基于單電磁矢量傳感器的MUSIC聯合參數估計方法

張凱

（南京航空航天大學 電子信息工程學院，江蘇 南京 210016）

單電磁矢量傳感器便可以實現入射電磁波信號的DOA和極化參數估計，具有經濟、簡單、安裝方便、節省空間等優點，近年來，利用單個電磁矢量傳感器進行DOA和極化參數估計問題成為陣列信號參數估計的研究熱點之一，受到學術界的高度重視。

在眾多高分辨DOA估計算法中，基于特征分解的MUSIC算法是空間譜估計理論的標志性算法，標志著空間譜估計進入了繁榮階段。以往的任何算法，如MVM和CPF等都是對陣列接收數據的協方差矩陣進行直接的處理，而MUSIC算法的思想是將接收數據協方差矩陣按特征分類。它將觀測空間分解為相互正交的信號子空間和噪聲子空間，利用這兩個空間的正交性來估計信號的參數（DOA、極化參數等）。

文中研究在有電磁波信息鏈的條件下，基站發射的測控電磁波的極化橢圓率不隨坐標系變化而變化，即在發射端和接收端是一致的，飛行器通過單電磁矢量傳感器估計DOA和極化角。

1 旋轉矩陣的指數表示

在三維中，旋轉可以通過單一的旋轉角θ和所圍繞的單位方向向量 v=（x，y，z）來定義。 三維空間任意旋轉矩陣[1]為：

式（1）可由單一矩陣的指數函數形式來表示：

證明：記矩陣

對于任意的n階矩陣A，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=J為Jordan標準型[2]。其中，

把（4）（5）帶入（6）經過化簡計算得式（1）結果。 證畢。稱式（2）為旋轉矩陣的生成元表達方式。其中，

稱作旋轉向量。下面介紹旋轉向量的求解。

表示 （1） 式中任意一個三維旋轉矩陣，mij，i=1，2，3；j=1，2，3表示旋轉矩陣的第i行j列的每一個元素。

任意旋轉矩陣 M（v，θ）的跡滿足

因此由（7）（10）（12）可得到旋轉向量 φ。

2 單電磁矢量傳感器信號接收模型

電磁波信號s（t）沿-u方向傳播，如圖1所示。電磁波空間到達方向用方位角和仰角（φ，θ）表示，φ∈=[0，2π]，θ∈[0，π]。時諧平面電磁波波達平面內電場和磁場矢量呈橢圓狀旋轉，極化狀態用極化橢圓描述子（γ，η）表示，γ∈[-π/2]，η∈[-1π/4，π/4]，如圖2所示。當η=0時，極化橢圓壓縮為長軸所在的直線，η=±π/4時，極化橢圓為圓形。在測控應用中，極化橢圓率η可設定為一個或幾個固定值，這樣信號空域-極化域的四個參數中有一個明確。本文正是考慮在測控應用中的信號參數估計。

圖1 接收信號的正交矢量Fig.1 Orthonormal vector triad

設 XE（t），XH（t）分別為接收信號的 3×1 維電場分量和 3×1 維磁場分量，NE（t）和 NH（t）分別為 3×1 維電場噪聲矢量和3×1維磁場噪聲矢量。假設噪聲均為零均值的復高斯白噪聲，電場噪聲功率和磁場噪聲功率分別為和。對于所有的t和s，以下兩式成立：

圖2 空間極化電磁波橢圓狀旋轉電場Fig.2 Electric polarization ellipse

全電磁矢量傳感器接收信號描述為[3]：

其中I為3×3單位矩陣，u為電磁矢量傳感器接收到的指向信號源的單位向量[3]，

A=VQw為極化-空域導向矢量[4-5]，

信號的數學描述是研究運動平臺姿態的基礎，傳統的描述表達不利于姿態估計計算的展開，將全電磁矢量傳感器接收信號極化-空域導向矢量A=VQw演化為

這樣的導向矢量利用旋轉向量 φ=（φ1，φ2，φ3） 來表達便于姿態參數的計算，顯出信號中包含的三維姿態信息，也顯示出極化域的自由度只有2。考慮以下關系：

得到（15）中電磁矢量傳感器接收模型變為

3 波達方向和極化角估計

常規MUSIC算法的基本出發點是對陣列輸出數據的協方差矩陣進行特征分解，而單個電磁矢量傳感器相當于一個六元陣列，其輸出是六維的復矢量，仍能獲得這樣的“陣列”輸出協方差矩陣。所以將常規MUSIC算法應用到單個電磁矢量傳感器中是完全可行的。

