運用雙曲線知識求解物理問題

2013-01-11 07:42:02楊國平

物理通報 2013年4期

楊國平

(紹興市第一中學浙江紹興 312000)

1 雙曲線的幾何特性

雙曲線在物理競賽中時有涉及，其主要的幾何性質有：

圖1

(3)從焦點發出的光經雙曲線鏡面反射，光線反向延長線會聚于另一焦點，這是雙曲線的光學性質.如圖1(b)所示，雙曲線在A點的法線是∠F1AN的角平分線；過A點的切線AO是∠F1AF2的角平分線.

2 以雙曲線為載體的競賽題

【例1】圖2(a)為某一報告廳主席臺的平面圖，AB是講臺，S1和S2是與講臺上話筒等高的喇叭，它們之間的相互位置和尺寸如圖所示.報告者的聲音放大后經喇叭傳回話筒再次放大時可能會產生嘯叫，為了避免嘯叫，話筒最好擺放在講臺上適當的位置.已知空氣中聲速為340 m/s，若報告人聲音的頻率為136 Hz，問講臺上這些位置在哪里?

圖2

代入得

它與直線方程y= -12的交點即為干涉相消點的位置，代入后有

令k=1，解得x≈0.87 m；k=3，x≈2.61 m；k=5，x≈4.40 m(已在B點以外).

由對稱性知，與y軸對稱的左側講臺上也有兩個位置是干涉相消點.

【例2】兩塊相同的大玻璃平板夾一個小角度φ，這樣就在兩板之間形成一個楔形的空氣膜.把兩塊板豎直地插入水面，水會沿著玻璃板面爬升一定的高度，試判斷穩定后兩板之間的液面邊緣(即與玻璃板面的交線)形狀.

圖3

解析：建立圖3所示的直角坐標系xOy，其中y軸為兩板的公共邊，x軸落在水面上.在曲面上任取一點P(x,y)，在其周圍取一長方體(實為四棱柱)微元，高為y，長為Δx→0，寬為xφ，穩定后該微元的重力Δmg與表面張力F張平衡.

其中F張=2σΔx·cosθ(θ為水與玻璃的接觸角)，微元質量Δm=ρ·ΔV=ρ·Δx·xφ·y.代入后

2σΔx·cosθ=ρΔx·xφy·g

化簡得

【例3】如圖4(a)所示，長為L的細棒AB均勻帶電，在xOy平面上的電場線方程為

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

圖4

【例4】一人造衛星繞地球做橢圓運動，其半長軸和半短軸分別為a和b.當該人造衛星在軌道的遠地點時，突然以很大的能量ΔE沿衛星運行方向從衛星上發射出一個質量為m的太空探測器，該探測器在地球引力作用下做雙曲線運動，并以地心為此雙曲線的焦點，實半軸的長度正好等于原來橢圓遠地點到地心的距離.求ΔE.設地球的質量為M，萬有引力常量G已知，不計地球以外星體的影響.

解析：顯然ΔE=E′-E，式中E′為探測器在雙曲線軌道上的能量，E為在橢圓軌道上的能量.在橢圓軌道上機械能守恒，設遠地點(如圖5中的A點)和近地點的速度分別為v1和v2，有

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