以此達(dá)到保密通信的目的[10]。要順利完成混沌保密通信任務(wù)，首先必須使得接收端和發(fā)送端之間的混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。近年來(lái)，有關(guān)混沌同步的方法和混沌控制技術(shù)得到了較為充分的研究[11-15]。

目前，實(shí)踐已經(jīng)證明滑模控制是針對(duì)未建模動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或不確定系統(tǒng)魯棒控制的一種行之有效的策略，該技術(shù)關(guān)鍵點(diǎn)是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)軌線達(dá)到原點(diǎn)的特定光滑流形（滑動(dòng)面）上，并將其穩(wěn)定保持在該滑動(dòng)面上，使得系統(tǒng)具有設(shè)計(jì)者所期望的性能。其中文獻(xiàn)[16]采用滑模控制手段，成功實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)相同的混沌系統(tǒng)之間的同步。

本文通過(guò)設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)控制器，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)相同的Chen混沌系統(tǒng)之間的完全同步，并將其應(yīng)用于保密通信中；數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方案的有效性與可行性。

2 混沌系統(tǒng)模型描述

陳關(guān)榮[17]等人在1999年利用混沌反控制的思想發(fā)現(xiàn)了Chen混沌吸引子，其數(shù)學(xué)模型描述如下：

其中，x、y、z為狀態(tài)變量，a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)(a,b,c)=(35,3,28)時(shí)，系統(tǒng)（1）出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，其相空間吸引子如圖1所示。由于Chen混沌系統(tǒng)和Lorenz混沌系統(tǒng)一樣，具有復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與豐富的動(dòng)力學(xué)行為特性，因此研究其在混沌保密通信中的應(yīng)用具有極為重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖1 Chen系統(tǒng)吸引子

3 Chen混沌系統(tǒng)滑模同步控制器設(shè)計(jì)

主-從Chen混沌系統(tǒng)可用下面方程表示：

其中，式（2）是主系統(tǒng)，式（3）是從系統(tǒng)。 x1、y1、z1和 x2、y2、z2分別為主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u∈R是待確定的同步控制輸入信號(hào)。

利用混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)保密通信的關(guān)鍵技術(shù)之一，就是必須首先保證在發(fā)送端和接收端之間的混沌系統(tǒng)能達(dá)到有效同步，而這有賴于主系統(tǒng)與從系統(tǒng)之間的信號(hào)同步。為了實(shí)現(xiàn)上述同步的目的，需設(shè)計(jì)系統(tǒng)（3）中的控制作用量u。

用式（3）減式（2），得到誤差動(dòng)力學(xué)方程為：

其中，e1=x2-x1,e2=y2-y1,e3=z2-z1。

由此不難發(fā)現(xiàn)，為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)混沌系統(tǒng)之間的同步，必須設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制律u，當(dāng)t→∞時(shí)，使得同步誤差信號(hào) e1、e2、e3趨于零。

3.1 滑模控制器的設(shè)計(jì)

考慮到從系統(tǒng)只有一個(gè)控制輸入u，因此在選擇滑動(dòng)面時(shí)，定義滑動(dòng)模的流為：

設(shè)計(jì)滑模控制律為：

其中，β和Γ均為正標(biāo)量。

對(duì)式（5）求導(dǎo)數(shù)，并將式（4）及式（6）代入，經(jīng)過(guò)變換可得：

運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)滑動(dòng)模的流構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

顯然，式（8）所示函數(shù)為正且連續(xù)可微的，對(duì)其求導(dǎo)，有：

由于已知a＞0，則t→∞ 時(shí)，e1(t)趨近于0。

根據(jù)式（4）中的第三個(gè)微分方程可知，由于b>0,x2和y1均有界，于是當(dāng)t→∞時(shí)，e3(t)趨近于0。

因此，當(dāng)t→∞時(shí)，誤差狀態(tài)e1、e2、e3均漸近趨近于0。這就意味著，當(dāng) t→ ∞ 時(shí)，x2、y2、z2分別漸近趨近于 x1、y1、z1，也即實(shí)現(xiàn)了主-從系統(tǒng)之間的完全同步。

3.2 數(shù)值仿真結(jié)果

當(dāng)參數(shù)a=35,b=3,c=28時(shí)，主系統(tǒng)（2）呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。主系統(tǒng)初值取為(x1,y1,z1)=(1,1,1),從系統(tǒng)的初值取為(x2,y2,z2)=(4,-4,4),控制器的參數(shù) β=100,Γ=10,仿真過(guò)程時(shí)間為5 s，在2 s時(shí)施加控制輸入作用，誤差信號(hào)e1、e2、e3波形如圖2所示。由該實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，使用滑模控制方法可以在非常短的時(shí)間內(nèi)有效地實(shí)現(xiàn)兩個(gè)Chen混沌系統(tǒng)之間的完全同步。

4 同步控制在保密通信中的應(yīng)用

利用混沌同步實(shí)現(xiàn)保密通信的基本思路：先將所需傳輸?shù)男畔⒃醇釉谀骋粋€(gè)由混沌系統(tǒng)制造的混沌信號(hào)之上，形成所謂的混合類噪聲信號(hào)。根據(jù)混沌信號(hào)的寬帶類噪聲特點(diǎn)，將有用信息信號(hào)隱藏或疊加到混沌信號(hào)上發(fā)送出去，從而達(dá)到對(duì)信息源加密的目的。當(dāng)該混合信號(hào)被送至接收器上后，再采用混沌同步技術(shù)分離其中的混沌信號(hào)，完成信息解密，從而在輸出接收端恢復(fù)出發(fā)送端輸送的信息源。

