基于諧波小波的自適應譜線增強及其應用研究

趙景波，劉慧敏，張磊

(青島理工大學 自動化工程學院,山東青島 266520)

基于諧波小波的自適應譜線增強及其應用研究

趙景波，劉慧敏，張磊

(青島理工大學 自動化工程學院,山東青島 266520)

針對隨著傳播距離的增大極低頻電場衰減很快，很容易被環境噪聲所掩蓋，提出了基于諧波小波的自適應譜線增強器來提高微弱軸頻電場遠程檢測能力的算法。根據實際情況和仿真信號的特點，諧波小波對信號進行9層分解。利用該算法對艦船電磁場縮比模型產生的軸頻電場的實測數據進行處理，結果表明該算法能夠實時有效地將微弱的軸頻電場特征信號從環境背景噪聲中分離出來，大大提高了艦船軸頻電場的檢測能力。同時采用基于基于諧波小波算法的自適應譜線增強的自適應迭代次數比采用最小均方算法的自適應迭代次數少，說明采用基于諧波小波算法的自適應譜線增強能快速收斂。

軸頻電場;小波;諧波小波;自適應;譜線增強

0 引 言

由于海水的導電性,艦船軸頻電場隨著傳播距離的增大衰減很快,容易被環境噪聲所覆蓋,從而不容易被檢測到。因此,為了增強艦船軸頻電場的遠程測量能力，人們在電路上想盡辦法來降低其自噪聲以提高信噪比,從而達到檢測微弱電場信號的目的。如果通過改善測量電路還不能達到目的,則可以通過數字信號處理的方法來提高微弱信號的檢測能力。

毛偉，林春生，周萌等人提出基于高階FS譜對角切片的艦船軸頻電場微弱信號檢測方法,該方法能簡單有效地將微弱軸頻電場信號從低信噪比的數據中分離出來,但是處理的信號信噪比很難降到很低的水平[1-2]。劉彥瓊,岳瑞永,天作喜,韓晶等人提出基于諧波簇自適應線譜增強器的艦船軸頻電場檢測方法,該方法針對艦船軸頻電場諧波成分的特點,將諧波簇自適應線譜增強技術應用到艦船軸頻電場的信號處理中,實驗結果表明,線譜強度高于附近連續譜的強度[3]。包中華,龔沈光，李松等人提出基于自適應累量算法的艦船軸頻電場信號檢測方法，該方法利用高階累量對高斯噪聲的抑制能力，將自適應累量算法的濾波器對接收信號進行濾波,然后對濾波輸出的信號進行滑動功率譜檢測,但該方法有較大的輸出延遲和較長的自適應收斂時間[4-5]。馬育鋒,龔沈光,姜潤翔,張凡,李松等人提出基于小波變換的目標信號檢測方法,該方法利用小波變換計算艦船軸頻電場信號的功率譜,提取其特征量，然后對軸頻電場信號進行滑動地目標檢測[6-7]。

本文提出了一種數字信號處理的方法,利用艦船軸頻電場是窄帶周期信號的特性,利用離散的諧波小波變換結合最小均方(least mean square,LMS)法，通過自適應譜線增強器,無需噪聲參考信號就能實時有效地將其從寬帶背景噪聲中分離出來,從而能大大提高艦船軸頻電場的遠程探測能力。

1 自適應去噪

自適應濾波,就是利用前一時刻已獲得的濾波器參數等結果,自動地調節當前時刻的濾波器參數以適應信號和噪聲未知的或隨時間變化的統計特性,從而實現最優濾波。自適應去噪原理見圖1。通常假定參考通道噪聲m(n)是由主通道噪聲p(n)經過一個傳遞函數為H(z)的系統的輸出,自適應除噪的本質就是通過自適應算法估計出H(z)的逆,用m(n)逼近d(n)=s(n)+p(n)，而有用信號s(n)與噪聲不相關,實際上自適應算法是用m(n)來逼近p(n),得到p(n)的估計值?p(n)，再與主通道d(n)=s(n)+p(n)相減以達到最大限度地消除主通道噪聲p(n),獲得有用信號s(n)的目的。自適應濾波器的權系數是由逼近誤差e(n)通過某種自適應算法反饋調整的。min[e(n)]作為自適應濾波器調整權向量ωN的準則[8-13]。

