超混沌Lorenz系統的電路實現與應用

龐壽全，劉永建，朱從旭

1.玉林師范學院 物理與信息科學學院，廣西 玉林537000

2.玉林師范學院 數學與信息科學學院，廣西 玉林537000

3.中南大學 信息科學與工程學院，長沙410083

1 引言

混沌指在確定的非線性系統中，不需要附加任何隨機因素亦可出現的類似隨機行為。該現象普遍存在于自然之中，引起人們的廣泛關注；混沌的理論與應用研究也已經成為非線性科學最重要的前沿內容之一。超混沌吸引子是指具有兩個或兩個以上的正Lyapunov 指數的混沌吸引子，其相軌較一般混沌吸引子而言，將在更多方向上分離，因而其混沌行為更為復雜。在連續的自治系統中，能夠出現混沌的非線性常微分方程的最低維數為三維，而包含超混沌吸引子的相空間維數至少是四維，需要用包含4個以上的一階耦合自治常微分方程描述，且引起系統不穩定項的數量至少為兩個，常微分方程組中至少有一個非線性項[1]。 因此，超混沌系統無論在代數結構還是動力學行為上都比通常的混沌系統更復雜。

在混沌保密通信中，利用混沌信號的類隨機性對有用信息進行加密，信息的保密程度與混沌模型的維數以及混沌信號的復雜程度有著直接的關系。己經證明，用簡單的混沌系統加密信息并不安全[2]。因為信號一旦被截獲，便可通過非線性信號的處理技術對其破譯。然而高階超混沌系統能夠提供比通常混沌吸引子更為復雜的超混沌吸引子，因而具有更好的保密性[3-4]。同樣的道理，正是由于超混沌吸引子的動力學行為更難以預測，使得其在需要復雜混沌行為的其他工程領域，例如數字語音、激光和振蕩等各方面有著更為巨大的應用潛力和更為廣泛的應用前景。因而，對超混沌的機理和應用研究成為了混沌學中的又一熱點。

在維數大于4 的連續自治系統中，混沌現象是比較容易產生的。對于高維（維數大于4）連續自治系統，使其具有兩個正的Lyapunov 指數也比較容易實現。常用的方法是把多個低維連續自治混沌系統耦合到一起形成超混沌系統[5]。比如，文獻[6]把兩個蔡式電路耦合產生超混沌；文獻[7]在兩個耦合的Rossler 混沌系統中實現了混沌到超混沌的轉換；還有耦合振蕩器產生的超混沌[8]，利用兩個非線性耦合的諧振電路實現的超混沌等等。但是，能夠產生超混沌的自治連續系統的最低維數是四維，因此對于四維連續自治超混沌系統的研究就具有特別的意義。據資料顯示，第一個超混沌連續系統是Rossler 在1979 年利用計算機仿真獲得的[9]。1986 年，Matsumoto 等人首次利用一個四階電子電路實現了超混沌實驗[10]。之后，研究人員使用不同的方法實現了一些超混沌系統，例如，利用一個四階自治電路與一個齊納二極管的連結來實現超混沌，利用耦合低維系統實現超混沌等。

Lorenz混沌系統作為第一個被提出的混沌系統模型[11]，已經成為了混沌系統的典范，在混沌研究領域具有廣泛的普適意義。本文將在經典Lorenz 混沌系統的基礎上，通過增加一個非線性控制器，構建一個新的超混沌Lorenz 系統。數值分析結果表明，非線性控制器的增加，導致新系統的動力學行為更加復雜。同時，本文還設計了與該新超混沌系統相對應的超混沌電路，通過示波器能很好地觀察到該電路的混沌吸引子相圖，實驗結果與系統的數值模擬結果基本吻合，進一步驗證了該超混沌Lorenz 系統的混沌行為。通過將新系統應用于圖像加密實驗，表明了由該系統產生的混沌序列具有良好的密碼學特性。

