一種特殊的單位制
——“準自然單位制”

蔡志東

(鎮江高等專科學校丹陽校區教師教育系 江蘇 丹陽 212300)

1 引言

迄今為止，眾多文獻[1～4]在介紹自然單位制時，都沒有對自然單位制的來龍去脈和本質特征進行詳細的闡述.比如為什么要引進自然單位制？為什么能夠引進自然單位制？為什么可以隨意地令常數c=?=G=me=e=1？能否隨意地令阿伏伽德羅常數NA=1？

本文將圍繞這些問題，對自然單位制的來龍去脈和本質特征進行詳細的闡述，并糾正一些人的錯誤認識.通過引入“準自然單位制”的概念，幫助讀者更好地理解自然單位制.

2 國際單位制簡介

2.1 國際單位制中的基本單位和輔助單位

國際單位制是目前應用最為廣泛，也是大家最熟悉的單位制.其基本單位有7個，即時間單位秒(s)、長度單位米(m)、質量單位千克(kg)、電流單位安培(A)、熱力學溫度單位開爾文(K)、發光強度單位坎德拉(cd)、物質的量的單位摩爾(mol),此外還有兩個輔助單位即平面角的單位弧度(rad)、立體角的單位球面度(sr).

2.2 國際單位制中的基本單位與基本物理常量之間的關系

國際單位制中的7個基本單位和基本常量有一定的關系，見表1.

表1 與基本單位相關的基本常量

注：表1僅僅列出了一部分與基本單位相關的基本常量，而沒有列出所有的相關常量.此外，力學中的三個基本單位s，m，kg也并不是和三個常量?,c,G一一對應(正因為如此，這三個表格中的線為虛線而非實線).常數π與發光強度相關是因為整個空間的立體角為4π.

3 國際單位制的缺陷

自國際單位制推廣以來，各國科學家采用統一的單位描述自然現象和規律，這對科學進步和普及起到了巨大的促進作用.但是這個單位制也有一些不足，如基本單位定義的隨意性.究竟多長的時間叫做1 s？多長的距離叫做1 m？多少物質叫做1 kg？——這都是人為的約定(當然不是絕對的隨意，它的定義至少必須方便日常生活以及盡可能便于精密測量). 由于這種隨意性，導致了基本單位量度上的不精確性，應用上的局限性，邏輯上的不統一性.因此，尋找一種自然的，精確的單位制就是一種必然.

4 幾種常見的自然單位制

表2列出了幾種常見的自然單位制.自然單位制和SI制不同，它的基本單位不是隨意規定的，而是根據基本物理常量得出的，并且7個量綱縮減為一個量綱.

表2 常見自然單位制一覽表

5 “準自然單位制”

5.1 “準自然單位制”的概念

與眾多專家學者一樣，在各種自然單位制中，筆者特別推崇“普朗克單位制”，因為它的基本單位不是用某一特定粒子的特定參數來定義的，而是以普適常量來定義的.而像原子物理或量子色動力學中采用的單位制那樣，以電子質量或質子質量為質量的基本單位，顯得并不那么自然，其適用范圍也必定相當有限.普朗克單位制是真正自然的單位制.下面我們將在此基礎上引入一種和它相似的單位制——“準自然單位制” .

前面已經提到，多長的時間叫做1 s？多長的距離叫做1 m？多少物質叫做1 kg？多高溫度叫做1 K？多少電荷叫做1 C？(或多大電流叫做1 A?)這純粹是人為規定的.既然如此，我們當然可以重新定義一個新的“秒、米、千克、開爾文、庫侖(安培)”，它使相關的普適常量的數值恰好等于1,即

下面來證明，我們確實可以做到這一點.

設新的“秒、米、千克、開爾文、庫侖”分別用符號s′,m′,kg′,K′,C′來表示，并令新單位和舊單位之間的比例系數分別為α,β,γ,δ,λ，即

1 s′=αs,1 m′=βm

1 kg′=γkg,1 K′=δK,1 C′=λC

反之有

1 s=α-1s′,1 m=β-1m′,1 kg=γ-1kg′

1 K=δ-1K′,1 C=λ-1C′

要使“約化普朗克常量”?=1，也就是使

?≈1.055×10-34J·s=

1.055×10-34kg·m2/s=

1.055×10-34×(α/γβ2)× kg′·m′2/s′=

1 kg′·m′2/s′

即數值上有

γβ2/α=?