但是需要注意：這種特殊的六元陣列也和普通的陣列有所不同，在通常的陣列信號處理中，由于每個傳感器的“對等性”，常假設每個陣元（標量傳感器）具有相同的噪聲功率σ2。以六元的普通陣列接收K個信號為例，自相關矩陣的特征值有兩部分組成[6]：前K個特征值為σ2+α2i，后6-K個特征值全部等于噪聲功率σ2。這樣只要有足夠的信噪比，就可以將前K個較大的特征值和6-K個較小的特征值區分開來。但是在單電磁矢量傳感器中，本文中假設電場噪聲功率和磁場功率不完全相等，所以以上條件并不滿足，則不能完全將陣列MUSIC算法照搬到單矢量傳感器中，需要另作討論。

假設個獨立的完全極化電磁波信號入射到單個電磁矢量傳感器上，第個信號的波達方向為，極化傾角為，極化橢圓率=已知。定義新的測量模型：

其中，r為磁場噪聲標準差和電場噪聲標準差的比值：r=σH/σE，并設 σ2=。則（20）式中的噪聲模型滿足對于所有的 t和s，

這樣（25）式可以寫為：

B（φ）為導向矢量矩陣A（φ）的前三行元素同時乘以 r后三行元素不變所形成的等效導向矢量矩陣噪聲模型可以表示為：

這樣（27）（28）所示的信號模型滿足MUSIC算法的條件。

輸入數據協方差矩陣為：

其中RS是信號協方差矩陣，對R進行特征值分解得到

其中，US是由K個大的特征值對應的特征向量張成的子空間，稱為信號子空間，而UN是由6-K個小特征值對應的特征向量張成的子空間，稱為噪聲子空間。由（10）（11）可得：

這說明B（Θ）的各列向量與噪聲子空間正交，故有：

由以上噪聲特征向量和導向矢量的正交關系，得到MUSIC算法的空間譜函數為：

使 φ1，φ2，φ3變化，通過搜索尋求式（36）譜峰對應的 φ1，φ2，φ3。

4 仿真實驗

本實驗考查兩個獨立的完全極化測控電磁波入射到單個電磁矢量傳感器上，兩個信號的參量分別設置為（φ1，θ1，γ1，η1） =（270°，60°，30°，15°）， （φ2，θ2，γ2，η2） =（60°，30°， -60°，15°）。信噪比SNR=10 dB，附加噪聲為高斯白噪聲，噪聲方差為σ2=1，r=2采樣點數N=1 000。實驗分別考查相同入射信號，通過矩陣乘積的形式和矩陣生成元形式在估計信號參數上的性能。

圖3是在固定極化橢圓角情況下，得到的譜圖（峰值均放大100倍后圖），觀察4個譜圖上面兩個，我們知道在極化角正好為入射信號的極化角時，出現兩個光滑尖銳譜峰，其中最大峰對應的方位角和俯仰角也與入射信號一致；觀察四個譜圖的下面兩個當極化角不為入射信號的極化角時，出現兩個或多個最大譜峰，譜峰不光滑也不尖銳。

采用矩陣生成元方式是，由前面兩個入射信號得到的旋轉向量分別為 （φ11，φ12，φ13）=（-1.209 2，-0.442 6，-1.621 8），（φ21，φ22，φ23）=（1.200 1，0.107 2，1.200 1）， 通過使（φ1，φ2，φ3）變化搜索得到的兩個譜峰為（，）=（-1.207 0，-0.441 3，-1.643 0），（，，）=（-1.193 1，-0.108 0，-1.199 5），基

圖3 矩陣乘積形式的譜圖Fig.3 Spectrum of matrix multiplication form

圖4 矩陣生成元形式的譜圖Fig.4 Spectrum of matrix generation element form

5 結 論

文中主要介紹了單電磁矢量傳感器對測控電磁波進行信號DOA和極化角估計的問題。將傳統的MUSIC算法拓展到電磁矢量傳感器中，對極化-空域導向矢量用一種矩陣指數的形式來表示，簡化了參數估計，仿真實驗也驗證了此方法的有效性。本文是在對電磁波信號、噪聲、傳播介質、工作環境等都做出了合理的理想化假設基礎上的提出的參數估計算法，沒有考慮天線的交叉極化、散射干擾、多徑效應、基站誤差等因素，實際應用估計精度有所降低。

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