HPM在教育中的實然困境與應然向度＊

黃友初

（溫州大學數學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

1972年，在英國Exeter召開的第二屆國際數學教育大會上成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics），簡稱HPM。通常，我們把數學史與數學教育的研究統稱為HPM。早在19世紀HPM就受到歐美數學家和數學教育專家的關注，20世紀后半期，HPM已成了數學教育研究的一個重要課題。我國對HPM的普遍關注則是在本世紀初，《普通高中數學課程標準（實驗）》頒布之后。課程標準將《數學史選講》作為一個選修序列，并強調要讓學生初步了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神［1］。因此，探索如何在數學教育中融入數學史，為數學教育注入新的元素，提升教育質量，成了當前必須面對和急需解決的一項理論和實踐課題。

一、HPM在教育中的實然困境

數學史具有重要的教育價值，它可以促進學生的數學學習，已得到了廣大數學教師和數學教育研究者的普遍認可，相關的文獻也很多，其中最經典的論述，應該是英國學者John Fauvel所提出的15條理由［2］，以及Tzanakis和Arcavi從數學學習、數學本質和數學活動的發展、教師的教學背景與知識儲備、數學情感以及作為文化活動的數學等五個方面所總結的數學史對數學教學的作用［3］。但是，HPM的這種高評價并未帶來實踐教學中的普遍應用，在實際的數學教學中數學史的應用還比較缺乏，數學史還未能充分彰顯其教育價值。

（一）教師教育的缺失

雖然《普通高中數學課程標準（實驗）》中賦予數學史重要的地位，但是相關的配套措施并沒有隨之跟上，一個突出的表現就是在教師教育中HPM的教育還是缺失的。要在教學中融入數學史，教師對數學史必須有必要的了解，但是目前的職前教師教育中，數學史往往是選修課程，這給師范生傳遞的隱性信息，就是數學史是可有可無的（學生可選也可不選），這些未來教師在思想上對數學史就未能引起足夠的重視，將來在教學也就不能主動地將數學史作為重要的教學資源。此外，選修課的課程性質和考核方式也決定了教師在教學過程中未能深入講解數學的發展歷程，師范生在學習過程中不如必修課那樣投入，部分學生還抱著應付的態度在聽課，未能達到數學史知識的必要儲備。

從現有的一些調查研究來看［4］，在職后教師教育中，由于教師工作繁忙或者家庭事務繁多的因素，在參加培訓時候未能全身心投入。而且，對職后教師教育的考核力度往往比較松，一些培訓課程的學員缺席嚴重，即使在課堂中聽課，部分學員也未能集中注意力聽講，這些都造成了職后的教師教育未能達到預期的效果。更值得一提的是，在職后的教師中，進行數學史和數學教育方面的培訓還很少。這說明了在現有的教師教育體系中HPM是缺失的，并由此導致了教師未能正確認識數學史的教育價值，也缺乏必要的數學史知識。因此，教師教育中HPM的缺失，從客觀上導致了HPM未能普遍開展。

（二）教育倫理性的迷失

教師作為教學活動的行為主體，要受到教學行為規范的約束，根據行為規范約束的強度和范圍，可將教學行為規范分為道德、倫理和法律三個層次。教學行為規范的法律層面約束力最大，約束范圍也是最窄的，屬于最低的約束層次；道德層面是最高的約束層次，它通過個體的道德修養和人格完善來約束自我的教學行為；而倫理約束介乎兩者之間，它指教學行為主體的倫理自覺，是針對教師群體的教學行為規范而言的。［5］教學行為主體違犯了法律規范就會受到相應的法律制裁；違犯了道德規范也會受到相應的道德譴責；而教學行為主體的倫理規范則完全是靠行為主體的自覺，缺乏相應的監督機制和懲戒措施，因此教學的倫理性在教育實踐中往往會被認為是可有可無而受到忽視。［6］但是，倫理性卻又是教學活動的固有屬性，是對教學行為主體的規范和要求的必要條件。在以培養素質為主導的教學中，知識教育是為培養學生的素質服務的，因此忽視教育的倫理性必將導致教育目標的偏離。

當前，在社會功利文化的影響下，教師的教育過程也存在很強的功利性，強調教育的工具價值，以教育為手段而謀求外在的教育價值追求，例如考試分數，而不是教育本身的目的。其實，追求教育的現實價值本無可厚非，但過分強調就變成急功近利，容易忽視教育的本體價值，使得教育背離了本真。為了追求高效，以功利為取向的教育在教學方法上強調死記硬背、急于求成。教師為了快捷、簡便、高速，大量運用講授法進行滿堂灌；學生則只能不求甚解地抄筆記、背筆記、機械地重復練習，盲目吸收、消化。［7］這種教學方式表面上雖然能夠讓學生在較短的時間之內獲得大量的知識，教學“效率”很高，但對于學生能力的發展、智力的成長、個性的完善其實是非常不利的。

