基于最優ARIMA模型的我國GDP增長預測

李 娜，薛俊強

（1.浙江萬里學院 商學院，浙江 寧波 315100；2.寧波廣播電視大學 經管系,浙江 寧波 315016）

0 引言

如何科學、準確地預測未來幾年的GDP走勢，成為政府科學制定經濟政策進而進行有效宏觀調控的前提條件。關于GDP的預測，國內外學者進行了大量的研究。大致可以分為兩類：一類是用簡單線性模型進行分析預測；一類是用復雜矢量模型進行預測。筆者認為，如果能找到一種簡單線性模型進行精度高的有效預測，那么用復雜矢量模型就顯得沒有必要了。GDP是時間序列變量，很多學者運用經典時間序列分析模型ARIMA（p，d，q）模型進行了研究和預測。在研究了近年來各類學術刊物上運用ARIMA模型進行GDP預測的文章后，筆者發現這些研究中，如王正宇（2011）、趙婷（2011）、韓衛國（2007）、華鵬（2010）等絕大多數學者采用了統計局公布的名義GDP數值，而不是剔除了物價指數的實際GDP。這樣帶來的嚴重問題就是將走勢復雜的物價指數因素耦合進來，這就增添了復雜擾動項，從而可能會提高研究的復雜性，降低預測的科學性。其次，學者們對于ARIMA（p，d，q）模型的滯后階數p和q的確定方法也是各不相同。郭曉峰(2012)、占健智（2009）通過對自相關和偏相關函數圖的直觀觀察來確定p和q的值，而沒有考慮AIC和SC準則及多重假設檢驗對模型的決定性影響，這樣確定的p和q并不一定是最優的；余后強（2012）直接依據AIC和SC準則確定了p和q的值，建立ARIMA模型，但沒有對模型進行后續必要的假設檢驗，從而其所建模型的有效性值得商榷。再者，如王龍兵(2012)和武文婕(2007)等學者對GDP進行預測的研究部分要么言辭模糊，要么預測精度不高。

本文中，筆者將以1952～2011年的不變價格GDP（剔除了物價指數因素）作為研究樣本，通過多次嘗試和檢驗，確定最優p和q，從而建立最優ARIMA（p，d，q）模型，進而對未來幾年的GDP進行預測。

1 ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,簡記 ARIMA)，是由美國統計學家Box和英國統計學家Jenkins于20世紀70年代初提出的一個著名的時間序列預測方法，所以又稱為Box-Jenkins模型。ARIMA（p,d,q）模型是ARMA(p,q)模型的一般形式，ARMA(p,q)模型要求變量必須平穩，當變量中不僅包含白噪聲因素，還包含隨機游走因素時，ARMA(p,q)模型不再適用，這時就要用到ARIMA（p,d,q）模型。ARIMA（p,d,q）模型將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值以及隨機誤差項的現值和滯后值進行回歸所建立的模型。

2 建立模型和檢驗模型

2.1 ARIMA（p,d,q）模型形式

設Yt是d階單整序列，即Yt～I（d)。

其中，C為常數，εt是個白噪聲過程，α為自回歸模型的系數，是待估參數，β為移動平均模型的系數，也是待估參數。p和q分別是自回歸模型和移動回歸模型的最大階數。

2.2 建模過程

（1）檢驗GDP序列的平穩性。根據自相關函數和偏自相關函數圖以及ADF單位根檢驗其方差、趨勢和其變化規律，對序列的平穩性進行識別。

（2）對非平穩序列進行平穩化處理。如果數據序列是非平穩的，并存在一定的增長或下降趨勢，則需要對數據進行差分處理，直到序列平穩。

表1 1952～2011年中國國內生產總值GDP統計表（單位：億元，以不變價格測算）

（3）建立模型，進行參數估計，檢驗是否具有統計意義。

（4）進行假設檢驗，診斷殘差序列是否為白噪聲。

（5）利用已通過檢驗的模型進行預測分析。

2.3 數據來源

本文數據來自《中國統計年鑒》，筆者剔除了歷年物價指數的影響，以不變價格測算得到1952～2011年中國國內生產總值GDP，詳見表1，GDP的時間走勢圖見圖1。之所以剔除物價指數的影響，主要是考慮到物價指數的較大波動會帶來GDP數值出現“聚類效應”和“慣性”，從而導致擾動項可能出現異方差和序列自相關，進而可能導致最后的模型雖然可能仍然是線性和無偏的，但卻不是有效的，也就無法運用所建模型有效預測未來GDP。

圖1 GDP的時間走勢圖

2.4 建立模型

本文運用EVIEWS 6.0軟件對數據進行統計分析。

2.4.1 GDP序列平穩性檢驗

將GDP序列取對數，得到新的序列LNGDP，對LNGDP序列進行單位根檢驗，具體是選用ADF平穩性檢驗（檢驗結果如表2），得知LNGDP是非平穩的；對LNGDP進行一次差分處理，得到DLNGDP序列，對該序列進行ADF平穩性檢驗（檢驗結果見表3），檢驗結果表明DLNGDP是平穩的，也就是說LNGDP是一階單整的，即LNGDP～I(1)，因此建立ARIMA（p,1,q）模型。