圖1 自適應去噪原理Fig.1 Schematic diagram of adaptive denoise

2 自適應譜線增強

自適應譜線增強器最早是Windrow等人在1975年提出的。自適應譜線增強器已廣泛應用于頻譜估算、譜線估計以及窄帶檢測等領域[14-17]。在窄帶信號加上寬帶噪聲信號的情況下,用自適應譜線增強方法無需獨立的參考信號就能將有用窄帶信號分離出來,其原理如圖2所示。

自適應譜線增強器的核心部分是一個自適應噪聲抵消器。設輸入x(n)是一個窄帶信號xN(n)和一個寬帶噪聲xB(n)的疊加，將輸入x(n)延時?后作為抵消器的參考輸入。只要適當地選取延時使處理器上下兩個通道的噪聲去相關，而單頻信號由于其周期性仍具有很好的相關性。自適應濾波器通過形成一個中心頻率為單頻正弦頻率的窄帶濾波器，使得延時通道輸入中的噪聲分量被抑制而正弦信號分量被增強，從而在求差過程中使直接輸入通道與y(n)中的信號分量相抵消，輸出的殘差噪聲功率最小。

圖2 基于LMS算法的自適應譜線增強原理Fig.2 Schematic diagram of adaptive line enhancement on LMS algorithm

3 諧波小波

當前正交小波的構造大多來源于多分辨分析的雙尺度方程，一般沒有明確的函數表達式，且相應頻譜要隨著小波系數的增加才越來越顯示盒形特征。一種變換的盒形譜特性，它對于信號的處理是極為必要的。能否只用不多的小波系數構造出具有良好盒形譜特性的正交小波？正是從這一點出發，David E Newland進行了大量的工作，并于1993年從小波的頻譜出發，成功地構造了具有嚴格盒形特征及簡單的解析表達式的諧波小波(harmonic wavelet)[18]，而這正是來源于雙尺度方程的伸縮小波(dilation wavelet)所缺乏的。

Newland從小波ψ(t)的Fourier變換ψ(ω)出發來構造小波。考慮實函數ψe(t)和ψo(t)（它們分別是變量t的偶函數和奇函數），分別定義它們的Fourier變換（頻域）為

將它們組成復函數形式，有

分別對式(1)和式(2)作Fourier逆變換，可以得到它們的時域表達式為

為諧波小波，其實部與虛部如圖3所示。由式(1)、式(3)，可以得到諧波小波的Fourier變換為

圖3 諧波小波的實部與虛部Fig.3 The real part and imaginary part of harmonic wavelet

理想的諧波小波頻譜如圖4所示。

圖4 理想的諧波小波頻譜Fig.4 Perfect frequency spectrum of harmonic wavelet

從圖4中可以看出，諧波小波的頻譜具有良好的緊支特性以及嚴格的盒形特性，充分體現了構造者的初始構想。同時通過圖3諧波小波的實部和虛部時域波形，我們會發現，諧波小波極佳的頻域特性使其在時域上付出了一定代價。

為了得到諧波小波ψ(t)的二進伸縮平移系，可以用變量(2jt?k)（其中j,k∈Z）代換式(6)中的變量t，得到

可以看到，小波的形狀沒有改變，但它在尺度方向上的尺度壓縮了2j，并且其位置在新尺度上被平移了k個單位。j的值決定了小波的層或尺度：在j=0層，諧波小波的Fourier變換頻帶位于[2π,4π]；而在第j層，其頻譜位于[2j+1π,2j+2π]之間。隨著j的增大，其頻譜帶寬以二進的方式逐漸加大，如圖5所示。

從頻譜圖5可以看出，諧波小波對信號的分析頻寬從高頻到低頻是以1/2關系逐漸減小的，對信號的低頻部分劃分比較細，而高頻部分劃分比較粗，這說明諧波小波分解是一種小波分解。

諧波小波構成了L2(R)空間的規范正交基，則任何信號f(t)∈L2(R)都可表示為諧波小波的線性和，即

這也就是信號的諧波展開。αj,k為函數的小波展開系數

直接用求內積的方法計算小波展開系數運算量太大，很不實用。Newland教授給出了一種基于FFT的快速算法，可以快速而準確地求得諧波小波分解，從而也使得諧波小波運用于工程實踐成為可能[19-22]。

圖5 不同層上諧波小波的頻譜Fig.5 Frequency spectrum of harmonic wavelet on another levels

4 基于諧波小波的自適應譜線增強

由于傳統的LMS在自適應信號處理中的不足，本文提出基于諧波小波的自適應譜線增強基自適應去噪方法。該方法利用多分辨率分析理論，把信號和噪聲分解在不同的頻率范圍內，使信號和噪聲的頻譜得到簡化，從而減少了自適應濾波器的級數[23-25]，使輸入自相關矩陣階數降低，與傳統的LMS算法相比，基于諧波小波的自適應譜線增強算法的收斂速度和穩定性得到了顯著的提高。