這些都是在教育功利性的影響下，迷失了教育倫理性的表現。在教學中，為追求教育價值的最大化，教師往往采用最有把握，最“成熟、有效”的教學方式，而不敢輕易越池去嘗試其它的教學模式，包括融入數學史的課堂教學模式，有的教師認為在課堂中講數學史會占據“正常”的上課時間，影響教學效率；有的教師僅在一些課中簡單介紹幾個數學故事，將數學史看作是學生學習的調味品，而漠視或者輕視數學史的教育價值。因此，教育倫理性的迷失，導致教師在教學實踐中在主觀上忽視數學史，導致了HPM的缺失。

（三）理論和實踐的離失

盡管功利性的教育可以讓學生有效的掌握考試所需要的性質、定理，熟練的掌握計算技巧，但是缺乏背景的數學知識，難以激發學生的學習興趣；形式化而突兀的呈現數學知識，容易讓學生認為數學是和現實脫離的，是少數幾個天才數學家思維抽象化的結果。學生只能被動、冷漠的學習數學，缺乏熱情，長此以往則不但讓學生的數學學習變得心力交瘁，而且所學到的數學知識也是靜態的，難以內化成數學素養，失去了數學教育的本質目的。一位數學成績很好的學生在自己的作業后面寫道：老師，我實在不知道數學有什么用處，或許是我學的還不夠好，還不能領悟！這種現象絕對不會是個案，這是數學教育的頑疾，極大的阻礙了民族數學素養的提高。很多教師也意識到了傳統教育所帶來的弊端，希望在教學中融入數學史，但是發現他們缺乏必要的數學史知識。即使有的教師學習過數學史或者自學過相關的數學史知識，但是要真正融入數學教學中也往往不知該如何操作，這種現象同HPM理論和實踐的離失有很大的關系。

HPM中的數學史不是為歷史而歷史，也不是為數學而歷史，而是為教育而歷史，他不同于純數學史。為了配合知識點的教學，HPM中的數學史往往是以專題史的形式出現，而這是很容易為純數學史家所忽略，很少能在一般的數學通史著作中完整出現，如：平面概念的歷史、角概念的歷史、向量概念的歷史、均值概念的歷史、均值不等式的歷史等等，都需要從數學通史著作的各個部分截取相關材料，再整理成相對完整的知識點的專題史。這需要教師能根據教學的需要，在浩瀚的數學史中梳理教育形態的數學史料，經過加工后再融入教學中。另外，在知識點的發展歷程中，教師也可以了解到知識點演化過程中出現的難點，及其如何突破，這些歷史上知識發生的難點往往也是學生學習過程中碰到的難點，教師可以從歷史的發展進程中得到教學啟示，設計適當的教學方案，幫助學生突破學習的難點。但是，這些工作如果全部都要任課教師自己完成有點勉為其難，首先是數學史理論上的缺乏，其次就是中小學教師的教學任務十分繁重，很難有足夠的時間進行深入的研究工作。

在我國，高等院校的師生和各級教育研究院的研究人員是教育理論研究的主力軍，他們具有較好的理論基礎，具備科學的研究方法，也是目前HPM理論研究的主要力量。他們具有相對豐富的數學史和數學教育的理論知識，對數學知識的專題史也相對了解。但是，目前教育研究者和教育實踐者還是脫離的，HPM的理論和實踐兩個層面還缺乏合作的條件和空間，這也在客觀上導致了HPM未能落實到具體的教學中。

二、發生認識論：HPM的理論基礎

發生認識論的創始人是皮亞杰，他以個人的認識過程作為論證的依據，認為個體在與環境的相互作用中，通過同化和順應的作用，不斷構建新的平衡，即個體遇到新的刺激總是試圖用原有圖式去同化，若獲得成功，便能得到暫時的平衡，如果原有圖式無法同化環境刺激，個體便會作出順應，即調節原有圖式或重新建立新圖式，直至達到認識上的新平衡。皮亞杰研究發現，兒童思維的發展和科學的發展之間存在著類似的過程，科學史上一個歷史時期到下一個歷史時期的轉變的機制類似于主體認識中一個發生階段到另一個發生階段轉變的機制［8］。這就是所謂的歷史發生原理，是數學教學中運用數學史的重要依據，也是HPM研究的理論基礎，該原理認為個體對數學概念的認知發展過程與該概念的歷史發展過程相似。F·克萊因、龐加萊、波利亞、弗賴登塔爾等都是該原理的支持者。［9］20世紀80年代以來，西方學者對該原理進行了廣泛的討論，并通過實證研究驗證了該原理的正確性，及其對數學教學的重要作用。例如E.Harper對英國學生進行測試，發現學生對符號代數的認知發展過程與符號代數的歷史發展過程（修辭代數—半符號代數—符號代數）具有相似性［10］；J.M.Keiser研究發現，學生對角概念的理解與角概念的歷史是相似的，教材的編寫和學生的學習都可以從前人理解角概念的困難性中獲得諸多啟示［11］；McBride和Rollins通過實驗研究發現使用數學史知識的課程在提高學生學習數學的積極性是十分有效的［12］。