(1)

同樣，要使光速c=1, 也即

c≈3×108m/s=3×108(α/β) m′/s′=1 m′/s′

于是在數值上有

β/α=c

(2)

類似地，要使萬有引力常量G=1，也即

G=6.67×10-11N·m2/kg2=

6.67×10-11m3/(kg·s2)=

6.67×10-11(γα2/β3) m′3/(kg′·s′2)=

1 m′3/(kg′·s′2)

于是數值上有

β3/γα2=G

(3)

要使玻爾茲曼常量kB=1即

kB=1.38×10-23J/K=

1.38×10-23kg·m2/(s2·K)=

1.38×10-23(α2δ/γβ2) kg′·m′2/(s′2·K′)=

1 kg′·m′2/(s′2·K′)

于是有

γβ2/α2δ=kB

(4)

若要靜電力常量Kj=1,即

9×109kg·m3/(s2·C2)=

9×109(α2λ2/γβ3) kg′·m′3/(s′2·C′2)=

1 kg′·m′3/(s′2·C′2)

于是有

γβ3/α2λ2=Kj

(5)

聯立方程(1)、(2)、(3)即可得到比例常數α,β,γ.具體做法是把式(2)分別代入式(1)和式(3)得到

于是我們得到“新的1 m”和舊的1 m之間的關系式

將β的表達式代入式(2)可得

α,β,γ求出后就很容易求出δ,λ.

把α,β,γ的表達式分別代入式(4)和(5)可得

1.876×10-18C

上述5個比例常數α,β,γ,δ,λ數值上恰好等于普朗克時間、長度、質量、溫度、電荷,即tP,lP,mP,TP,qP.由“新的庫侖”和“新的秒”可以構成新的電流強度單位即新的安培A′.

1A′=1 C′/s′=(qP/tP) A=

IP即為普朗克電流.

1(cd)′/(cd)=1W′/W=1(J′/s′)/(J/s)=

1(kg′·m′2/s′3)/(kg·m2/s3)=1γβ2/α3=

即

1W′=3.628×1052W=PP=c5/G

1cd′=3.628×1052cd

這里的PP=c5/G就是普朗克功率.由此可知，我們無需重新定義新的坎德拉，由新定義的5個基本單位(即新的“秒、米、千克、開爾文、安培或庫侖)完全可以確定新的坎德拉.7個基本單位中還剩下最后的一個單位摩爾沒有重新定義.這最后一步最艱難，也是許多人最容易犯錯誤的一步！

5.2 摩爾的新定義和電子質量的關系

從原則上講，除了純粹的數學常數(比如圓周率π或精細結構常數α′)之外，幾乎一切有量綱的物理常量均可以通過重新選擇合適的單位制而使其為1，但是有一個例外，那就是阿伏伽德羅常數NA，它是絕對不可以等于1的！文獻[2]為了引進所謂的自然單位制而令NA=1的做法是十分荒謬的.筆者查閱了許多文獻，除文獻[2]之外，從來沒有哪本書中有NA=1的，文獻[2]的做法是完全錯誤的！

摩爾這個基本單位與所有其他的基本單位有質的區別，一切其他單位，從原則上講，其大小都可以隨意變化，隨意規定.比如長度單位米，你把多長的距離叫做1 m是無所謂的，隨你怎么定都可以.其他如秒、千克、開爾文、庫侖(或安培)、坎德拉等也是如此.但是摩爾是不能隨意變化、隨意規定的(當然可以在一定的范圍內變化，有一定的自由度).

1971年第十四屆國際計量大會規定：“摩爾是一系統的物質的量，該系統中所包含的基本單元數與0.012 kg碳-12的原子數目相等(這個數目就是阿伏伽德羅常數NA).使用摩爾時應予以指明基本單元，它可以是原子、分子、離子、電子及其他粒子，或是這些粒子的特定組合.”摩爾好似一座橋梁，把單個的、肉眼看不見的微粒跟大數量的微粒集體、可稱量的物質之間聯系起來.摩爾的概念最初來自于阿伏伽德羅定律.

1811年阿伏伽德羅發現了以他的名字命名的“阿伏伽德羅定律”：在標準狀態下(0℃，1個標準大氣壓)，同體積的任何氣體都含有相同數目的分子，而與氣體的化學組成和物理性質無關. 反過來，由此定律可知，相同數目的任何氣體分子在同體積的情況下，將產生相同的宏觀壓強和溫度！正是基于這一點，我們才有可能和必要引入摩爾這個單位.