圖2 在滑模控制下的同步誤差

現(xiàn)在將本文的同步方法用于保密通信中，假如所需傳輸?shù)男盘?hào)為i(t),在發(fā)送端將該有用信號(hào)與混沌信號(hào)x1進(jìn)行疊加，這樣就構(gòu)造了類噪聲的合成信號(hào)s(t),于是便達(dá)到了保密傳送的目的。對(duì)于接收端，當(dāng)收發(fā)端信號(hào)與之達(dá)到同步時(shí)，混沌狀態(tài)x2漸近等于x1,然后從s(t)中將混沌信號(hào)解密出來(lái)，就可以還原出有用的信號(hào)，設(shè)為i?(t)。

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程及輸出方程為：

其中s為發(fā)送端系統(tǒng)的輸出。

通過(guò)上面的同步控制方法，可知當(dāng)e(t)→0時(shí)，x2→x1，于是有：

其中為接收端復(fù)原出來(lái)的信號(hào)，x2為接收端系統(tǒng)的輸出。

下面是數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)i(t)為需發(fā)送的二進(jìn)制序列有用信號(hào)，如圖3所示。同步保密通訊結(jié)果如圖4和圖5所示。由圖4可知，此時(shí)所需傳送信號(hào)與有用信號(hào)變得毫不相干，從而達(dá)到了難為外人所破譯的保密目的；由圖5可知，在接收端，接收系統(tǒng)有效地恢復(fù)了發(fā)送端傳送系統(tǒng)的有用信號(hào)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該保密通信方案具有很好的可行性與有效性。

圖3 Chen系統(tǒng)同步保密通信的有用信號(hào)

圖4 Chen系統(tǒng)同步保密通信的傳輸信號(hào)

圖5 Chen系統(tǒng)同步保密通信的恢復(fù)信號(hào)

5 結(jié)束語(yǔ)

研究了一類主-從Chen混沌系統(tǒng)的同步控制及其在保密通信中的應(yīng)用問(wèn)題。根據(jù)Lyapunov函數(shù)定理，設(shè)計(jì)出滑動(dòng)模態(tài)控制器，有效地實(shí)現(xiàn)了Chen混沌系統(tǒng)的同步。從數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，對(duì)于Chen混沌系統(tǒng)，其同步誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)通過(guò)控制律調(diào)節(jié)作用，均可漸近穩(wěn)定并趨近于零，實(shí)現(xiàn)了性能良好的混沌完全同步。將其應(yīng)用到混沌保密通信中去，數(shù)值仿真圖形表明，在接收端可以有效恢復(fù)出所需發(fā)送或傳輸?shù)挠杏眯盘?hào)。因此，上述方法具有良好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和理論研究意義。

[1]Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett，1990，64（8）：821-824.

[2]Carroll T L，Pecora L M.Synchronization chaotic circuits[J].IEEE Trans on Circ Syst I，2001，38（4）.

[3]Park J H.Synchronization of genesio chaotic system via backstepping approach[J].ChaosSolitonsFractals，2006，27（5）：1369-1375.

[4]Yan J，Yang Y，Chiang T，et al.Robust synchronization of unified chaotic systems via sliding mode control[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，34（3）：947-954.

[5]龔美靜，瞿少成，王曉燕.一種通過(guò)異結(jié)構(gòu)同步實(shí)現(xiàn)混沌保密通信新方法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2009，31（6）：1442-1444.

[6]Huang C，Hung M.Chaos-based secure communication via control[J].World Academy of Science，2010，119（65）：650-653.

[7]謝英慧，孫增圻.時(shí)滯Chen混沌系統(tǒng)的指數(shù)同步及在保密通信中的應(yīng)用[J].控制理論與應(yīng)用，2010，27（2）：133-137.

[8]廖旎煥，李秋菊，高金峰.基于實(shí)際信道的超混沌保密通信方案[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2011，16（2）：19-22.

[9]Oppenheim A V，Womell C W，Isabelle S H.Signal processing in the context of chaotic signals[C]//Proceedings of the IEEE Int Conf on ASSP，1992，23：117-120.

[10]方錦清，趙耿，羅曉曙.混沌保密通信應(yīng)用研究的進(jìn)展[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，20（1）：6-18.

[11]譚文，王耀南.混沌系統(tǒng)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[12]Wang X，Song J.Synchronization of the unified chaotic system[J].Nonlinear Anal，2008，69：3409-3416.

[13]Yan J，Li C.Generalized projectivesynchronization of a unified chaotic system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（4）：1119-1124.

[14]敬曉丹，呂翎.非線性耦合完全網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空混沌同步[J].物理學(xué)報(bào)，2009，58（11）：7539-7543.

[15]Wang Z，Zhang H，Li Y，et al.A new method on synchronization offractional-orderchaotic systems[C]//Proceedings of the Chinese Control and Decision Conference，2010，7：3357-3362.

[16]Zribi M，Smaoui N，Salim H.Synchronization of the unified chaotic systems using a sliding mode controller[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，42（5）：3199-3205.

[17]陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動(dòng)力學(xué)分析、控制與同步[M].北京：科學(xué)出版社，2003.