諧波小波是平方可積函數空間上的一簇基函數。任何平方可積的信號x(n)均可由諧波小波函數ψ(t)的伸縮和平移來表示，即

諧波小波變換相當于用不同中心頻率(中心頻率與帶寬比值恒定)的濾波器，對輸入信號進行分解。離散諧波小波變換(discrete harmonic wavelet transform,DHWT)是一種正交線性變換，變換系統可以通過快速的Newland算法獲得。

自適應諧波小波濾波器原理圖如圖6所示。DHWT/LMS算法的步驟為：

1)離散諧波小波變換預處理抽頭延遲輸入；

2)用其功率的平方根對變換后信號進行標準化；

3)再把得到的等功率信號輸入到一個自適應線性組合器中去，而這個自適應線性組合器的權系數是用LMS算法進行調整的。

對于這個算法，直交化步驟是不依賴數據的，而僅僅在功率標準化步驟依賴數據，也就是說，用于標準化信號的功率水平是由實際數據估計的。由于其各部分的簡單性，這些算法保持了純粹LMS算法的魯棒性和較低的計算代價，同時也改進了收斂速率。

圖6 自適應諧波小波變換LMS算法原理圖Fig.6 Schematic diagram of LMS algorithm on adaptive harmonic wavelet

在L2(R)空間中，信號x(n)的小波級數重構為

是L2(R)空間的一組正交小波基，j是尺度參數，k是時間中心參數，諧波小波系數

然而在實際應用中，式(11)可由下面的有限和去逼近無限和，即

輸入信號投影到對應于不同尺度的正交子空間，諧波小波變換的目的就是生成在小波子空間中的投影的離散重構，也就是

令vj(n)是投影的逼近，即

式中，dj,k是諧波小波系數dαj,k的離散逼近。

式中，W是N×J的DHWT諧波小波矩陣。

輸出信號和誤差信號分別為

在DHWT/LMS算法濾波器，輸入信號經諧波小波變化形成新的向量vj,通過濾波器的權向量ωj而形成濾波器的輸出信號y(n)=，權系數更新算法為ωv,k+1= ωv,k+2μv,kεv,kUk,μv是常數或隨時間可變的正整數，對均值和方差都收斂的一個較強的條件為

所以有下面的結論：在小波變換域的濾波器系數的Wiener解由ωvopt=(TT)ωopt給出，ωopt為在時域的Wiener解；同樣均方(mean square error,MSE)誤差的最小值在變換域與在時間域的值是一樣的，εvmin= εmin。

對于采用常值收斂因子算法，DHWT變換前后的收斂條件是相同的，tr(RV)=tr(RX)，因此，對于滿足收斂條件的常數因子能在時間域保證收斂；平均誤差過調節也保持不變；時間常數τp=1/2μλp取決于最小特征值，其中只要{λp,1≤p≤N}為Rx或Rv的特征值，由于Rv=TRxTT并且T為正交陣，因此Rx與RV的特征值相同，從而LMS算法在變換前后有相同的收斂速度。若令收斂因子μv= γ,γ為一常數，直交化LMS算法變為ωv,j+1= ωvv,k+2γεvjvj收斂條件和平均誤差調節為收斂速度將顯著改善，且無論輸入信號的統計特性如何，收斂僅由γ控制。控制收斂的還是特征矩陣和特征值。

5 仿真實驗

5.1 實驗方法

將1:100艦船縮比模型(螺旋槳的轉速為180r/min)用鋁制金屬架固定在長、寬、深分別為8m、5m和1.5m的無磁性水池中，池中裝有由工業鹽調制的人造海水(電導率為3.66(Ω·m)?1)。用三維電場傳感器分別測量軸頻電場的橫向、縱向和垂直方向上的分量，然后將測得的電位差由同軸電纜傳送到虛擬儀器測量系統，然后將采集到的數據存入計算機。

5.2 仿真結果

根據實驗情況及仿真軸頻信號的特點，利用諧波小波對信號進行9層分解。

使艦船縮比模型船殼的下半部分和螺旋槳浸泡在水中，設定采樣頻率為1 000Hz，將三維電場傳感器移動至距離船模200cm處，測量軸頻電場結果如圖7所示，頻譜圖如圖8所示。