2 超混沌Lorenz系統的構造

Lorenz 系統是Lorenz 于1963 年發現的首個具有混沌特性的三維自治系統，其狀態方程如下：

當參數a=10,b=8/2,c=28 時，系統處于混沌狀態，其吸引子在各平面的投影如圖1 所示。

要使系統產生超混沌吸引子，必須滿足以下條件：系統具有耗散結構，方程的維數不少于4，系統至少有兩個增強不穩定因素的方程且方程中至少含有一個非線性項。當保持系統（2）參數a、b、c 與系統（1）一致時，對系統進行全微分，不難得到：

?V ＜0，說明系統（2）滿足耗散結構條件，將會產生混沌吸引子。當t →∞時，系統將以e-13.67t速率收斂，所有系統的軌線都被限制在一個體積為零的極限點集上。

3 超混沌Lorenz系統的動力學行為

為了研究系統的動力學行為隨控制參數k 的變化情況，保持參數a、b、c 的值與系統（1）一致，令k 在（0，17）區間變化，得到系統隨k 變化的分岔圖，如圖2 所示。 Xmax表示系統在每個不穩定周期或穩定周期中x 的峰值，當系統做周期運動時，對應同一個k 值Xmax只能取到一個或有限幾個值，而當系統處于混沌狀態時，對于同一個k 值Xmax卻能取無數個值。同時還不難得到系統的Lyapunov 指數隨k的變化圖，如圖3 所示。

由圖3 可以看出，當k ∈(0,3.8)，系統的4 個李雅普諾夫指數λ1＞0, λ2＞0, λ3=0, λ4＜0，說明此時系統處于超混沌狀態。當k ∈(3.9,6.2)時，λ1=0, λ2=0, λ3＜0, λ4＜0 ，系統處于擬周期運動狀態；當k ∈(6.3,10),λ1＞0,λ2=0,λ3＜0,λ4＜0，系統又處于混沌狀態，當k ∈(10,11)系統的第一個李雅普諾夫指數λ1出現多次正負變化，說明系統處于周期和混沌兩者之間交替變化的狀態。 k ∈(11.2,12)時，第一個李雅普諾夫指數λ1恒為正，則說明系統保持混沌狀態不變，當k ＞12 時，λ1=0，系統運動狀態為周期振蕩。當參數k=2 時，λ1=0.223 0, λ2=0.138 9, λ3=0, λ4=-14.038 0, 由此可得系統吸引子的分形維數：

圖2 系統（2）隨參數k變化的分岔圖

DL為分數，表明系統具有分形特征。

由以上分析可知，隨著控制參數k 的變化，系統（2）將呈現出不同的動力學行為。利用Matlab 軟件，采用四階龍格-庫塔算法，對系統進行了數值模擬，得到系統（2）的混沌吸引子相圖分別如圖4 和圖5 所示。由圖4 可見，隨著k 的變化，得到了系統分別處于超混沌、擬周期、混沌和周期的運動狀態。圖5 為系統混沌吸引子在各個平面的投影圖。

彭加萊截面也是系統動力學行為特征的重要判據，但截面的選取必須恰當，截面不能和吸引子的軌線相切，也不能在軌線平面上。當彭加萊截面是兩個離散的點時，說明系統是周期振蕩，截面上出現幾對離散點，系統運動形式是擬周期振蕩。當系統的彭加萊截面是由片狀或線狀的、并具有分形特征的大量點組成時，系統的運動方式是混沌運動。為了進一步判斷系統的動力學特征，根據系統混沌吸引子截取得到系統（2）的彭加萊截面圖，如圖6 所示，可見系統具有混沌行為。

圖3 Lyapunov 指數隨參數k變化

圖4 控制參數k取不同值時，系統混沌吸引子呈現的狀態特征

圖5 k=1.5 時系統吸引子在各平面的投影圖

圖6 系統（2）在x-z平面上的彭加萊截面圖

4 超系統Lorenz系統電路的設計及其實驗

為了從實驗上驗證混沌系統的動力學行為，可以采用設計非線性電路的方法，用電壓來模擬系統的狀態變量，這種實驗方法的物理量易于測量，同時也能較準確地反映混沌系統的動力學行為[12]。為了驗證系統（2）的動力學行為，根據系統（2）的數學模型，設計了一個非線性實驗電路，以便于觀察系統的動力學行為。在設計電路的時，為了能更好地觀察系統的狀態變化圖，在不改變系統狀態性質的基礎上，對系統方程進行線性變換，以便于使系統的變量在電路元器件允許的范圍內變化。于是將系統（2）的方程進行線性變換成如下形式：