摩爾是物質的一種量度方法，它和質量(它也是物質的一種量度方法)不同之處在于，質量只關心物質的多少，無論量度的對象是大還是小，是單個粒子還是粒子集團(系統)都是一樣的.這種量度方法的優點是統一性，其缺點是忽略了“量變質變規律”，它認為一個系統所包含的單元數不論多少都是一樣的，其實不然.當一個系統所包含的粒子數較少時，系統的演化規律與單個粒子的規律相差不大(可以在單個粒子的規律基礎上通過適當的數學方法求得系統的演化規律)，但是，當粒子數目多到一定程度時，量變就會引起質變，此時，系統所遵循的規律是一種統計規律，它與單個粒子的規律截然不同！一些宏觀的物理量(比如壓強和溫度等)也只有在粒子數多到一定程度是才有意義(一個分子不存在壓強，也沒有宏觀上的溫度).

選擇自然單位制的目的是為了簡化規律或方程的數學形式，絕對不是推翻或否定規律.而像文獻[2]那樣令NA=1(即規定每一摩爾為一個粒子)，就已經完全徹底地否定了量變質變規律或統計規律.無論我們選擇什么樣的單位制，有一點絕對不能更改,即摩爾必須是一個溝通宏觀物理量和微觀物理量之間的橋梁！

由此可知，引入摩爾時，必須遵循三個基本原則：一是宏觀性(一個摩爾必須是一個看得見、摸得著的宏觀系統，即在質量和體積上都不能太小)；二是統計性(這個宏觀系統所遵循的規律不同于少數粒子的規律)；三是溫度等概念的有價值性(這個宏觀系統可以用一些宏觀的物理量比如溫度來描述，對氣態物質還可以用壓強來描述).

在上述三個基本原則下，我們仍然有相當的自由度來給摩爾下一個全新的定義而不必拘泥于現在的定義.把多少粒子集團叫做一個摩爾？這是相當自由的(前提是不違反上述三個原則)，比如你把現在的1 mol(即NA=6×1023個微粒集團)的十分之一叫做一個新的摩爾(即規定6×1022個粒子集團叫做一個新摩爾)是完全可以的(這么多粒子組成的系統，其質量、體積都是看得見、摸得著的，即使是電子集團，其質量也比一粒灰塵大許多.溫度也是有意義的).但是你不能把一個分子或一個電子叫做1 mol(一個粒子不是宏觀系統，也沒有溫度與壓強等概念).

當初給摩爾下定義時并沒有什么絕對充足的理由(把12 g碳-12中的原子數NA叫做1 mol，一是因為12 g碳是一個宏觀物質系統，二是因為碳-12的原子量可以精確測量，其實，選用別的數目也是可以的).究竟如何給摩爾下一個新的定義？筆者給出一種很奇特的方法.

新的摩爾和舊的摩爾之比

2.4×1022/6×1023=0.04=kC

這個比例常數暫時可以稱之為“蔡氏常數”.即我們只需要把原先的摩爾或NA乘以4%即可得到新的摩爾和新的阿伏伽德羅常數！

至此，7個基本單位已經得到了全部改造或重新定義.新的“準自然單位制”和舊的國際單位制之間的關系如表3所示.

表3 “準自然單位制”和國際單位制基本單位之間的關系

5.3 “準自然單位制”與國際單位制之間的關系

電子的電荷與普朗克電荷的比值為

這里α′為精細結構常數.即電子的電荷也可以從普適常量和精細結構常數導出.

6 “準自然單位制”和(普朗克)自然單位制的區別與聯系

“準自然單位制”和(普朗克)自然單位制的區別有兩點：一是前者有7個量綱而后者只有一個量綱(通常是能量的量綱)，這導致前者基本物理常量?,c,G,kB,K都是有量綱的，而后者大部分都是無量綱的純數(比如光速c和約化普朗克常量?就是純數字1)；二是前者給出了7個基本單位特別是發光強度坎德拉和物質的量摩爾的新定義，并由此得出了新的摩爾和電子質量的關系，而后者沒有.

兩者的聯系是緊密的，由于一切物質歸根結底是能量的不同表現形式，因此7個量綱當然可以縮減為一個量綱(如能量)，這實際上表明了自然界本質上的統一性.這樣，我們不僅可以使基本物理常量的數值等于1，而且可以使它們等于一個數學上的純數1.

筆者相信，通過本文的推導，可以使讀者理解“為什么我們可以隨意地令許多物理常量等于1？”，并對這些普適常量背后隱藏的秘密產生興趣.

注：球面度為一立體角，其頂點位于球心，而它在球面上所截取的面積等于以球半徑為邊長的正方形的面積，在歐幾里得平直時空中，整個空間的立體角為4π球面度.

參考文獻

1 戴軍.淺談自然單位制.江蘇廣播電視大學學報, 1997,22(7):84～85

2 王文周.自然單位制.信陽師范學院學報, 1980(1):38～44

3 向安平.自然單位制.四川師范大學學報, 1990,13(1):111～112

4 曾謹言.量子力學卷1.北京:科學出版社,2000.536～537