陳 芳 (阿壩師范高等專科學(xué)校預(yù)科部,四川 汶川623002)
在Riesz空間及其算子理論中,序收斂具有非常重要的作用。文獻(xiàn) [1]比較了幾種序收斂的關(guān)系,筆者在此基礎(chǔ)上討論了這幾種序收斂對算子的影響。

易知,若一個網(wǎng)是1-序收斂的,則它一定是2-序收斂的,反之不成立。具體的反例請詳見文獻(xiàn)[6]。但若放在完備的空間里討論,易知這2種序收斂是等價的。而當(dāng)空間不是完備的,則有如下性質(zhì):
性質(zhì)1[1]若E是Riesz空間,對于E中的網(wǎng)(xα)α∈A,和x∈E,則(xα)α∈A在E中2-序收斂于x等價于(xα)α∈A在Eδ中1-序收斂于x,其中Eδ是E的完備化空間。
注:筆者未介紹的概念和專業(yè)術(shù)語請參見文獻(xiàn)[2-5]。
定義4 設(shè)E,F(xiàn)是Riesz空間,則:

引理1[1]設(shè)E,F(xiàn)是Riesz空間,且算子T:E→F是1-序或2-序連續(xù)的,則T是序有界的。即任意的序連續(xù)算子都是序有界的。
引理2[1]設(shè)E,F(xiàn)是Riesz空間,且T:E→F是算子。若T是1-序連續(xù)的,則T是2-序連續(xù)的。
文獻(xiàn)[6]給出了具體的反例來說明了引理2的逆命題不成立。

定理1說明,只要值域空間是完備的,則1-序連續(xù)和2-序連續(xù)2種算子等價。定理2表明只要是正算子,則2種序連續(xù)等價。這2個定理一個是對空間進(jìn)行限定,另一個是對算子提出要求,同樣都可以得出2種序連續(xù)算子等價。
[1]Abramovich Y A,Sirotkin G.On order convergebce of nets[J].Positivity,2005 (9):287-292.
[2]Zaanen A C.Introduction to operator theory in Riesz spaces[M].Berlin-Heidelberg-New York:Springer-Verlag,1996.
[3]Aliprantis C D,Burkinshaw O.Positive operators[M].New York-London:Academic Press,1985.
[4]Meyer-Nieberg P.Banach lattices[M].Berlin Heidelberg New York:Springer-Verlag,1991.
[5]Kelley J L.General Topology[M].New York:Van Nostrand,1995.
[6]Schaefer H H.Banach Lattices and Positive Operators [M] .New York:Springer-Verlag,1974.