根據上述方程（5），不難設計出如圖7 所示的電路和電路方程（6），根據實驗設計電路再給出實物圖。圖中U1～U11采用型號為LM741 的運算放大器，模擬乘法器采用了AD633 型號。

圖7 超混沌Lorenz系統的電路實現圖

該電路的電路方程為：

該電路方程與系統（2）的方程形式是一致的，通過選用合適的元件參數，即可以實現與系統（2）一致。因此，取R1=R2=R3/1.0, R7=R11/2.8, R8=R9=R11/0.1, R10=R11/10 ，R15=R17/2.8,R16=R17/10,R22=R23/3，通過改變R21來實現對參數k 值的改變。同時取R3=R4=R5=R6=R11=R12=R13=R14=R17=R18=R19=R20=R23=R24=10 kΩ,則R1=R2=10 kΩ,R7=3.57 kΩ,R8=100 kΩ,R9=100 kΩ,R10=1 kΩ,R15=3.75 kΩ,R16=1 kΩ,R22=300 kΩ,R23=50 kΩ。另外，為了便于能在示波器上觀察到完整、穩定的波形圖，取C1=C2=C3=C4=100 nF,此時波形的振蕩頻率約為1 000 Hz，通過示波器觀察到的實驗結果如圖8 所示。由圖可見，電路的實驗結果和系統（2）的數值仿真結果吻合。

圖8 實驗電路在示波器中演示得到的實驗結果

5 新系統在圖像加密中的應用

將本文提出的超混沌Lorenz 系統（2）應用于圖像加密，實驗取256×256×8 位的標準Lena 灰度圖像（像素數量N=256×256）。系統（2）的狀態初值取（2.4，3.5，4.6，5.0）；系統參數取：a=10，b=8/3，c=28，k=2.0，使得系統（2）是超混沌的；時間步長取0.001。預迭代1 000 次后，繼續迭代N/4次，對4 個狀態變量序列各取后面長為N/4 的子序列，再將4 個子序列連接成長度為N 的序列S={xi,yi,zi,wi,i=1,2,…,N/4}, 令S={sj},j=1,2,…,N 。然后按公式（7）對序列S 進行改造（即取sj實數的小數點后14 位數字構成的整數對256 取余），得到適用于圖像加密的密鑰序列K={kj},j=1,2,…,N 。

其中，floor（x）取小于或等于x 的最大整數。然后，利用公式（8）明文圖像像素pi逐個進行加密，得到密文像素序列{cj}：

其中，p-1為一預設常數，這里取p-1＝66。實驗所得結果如圖9 所示，圖（a）和（b）分別是原始圖像及其像素值分布直方圖，而圖（c）和（d）則分別是加密圖像及其像素值分布直方圖。

圖9 Lena圖像加密實驗結果

從圖9 可以看到，加密圖像的直方圖呈非常均勻的分布，完全不同于原始圖像的直方圖，這表明由超混沌系統（2）產生的混沌序列所加密的圖像，其像素值分布是均勻的。因此，密文將具有很好的抗統計分析攻擊的性能。

6 結論

本文在經典的Lorenz 系統的基礎上，通過引入非線性控制器，構建了一個新的四維超混沌系統，通過調整新系統的控制參數，實現了系統的超混沌、混沌、擬周期和周期振蕩等豐富的動力學行為。此外，根據新的超混沌Lorenz系統方程，設計了實驗電路，通過電路狀態量的測量進一步驗證了該Lorenz 系統的動力學行為及其演化規律，電路的實驗結果與數值仿真的結果能很好地吻合。本文的理論及電路設計方法，對超混沌信號源的設計均具有指導意義。最后，將該系統應用于圖像加密實驗，結果表明，該系統產生的偽隨機序列具有很好的密碼學性能，因此，該系統在多媒體信息保密通信和信息安全領域具有良好的應用前景。

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