屬性值為區間數的多屬性決策OWA 算法

焦 佳，周慶健，2

(1.大連民族學院 理學院，遼寧 大連116605;2.大連理工大學 系統研究所，遼寧 大連116024)

多屬性決策是決策者在考慮多個屬性的情況下，對方案集進行排序并擇優的決策問題，是現代決策科學的一個重要組成部分，在當今社會諸多領域中有著廣泛應用。一般說來，多屬性決策可分為兩個步驟:(1)獲得相應決策信息，它一般包括兩個方面，即屬性權重和屬性值;(2)通過一定方式對決策信息進行集結并對方案集進行排序和擇優。在多屬性決策問題中，由于決策問題的復雜性和決策者對事物判斷的不確定性，決策者常常不能給出屬性的精確數值，因此在描述不確定性信息時常采用區間數形式。所以屬性值為區間數的多屬性決策問題受到了眾多該研究領域的專家及學者的關注。當前現有的針對屬性值為區間數的決策方法有:可能度法、逼近理性點算法、最小偏差法、粗糙集法、概率方法和中轉算法等等［1－7］。其中文獻［1，5］對屬性值為實數的多屬性決策給出了OWA 算法，文獻［2］中應用OWA算法解決了對共識語言模型的群決策問題，文獻［3］給出了決策對象的優勢關系與其屬性值兩端點的實數值之和存在等價關系的論斷。

本文結合以上研究結果，對此類問題提出了一種新的更為簡潔實用的決策分析方法。首先論證決策對象的優勢關系與其屬性值區間數的兩端點數值平均值(區間中值)存在等價關系，然后將區間數的多屬性決策問題轉化為以區間中值為屬性值的決策問題，應用OWA 算法進行方案的排序與擇優，最后給出一個實例。

1 決策分析

1.1 區間數

1.2 區間數優勢關系

性質2 理想點的優勢關系:

由此說明在決策中，決策對象的優勢關系與決策區間屬性值的區間中值大小等價。

性質3 (1)當且僅當由正理想點構成的方案為最優方案時，;

(2)當且僅當由負理想點構成的方案為最優方案時，

證明 (1)當U*={，，…，}為正理想點構成的決策方案時，有，則若A?B，則，有即;同理可證(2)成立。

綜上可知，屬性值為區間數的多屬性決策對象排序時，決策對象優勢關系大小與其屬性值區間的區間中值大小等價。從而可以把對區間數的排序問題轉化為對區間中值的排序，這種方法比較簡潔方便。

1.3 多屬性決策的有序加權平均算法(OWA 算法)

對于某一多屬性決策問題，設X=(x1，x2，…，xn)為方案集，U=(u1，u2，…，um)為屬性集。

定義6 設算子OWA:Rn→R，若OWAω(α1，α2，…，αn)=，其中ω=(ω1，ω2，…，ωn)是加權向量，ωi∈［0，1］，且=1，bj是一組數據(α1，α2，…，αn)中第j 大的元素，R 為實數集，則稱函數OWA 是有序加權平均算子，也稱OWA 算子。在此我們采用權重ω=(ω1，ω2，…，ωn)的一種常用選擇:

這樣就可以根據多屬性決策的OWA 算法進行方案集的排序和擇優，進而解決屬性值為區間數的多屬性決策問題。

2 多屬性決策的OWA 算法決策步驟

綜上分析，我們應用OWA 算法解決屬性值為區間數的多屬性決策問題的步驟如下:

步驟1 由決策對象優勢關系大小與其屬性值區間的區間中值的大小等價，我們把原始決策矩陣中的每個區間［aL，aU］用區間中值來等價替換，這樣原始的有區間數構成的決策矩陣就轉換成由實數構成的決策矩陣A=(aij)。

步驟2 將決策信息的原始數據構成的決策矩陣A=(aij)規范化，得到規范化矩陣R (rij)。常見的屬性類型有效益型和成本型，其中效益型屬性是越大越好，成本型屬性是越小越好。設I1，I2分別表示效益型和成本型屬性的下標集，為消除不同物理量綱對決策結果的影響，可對原始屬性值作如下規范化處理:

這樣就得到規范化矩陣R=(rij)。

步驟3 應用式(1)中給出的方法確定加權向量ω=(ω1，ω2，…，ωn)，利用OWA 算法對各方案xi進行集結，求得其綜合屬性值zi(ω)=OWAω(ri1，ri2，…，rim)=，且bij是ri1，ri2，…，rim中第j 大的元素。

步驟4 按zi(ω)的大小對方案進行排序和擇優，確定最優方案。

3 實例分析

某投資銀行擬對某市4 家企業(方案)xi，i=1，2，3，4 進行投資，抽取下列5 項指標(屬性)進行評估:u1表示產值(萬元)，u2表示投資成本(萬元)，u3表示銷售額(萬元)，u4表示國家收益比重，u5表示環境污染程度。投資銀行考察了上年度4 家企業的上述指標情況，所得評估結果見表1，其中，投資成本、環境污染程度為成本型，其他3 個為效益型，屬性權重按式(1)取定，試確定最優投資方案［1］。

表1 決策矩陣表格

步驟1 把原始決策矩陣中的每個區間數用區間中值來等價替換，得到由實數構成的決策矩陣:

步驟2 將A=(aij)按照式(2)(3)規范化得矩陣

步驟3 按屬性權重式(1)，結合問題實際意義設α=0.6，則ω=(0.6，0.1，0.1，0.1，0.1)，利用OWA 算子對每個方案xi，i=1，2，3，4 的屬性值進行集結，求其綜合屬性值zi(ω)，i=1，2，3，4，則

步驟4 按綜合屬性值zi(ω)，i=1，2，3，4 的大小對各企業進行排序x3＞x2＞x4＞x1。

故可看出最優企業是x3，該投資銀行可選擇第3 家企業。

4 結 語

屬性值為區間數的多屬性決策問題是現代決策科學的重要組成部分。本文針對此類多屬性決策進行了深入研究，主要做了如下3 個方面工作:(1)首先論證決策對象的優勢關系與其屬性值區間數的區間中值存在等價關系;(2)將區間數的決策問題轉化為以區間中值為屬性值的決策問題;(3)應用有序加權平均算法進行方案集的排序與擇優。通過驗證表明，本文方法實用可行，較好地解決了屬性值為區間數的多屬性決策問題。

［1］徐澤水. 不確定多屬性決策方法及應用［M］. 北京:清華大學出版社，2004.

［2］ BORDOGNA G，FEDRIZZI M，PASI G. A linguistic modeling of consensus in group decision making based on OWA operators［J］. IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1972，27:126 －132.

［3］劉健，劉思峰. 屬性值為區間數的多屬性決策對象排序研究［J］. 中國管理科學，2010，18(3):90 －94.

［4］樊治平，胡國奮. 區間數多屬性決策的一種目標規劃方法［J］. 管理工程學報，2000，14(4):50 －52.

［5］徐澤水. 幾類多屬性決策方法研究［D］. 南京:東南大學，2002.

［6］JAHANSHAHLOO G R，LOTFI F H，IZADIKHAH M.An alforithmic method to extend TOPSIS for decision －making problems with interval data［J］. Applied Mathematics and Computation，2006，175(2):1375 －1384.

［7］尤天慧，高美麗. 一種考慮決策者風險偏好的區間數多屬性決策方法［J］. 運籌與管理，2012，21(1):70－74.