圖7軸頻電場信號Fig.7 Shaft-rate modulated electric fi eld signal

圖8 軸頻電場信號的頻譜Fig.8 Frequency spectrum of Shaft-rate modulated electric if eld signal

從圖7和圖8中可以看出，軸頻電場信號已經很難從環境噪聲中分離出來。采用自適應譜線增強器，運用LMS算法對圖7的數據進行處理后，得到的時域信號如圖9所示。

圖9 經自適應譜線增強器處理后的信號Fig.9 Adaptive line enhancement signal

采用LMS算法自適應譜線增強處理后的信號頻譜圖如圖10所示，采用基于諧波小波算法的自適應譜線增強處理后的信號頻譜圖如圖11所示。

圖10 LMS算法自適應處理后的信號頻譜圖Fig.10 Frequency spectrum of signal on LMS algorithm

圖11 基于諧波小波算法的自適應譜線增強處理后的信號頻譜圖Fig.11 Frequency spectrum of adaptive line enhancement signal on harmonic wavelet

比較圖10和圖11兩圖可以看出，采用基于諧波小波算法的自適應譜線增強處理后的信號頻譜的特征較LMS算法自適應譜線增強處理后的信號頻譜圖信號比較明顯，能夠真正反映軸頻電場的信號特征，也說明基于諧波小波算法的自適應譜線增強具有良好的頻率選擇特性。經過自適應譜線增強的數字處理后，能夠很大程度地壓制背景噪聲，從中提取有用的軸頻電場特征信號，該信號的特征為3Hz，證明該信號的特征與螺旋槳的轉速成比例。

采用LMS算法的自適應迭代次數如圖12所示，采用基于諧波小波算法的自適應譜線增強的自適應迭代次數如圖13所示。

圖12 LMS算法的自適應迭代次數Fig.12 Adaptive iterative degree of LMS algorithm

圖13 諧波小波算法自適應迭代次數Fig.13 Adaptive iterative degree of harmonic wavelet algorithm

從圖12和圖13可見，采用基于諧波小波算法的自適應譜線增強的自適應迭代次數比采用LMS算法的自適應迭代次數少，說明采用基于諧波小波算法的自適應譜線增強能很好地收斂。

6 結語

利用自適應譜線增強的數字信號處理方法，結合具有良好的頻率選擇特性和緊支特性的諧波小波提出了基于諧波小波的自適應譜線增強器算法。該算法能夠實時有效地將微弱的軸頻電場特征信號從環境背景噪聲中分離出來，大大提高了艦船軸頻電場的檢測能力，為在海洋中遠程監測艦船軸頻電場信號提供了一個簡單而又實用的方法，同時該算法具有快速的收斂速度，使得諧波小波在變換域自適應算法中成為優選方案。

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(編輯：張詩閣)

Adaptive line enhancement based on harmonic wavelet and application research

ZHAO Jing-bo,LIU Hui-min,ZHANG Lei
(School of Automation Engineering,Qingdao University of Science and Technology,Qingdao 266520，China)

With the rapid attenuation of extremely low frequency fi eld due to the increasing transmission distance,the fi eld is readily covered by environmental noises.In view of this,an algorithm was then advanced to improve the capability of remotely detecting the extremely low frequency(ELF) fi eld by virtue of the harmonic-wavelet adaptive line enhancer.This algorithm was used to process the actual measured data of the shaft-rate modulated electric fi eld produced by use of vessel’s physical scale models,whose results demonstrate that the algorithm effectively separated the weak characteristic signals of shaft-rate modulated electric fi eld from the environmental noises at real time,greatly improving the capability of detecting a vessel’s shaft-rate modulated electric fi eld.In view of the facts and the characteristics of simulated signals,harmonic wavelets were used to decompose the signals into 9 layers.In the meanwhile,there were less adaptive iterations due to the adaptive line enhancement obtained by the harmonic wavelet algorithm than by the least mean square algorithm.This indicates that the adaptive line enhancement based on the harmonic wavelet algorithm is able to converge at higher rate.f3d06

shaft-rate electric fi eld;wavelet;harmonic wavelet;adaptive;line enhancement

TM 46

A

1007–449X(2013)10–0077–08

2013–03–01

山東省高等學校科技計劃項目(J12LN37);泰山學者海外特聘專家項目(C2010-T005);山東省自然科學基金項目(ZR2013FM014)

趙景波(1971—),男,博士,副教授,碩士生導師,研究方向為信號處理和控制理論;

劉慧敏(1989—),女,碩士研究生,研究方向為控制理論;

張 磊(1990—),男,碩士研究生,研究方向為控制理論。

趙景波