7參數(shù)模型完整公式及簡(jiǎn)化公式的適用性研究

潘國(guó)富，鮑志雄，金永新

（廣州中海達(dá)衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)股份有限公司，廣州 511400）

1 引言

在衛(wèi)星定位測(cè)量工作中，通常使用7參數(shù)模型完成WGS84坐標(biāo)到地方坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。7參數(shù)模型的幾何意義是通過(guò)旋轉(zhuǎn)、縮放、平移獲得一個(gè)局部橢球來(lái)擬合當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系下的坐標(biāo)系統(tǒng)。由于我國(guó)使用的1954北京坐標(biāo)系和1980西安坐標(biāo)系都是參心坐標(biāo)系，高程與平面分開(kāi)定義，高程方向定義的等重力面具有不規(guī)則特征，所以在某些不平坦區(qū)域會(huì)存在較大角度的旋轉(zhuǎn)情況。在此特定區(qū)域，簡(jiǎn)化的7參數(shù)公式將不能有效表達(dá)這種轉(zhuǎn)換關(guān)系。目前國(guó)內(nèi)大部分測(cè)繪工作中主要采用適合小區(qū)域轉(zhuǎn)換的7參數(shù)模型簡(jiǎn)化公式，另有部分廠家或機(jī)構(gòu)提供了完整公式模型，因此有必要研究7參數(shù)的完整公式求解方法，并對(duì)完整及簡(jiǎn)化兩種公式的轉(zhuǎn)換精度及適用性進(jìn)行研究。

本文將介紹7參數(shù)的完整公式及其參數(shù)求解方法，并結(jié)合實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，對(duì)比了兩種模型的優(yōu)劣點(diǎn)及其適用性。

2 7參數(shù)轉(zhuǎn)換的完整公式

關(guān)于7參數(shù)的完整公式，國(guó)內(nèi)學(xué)者已經(jīng)有很多研究成果［1］。7參數(shù)模型在國(guó)內(nèi)又稱為布爾莎模型或者3維赫爾默特變換，該模型是定義在空間直角坐標(biāo)系（左手坐標(biāo)系）下，用于表示兩個(gè)XYZ坐標(biāo)系之間通過(guò)旋轉(zhuǎn)（沿坐標(biāo)軸方向觀察順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正）、縮放和平移完成的轉(zhuǎn)換關(guān)系。為表述方便，以從WGS－84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到1954北京坐標(biāo)系坐標(biāo)為例，一般通過(guò)GPS測(cè)量得到 WGS－84系統(tǒng)下（B，L，H）坐標(biāo)后進(jìn)行轉(zhuǎn)換獲得（X，Y，Z）坐標(biāo)，同時(shí)把1954北京坐標(biāo)系坐標(biāo)下的（x，y，h）坐標(biāo)進(jìn)行投影反算獲得（B，L，h），并將水準(zhǔn)高h(yuǎn)視為局部橢球高進(jìn)行轉(zhuǎn)換獲得地方坐標(biāo)系下的（X，Y，Z）坐標(biāo)，由此根據(jù)7參數(shù)模型列方程組

式（1）中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，根據(jù)轉(zhuǎn)換模型的幾何意義，其由X，Y，Z三個(gè)方向軸上的旋轉(zhuǎn)陣組成，可表達(dá)如下

設(shè)饒X軸旋轉(zhuǎn)角為α，饒Y軸旋轉(zhuǎn)角為β，饒Z軸旋轉(zhuǎn)角為γ，則

對(duì)于7參數(shù)模型的簡(jiǎn)化公式，是將旋轉(zhuǎn)量認(rèn)為是很小的微小量。根據(jù)微分近似原理，上面的R陣可以簡(jiǎn)化成為線性方程組后按照一般的最小二乘方法進(jìn)行求解。

2.1 完整公式的一階展開(kāi)

對(duì)于具備大角度旋轉(zhuǎn)的情況，不可通過(guò)近似獲得線性方程組，因此必須保持完整公式求解非線性方程組。為了通過(guò)迭代法求解非線性方程組，根據(jù)高斯牛頓法的原理，需推導(dǎo)出模型方程的偏導(dǎo)函數(shù)［2－5］。將7參數(shù)待求參數(shù)向量寫(xiě)為

式（3）中K為1＋m，則式（1）可以看成

f（X）在X0處展開(kāi)到一階項(xiàng)

其中

式（6）中

2.2 基于高斯牛頓法的非線性方程組求解算法

迭代法求解非線性方程組的算法可描述為：先隨機(jī)地在近似值X0處展開(kāi)，再按照一定的方法向最優(yōu)值逼近。這種方法的關(guān)鍵在于，第一要避免陷入局部最小值；第二保證收斂而不發(fā)散；第三要提高其收斂速度。因此，這種逼近過(guò)程中引入了一個(gè)改正值的步長(zhǎng)系數(shù)值的概念，即

式（7）中的λ就是每次迭代中對(duì)X向量的改正值的步長(zhǎng)系數(shù)值。具體計(jì)算步驟：將初始值X0代入式（5）中，通過(guò)最小二乘法求出dX，然后把這個(gè)改正值乘以步長(zhǎng)系數(shù)后改正到X0上，作為新的X0再次進(jìn)行迭代，直到收斂。計(jì)算改正值的步長(zhǎng)系數(shù)值比較關(guān)鍵，一種有效的步長(zhǎng)計(jì)算公式可采用：

