話說靜液壓強計算公式

戶文好

(蠡縣中學 河北 保定 071400)

說到靜液壓強計算公式我們再熟悉不過了，從初中教科書中我們就已經知道

p=ρgh

然而，你可曾知道這是一個片面的公式，或說是個“相對壓強”公式.讓我們來考察一下這個公式的推導過程.

圖1

如圖1所示，在靜止的、密度為ρ的液體中， 劃出了一個上下粗細均勻，截面積為S的豎直液柱．液柱由液面至深h處．已知液柱在側面所受各方向液體的水平壓力，大小相等且相互平衡.在豎直方向受向下的重力G和向上的液體的壓力pS，由于液體處于靜止平衡狀態，故而可知

pS=G

即

pS=ρghS

從而可得

p=ρgh

(1)

這就是我們所熟知的深h處的靜液壓強計算公式.

推導出這個公式有一個重要條件常常被忽略，那就是沒有計算液面上的壓強p0.事實上通常液面上是有壓強的，比如說大氣壓強.

那么，這個公式是不是有點兒問題，起碼是不夠全面吧！不夠全面用起來就短不了出錯.

例如：一個水杯中盛有高h=10 cm的水，杯口敞開，杯底有一空氣泡.問空氣泡的壓強有多大?已知環境的大氣壓強p0=1.0×105Pa.

此題如果用公式p=ρgh計算,得出空氣泡的壓強

p=ρgh

代入數據得

p=0.98×103Pa

只有大氣壓強p0=1.0×105Pa的百分之一，顯然是錯誤的，應該比大氣壓強大才對.

圖2

全面的計算應該考慮表面上的壓強，如圖2所示.與圖1相比，只是所劃出來的液柱，多了液面上向下的壓力p0S.由于液體處于靜止平衡狀態，故而可知

pS=p0S+G=p0S+ρghS

從而可得

p=p0+ρgh

(2)

這就是全面的計算靜液壓強的公式.

按此全面的計算靜液壓強的公式，上述水杯中空氣泡的壓強應為

p=p0+ρgh

代入數據得

p=1.01×105Pa

這才是正確答案.

公式(1)所計算的壓強，忽略了表面外力作用，常稱之為“相對壓強”，考慮表面外力作用的公式(2)所計算的壓強，稱之為“絕對壓強”.由于我們生活在大氣中，對大氣壓強我們習以為常，以致不再注意，所以，我們常說的鍋爐內的蒸氣壓強、人體的血壓等等指的都是相對壓強(又叫“計示壓強”)，也就是比大氣壓強高出來的那部分壓強.如此說來，公式(1)雖然片面，但還是另有意義的，不能一棍子打死，只是要清楚它在什么條件下成立，注意它在什么條件下可以使用即可.

對于靜止的液體來說，更具基礎性的是壓強差公式，現簡介如下.

設想，在某靜止的液體中任取兩點1和2，在點1處的壓強為

p1=p0+ρgh1

h1為點1處的深度.

在點2處的壓強為

p2=p0+ρgh2

h2為點2處的深度.

不難證明，點2處與點1處的壓強差(設h2>h1且h=h2-h1)

p2-p1=ρgh

(3)

式(3)就是著名的壓強差公式，也就是歐拉靜液平衡方程，其在靜流體中的地位就像伯努利方程在動流體中一樣.

我們說歐拉靜液平衡方程更具基礎性是因為它可以作為液體靜止平衡的條件，或說判據.液體靜止平衡，這個方程必定成立；反之這個方程不成立，必將失衡而發生流動.

如圖3所示倒置的U形管，其中有水.A端開口，此處的壓強與外界大氣壓強p0相同.B端堵著，低于A端，水不流動.在此情況下，B端的壓強pB與A端的壓強p0的關系，依據壓強差公式有

pB-p0=ρg(hB-hA)

圖3

這就是說，在上述靜止狀態下，B端水的壓強

pB=p0+ρg(hB-hA)

大于大氣壓強p0.

那么，一旦將B端放開，水就會與外界大氣接觸，壓強突然由pB減小為p0，平衡的條件被破壞，水因而失衡由靜止變為流動，且向壓強減小的方向流動，從B端流出. 這就是虹吸的原理．

我們說歐拉靜液平衡方程更具基礎性還因為阿基米德原理和帕斯卡定律都可以從這個方程導出.

設想一個規則的長方體物塊，豎直放在液體中，其高度為h,上、下底面(橫截面)與液面平行，大小為S.則此物塊所受浮力

F浮=p下底S-p上底S=(p下底-p上底)S

由壓強差公式

p下底-p上底=ρgh

可得

F浮=(p下底-p上底)S=ρghS=ρgV

V為物塊排開液體的體積.對于不規則物體，根據壓強差公式，用積分的方法，亦可以得到同樣的結果.此即阿基米德原理.

考慮液體內任意兩點1和2，且已知其高度差h. 在此條件下，在點1處另外再增加一個壓強Δp1,則在點2處跟著也會增加一個壓強Δp2，則有

(p2+Δp2)-(p1+Δp1)=ρgh

若高度差h不變，也就是液體靜止、平衡、不流動，則ρgh=恒量.從而可知

Δp2=Δp1

這就是帕斯卡定律．這個定律通常表述為，加在密閉(靜止)液體上的壓強，能夠大小不變地“傳遞”到液體內各處．

阿基米德(BC287～BC212)和帕斯卡(1623～1662)都早于牛頓(1643～1727)和歐拉(1707～1783)，但是阿基米德原理和帕斯卡定律都被后來牛頓以及歐拉的理論所整合，這也是科學發展的必然結果．我們學習科學不能只注意原始的科學探究，更應注意歷史的簡并與整合，不然分散的知識越來越多,我們還學得過來嗎？

1 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程·力學.北京：高等教育出版社，2004.7

2 王紹符，張喜榮. 從靜液壓強的形成解讀阿基米德原理和帕斯卡定律.物理通報，2011(10):79～83