Riesz空間中序收斂的幾點注記

陳 芳 （阿壩師范高等專科學(xué)校預(yù)科部，四川 汶川623002）

在Riesz空間及其算子理論中，序收斂具有非常重要的作用。文獻(xiàn) ［1］比較了幾種序收斂的關(guān)系，筆者在此基礎(chǔ)上討論了這幾種序收斂對算子的影響。

1 序收斂的幾種概念

易知，若一個網(wǎng)是1-序收斂的，則它一定是2-序收斂的，反之不成立。具體的反例請詳見文獻(xiàn)［6］。但若放在完備的空間里討論，易知這2種序收斂是等價的。而當(dāng)空間不是完備的，則有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1［1］若E是Riesz空間，對于E中的網(wǎng)（xα）α∈A，和x∈E，則（xα）α∈A在E中2-序收斂于x等價于（xα）α∈A在Eδ中1-序收斂于x，其中Eδ是E的完備化空間。

注：筆者未介紹的概念和專業(yè)術(shù)語請參見文獻(xiàn)［2-5］。

2 序連續(xù)算子的序有界性

定義4 設(shè)E，F(xiàn)是Riesz空間，則：

引理1［1］設(shè)E，F(xiàn)是Riesz空間，且算子T：E→F是1-序或2-序連續(xù)的，則T是序有界的。即任意的序連續(xù)算子都是序有界的。

引理2［1］設(shè)E，F(xiàn)是Riesz空間，且T：E→F是算子。若T是1-序連續(xù)的，則T是2-序連續(xù)的。

文獻(xiàn)［6］給出了具體的反例來說明了引理2的逆命題不成立。

3 1-序連續(xù)和2-序連續(xù)2種算子的等價條件

定理1說明，只要值域空間是完備的，則1-序連續(xù)和2-序連續(xù)2種算子等價。定理2表明只要是正算子，則2種序連續(xù)等價。這2個定理一個是對空間進(jìn)行限定，另一個是對算子提出要求，同樣都可以得出2種序連續(xù)算子等價。

［1］Abramovich Y A，Sirotkin G．On order convergebce of nets［J］．Positivity，2005 （9）：287-292．

［2］Zaanen A C．Introduction to operator theory in Riesz spaces［M］．Berlin-Heidelberg-New York：Springer-Verlag，1996．

［3］Aliprantis C D，Burkinshaw O．Positive operators［M］．New York-London：Academic Press，1985．

［4］Meyer-Nieberg P．Banach lattices［M］．Berlin Heidelberg New York：Springer-Verlag，1991．

［5］Kelley J L．General Topology［M］．New York：Van Nostrand，1995．

［6］Schaefer H H．Banach Lattices and Positive Operators ［M］ ．New York：Springer-Verlag，1974．