式（8）中，P函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，可以定義為殘差平方和即可。

3 算例分析

3.1 大旋轉(zhuǎn)角的數(shù)據(jù)解算情況對(duì)比

作者對(duì)比了參考文獻(xiàn)［6］中的模擬算例，得到了一致的結(jié)果，為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的可靠性，作者也做了一組模擬數(shù)據(jù)：假設(shè)一組點(diǎn)在XYZ方向分別存在1 000m，2 000m及3 000m的平移，同時(shí)分別存在40°，50°及60°的旋轉(zhuǎn)角以及10mm／km的尺度縮放，利用這套參數(shù)使用完整公式算出假設(shè)的坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)，所得數(shù)據(jù)列于表1。

對(duì)于表1中的數(shù)據(jù)，分別用7參數(shù)簡(jiǎn)化公式和完整公式進(jìn)行求解，將所求得參數(shù)再代入進(jìn)行轉(zhuǎn)換獲得當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)，為了便于理解將結(jié)果投影到平面坐標(biāo)系下進(jìn)行殘差統(tǒng)計(jì)，所求參數(shù)結(jié)果及相應(yīng)的殘差信息表2及表3所示。

表1 大角度樣本數(shù)據(jù)

表2 大角度數(shù)據(jù)完整公式與簡(jiǎn)化公式結(jié)果對(duì)比

表3 大角度數(shù)據(jù)完整公式與簡(jiǎn)化公式殘差對(duì)比

從表2、表3可以看出：因本例數(shù)據(jù)存在較大的旋轉(zhuǎn)角，簡(jiǎn)化模型已經(jīng)難以有效的表達(dá)轉(zhuǎn)換關(guān)系，導(dǎo)致在解算中無(wú)法正確收斂，造成了殘差過(guò)大的現(xiàn)象，而完整公式還能有效的求出轉(zhuǎn)換參數(shù)，獲得較高的轉(zhuǎn)換精度。

3.2 小旋轉(zhuǎn)角的數(shù)據(jù)解算情況對(duì)比

實(shí)際工程中，遇到最多的數(shù)據(jù)還是只有較小角度旋轉(zhuǎn)量的情況。作者通過(guò)大量實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)表明在小角度情況下，完整公式與簡(jiǎn)化公式都能夠準(zhǔn)確求出參數(shù)，實(shí)現(xiàn)高精度轉(zhuǎn)換，舉例見(jiàn)表4、表5及表6。

從表6殘差來(lái)看：兩種公式的轉(zhuǎn)換精度沒(méi)有明顯差異，都能滿足高精度轉(zhuǎn)換。從表5中的參數(shù)結(jié)果可以看到同一組數(shù)據(jù)求出的簡(jiǎn)化模型的7參數(shù)與完整公式的7參數(shù)結(jié)果縮放系數(shù)差異較大，因此在實(shí)踐中，這兩種公式所求出的參數(shù)是不能通用的，這是在實(shí)踐中要注意的。

表4 小角度樣本數(shù)據(jù)

表5 小角度數(shù)據(jù)完整公式與簡(jiǎn)化公式結(jié)果對(duì)比

表6 小角度數(shù)據(jù)完整公式與簡(jiǎn)化公式殘差對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

（1）使用高斯牛頓法能有效求解7參數(shù)模型完整公式的非線性方程組；

（2）在存在大旋轉(zhuǎn)角的情況下，簡(jiǎn)化公式不能滿足使用而完整公式仍然可以使用；

（3）在旋轉(zhuǎn)角較小的情況下，使用完整公式與簡(jiǎn)化公式具備相同的的轉(zhuǎn)換精度，未見(jiàn)明顯優(yōu)勢(shì)；

（4）兩種公式所求得的參數(shù)不能交換使用，即參數(shù)不通用；

（5）本算法已運(yùn)用到廣州中海達(dá)衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)股份有限公司的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換軟件中投入市場(chǎng)使用多年，經(jīng)過(guò)全國(guó)市場(chǎng)檢驗(yàn)該算法實(shí)用可行，能夠滿足國(guó)內(nèi)外測(cè)量領(lǐng)域高精度三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的需求。

［1］ 羅長(zhǎng)林.基于改進(jìn)的高斯牛頓法的非線性三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2007，27（1）：50－54.

［2］ 王新洲.非線性模型參數(shù)估計(jì)理論與運(yùn)用［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2002.

［3］ 楊 錚，黨亞民，成英燕.GPS／GLONASS定位系統(tǒng)融合的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換研究［J］.測(cè)繪科學(xué)，2008，33（2）：45－47.

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［5］ 劉慶元，包 海，王 虎，等.GPS、GLONASS、GALILEO三大系統(tǒng)間時(shí)間系統(tǒng)以及坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換［J］.測(cè)繪科學(xué)，2008，33（5）：13－15.

［6］ 曾文憲，陶本藻.三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的非線性模型［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2003，28（5）：566－568.