表2 LNGDP序列平穩性檢驗結果

表3 DLNGDP序列平穩性檢驗結果

接下來確定滯后階數p和q。對DLNGDP序列進行自相關函數檢驗，檢驗結果見表4：

表4 DLNGDP的自相關函數檢驗結果

2.4.2 建立最優ARIMA模型

從表4可以看出，自相關系數（AC）和偏相關系數（PAC）的變化沒有一個穩定的規律，但能初步判斷兩者從第8階后都開始快速減小。所以依據Akaike info和Scharz準則的篩選，根據p和q的取值組合，進行 36組 ARIMA（p，1，q）[p＝3,4,5,6,7,8;q=3,4,5,6,7,8]建模嘗試，并經過方程殘差自相關檢驗（LM檢驗法）、殘差正態性檢驗（JB統計量檢驗法）、擬合優度檢驗，最后找到最優p、q值分別為p＝6，q＝3。因此建立最優模型為：ARIMA(6,1,3)模型。模型方程的輸出結果見表5，殘差擬合見圖2。

圖2 ARIMA(6,1,3)模型的殘差擬合圖

表5 ARIMA(6,1,3)模型的輸出結果

2.4.3 變量顯著性檢驗

從表5分析：在5%的置信水平下，只有常數項C、AR(1)、AR（3）、MA（3）通過了系數顯著性t檢驗；其他系數和常數項都沒有通過，應該從模型方程中剔除。

2.4.4 擬合優度檢驗

從表5分析，Adjusted R-squared為0.757907，殘差擬合圖見圖2。從圖中可以看到，模型擬合效果較好，尤其是從1995年以來，擬合精度很高。

2.4.5 殘差正態性檢驗

對方程殘差進行正態性檢驗，得到輸出結果如圖3，JB統計量對應概率大于10%的置信水平，因而回歸方程殘差服從正態分布。

圖3 模型正態性檢驗結果

2.4.6 方程顯著性檢驗（F檢驗）

從表5分析，F-statistic的值為19.08812，對應的概率值為0，說明所建模型方程通過了F檢驗，該模型線性關系成立。

2.4.7 模型CHOW穩定性檢驗

將本文中所用的60個數據樣本從中間分成2個部分，中間分界點是1991年。因此CHOW分割點就是1991年。CHOW檢驗輸出結果見表6：

表6 CHOW分割點穩定性檢驗結果

從表6中可以看出，模型方程的F統計量和LR統計量對應的概率值都很大（接近1），因此接受CHOW檢驗的原假設：模型無顯著結構變化，即本模型具有高度的穩定性。

2.4.8 對ARIMA(6,1,3)模型進行殘差序列自相關檢驗

針對該模型為時間序列模型的特點，筆者采用Lagrange Multiplier檢驗法，對模型的殘差序列進行自相關檢驗。檢驗結果見表7：

表7 ARIMA(6,1,3)模型的殘差序列自相關檢驗

由表7可知，得到的F-statistic和Obs*R-squared兩個值對應的概率值（Probability）分別是0.272232、0.206047，均大于10%的顯著性水平，因此表明殘差不存在序列相關。從殘差線圖Residual Graph（見圖4），也可以判斷出殘差序列不相關，為白噪聲。

因此，最后得到ARIMA(6,1,3)模型的回歸方程式：

圖4 殘差線圖Residual Graph

3 模型的預測

利用建立的模型對歷年GDP進行預測，得到輸出結果如圖5：

圖5 ARIMA(6,1,3)模型預測輸出結果

從圖上可以看到，Theil不相等系數為0.159732，表明模型的預測能力較好，而對它的分解表明偏誤比例接近于0，方差比例也較小，說明模型的預測效果較好。

利用該模型，預測得到2009～2015年的DLNGDP，又根據差分反推計算，得到GDPt＝GDPt-1×eDLNGDPt，進而計算出2009～2015年GDP預測值。其中2009～2011年的GDP實際值是已知的，因此可以將預測值跟實際值進行比對，得到預測誤差率（見表8）。

表8 利用ARIMA(6,1,3)模型預測2009－2015年的不變價格GDP （單位：億元）

4 結論

⑴從表8可知，通過模型對2009～2011年GDP進行預測,誤差率分別為0.29%、1.46%、0.37%，預測精度較高。因此筆者有理由相信模型對未知的2012～2015年的GDP進行預測，也會有較好的預測精度。

⑵本文的模型之所以預測精度較高，源于四個方面：第一，本文剔除了價格變動，采用不變價格GDP作為研究數據，更真實而直接地反映GDP的變化規律；第二，本文采用數據樣本為1952～2011年的中國不變價格GDP，樣本容量是60個，完全滿足建立ARIMA模型所需的樣本數量要求；第三，建模過程中，筆者建立了36組模型，依據AIC和SC準則、正態性檢驗要求、模型穩定性CHOW檢驗等多重篩選原則，找到最優p、q值，從而建立最優ARIMA（6,1，3）模型；第四，模型成功通過了多種檢驗，估計參數和方程線性顯著，穩定性優越，擬合優度良好，同時模型殘差高度符合正態分布，且為白噪聲。

⑶模型預測到2012年GDP增長率為7.87%。從筆者撰文時統計局已經發布的季度和月度數據來看，國內經濟各項指標繼續保持下滑態勢，今年GDP“破8”是大概率事件，這也大致相合了本文模型的預測。2013年國內調整產業結構的挑戰依然嚴峻，加之歐盟、日本等主要經濟體的需求預計依舊疲軟，所以預計2013年中國經濟將進入一個低谷，GDP增長率達到30年來最低值7.15%。但壞日子總會過去，從2014年開始中國經濟將會探底回升。當然，本文模型的預測結果還要接受即將到來的事實的檢驗。

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