因此，數學史可以促進學生的數學學習是具有可靠的理論基礎的，它不但可以為學生學習數學提供素材，還能從數學的發展歷程中得到教學啟示和學習經驗。根據發生認識論原理，按照數學史在數學教學中的融入程度的不同，可以將其分為附加式、復制式、順應式和重構式［13］四種融入類型，如表1所示。

表1 數學教學中運用數學史的方式

這四種類型中的任何一種都有它的適用條件，都能起到不同的作用，因此沒有優劣之分，教師可以根據不同的教學內容，不同的學生對象，選擇不同的融入方式。就目前來說，附加式的融入方式在教師中比較常見。這種形式對教師的數學史要求較低，也最方便在教學中采用。但是，這種最簡單的融入形式顯然還不能彰顯數學史的教育價值，而且過多的采用附加式教學也容易導致學生的審美疲勞。因此，教師應當在適當的知識點采用其它形式的融入，例如在順應式和重構式的融入方式中教師可以借鑒歷史，讓學生深入思考，體驗知識點的歷史發生過程。這往往能讓學生從更深的思維層面感受數學的魅力和文化價值。

三、HPM在教育中的應然向度

在理論上被認為有價值的必定也能在實踐中找到它的使用空間，HPM的高評價，必然也能在數學教育中得到高應用，通過教師教育發展HPM，研究者和實踐者結合給HPM的發展提供保障，共同構建基于數學史的課堂教學模式是HPM發展的應然取向。

（一）教師教育：HPM發展的內在邏輯

教師教育是教師成長的必經之路，它以教師專業化為目標，社會需求為導向，將教師職前、職后教育一體化與終身化相結合、教師專業性和學科學術性相結合，堅持開放性和多元化，堅持科學發展觀和教師教育市場觀的辯證統一［14］。在當前流行的教師教育樣式，如校本研究、帶徒弟式、經驗學習、問題導向學習等之中內蘊的一個危險就是忽視教育理論的學習、藐視教育理論的功能、懷疑教育理論的可靠性，這是導致教師教育活動蛻變降格、實踐效能萎靡不振的實在原因之一［15］。理論來自經驗，但又超越經驗，HPM的理論既包含了數學史的知識，也包含了挖掘教育形態數學史料的技能和如何在教學中融入數學史的實踐設計，這些理論和技能需要在職前和職后的教師教育中體現。

首先要提升高等院校中數學史課程的地位，將其變為必修課程并增加學時。這不僅可以讓師范生有更多的時間來學習數學史，更重要的價值在于向師范生暗示了數學史的地位和價值，隱性的向他們傳達了數學史在數學教育中的重要性。同時，課程地位的提升，使得教師和師范生在教與學過程中對該課程都會給予必要的重視。這可以讓未來教師對儲備必要的數學史知識，具備良好的“嗅覺”，使得將來教學過程中能根據知識點聯想起相關的數學史知識。當然，僅有這些是不夠的，還需要讓教師掌握在浩瀚的數學史料中挖掘某知識點發展歷程的能力。因為HPM追求的是教育形態的數學史，需要在數學通史著作中歸納和挖掘教育教學所需要的材料。這種能力也是目前很多教師所欠缺的，需要在職前和職后的教師教育中培養。而視頻案例的培訓模式的教師教育中一個很好的選擇，與文本案例相比，視頻案例具有真實性、情境性、豐富性、互動性等特點，它能激發學習者的學習熱情，使緘默知識顯性化［16］。通過視頻案例，給教師展示成功的HPM案例，不但讓教師掌握數學史的融入時機和形式，還可以讓他們真實感受到數學史帶來的良好教學效果，從而激發教師的熱情，促使其在今后的教學中嘗試融入數學史。

（二）研究者和實踐者合作：HPM發展的持續保障

要讓HPM持續發展，理論和實踐缺一不可，而目前，HPM的理論研究者基本上來自高等院校或者各級教育研究所，他們能較為深刻的理解HPM的內涵，有一定的理論高度，但是他們對中小學數學教學經歷比較缺乏。而中小學數學教師具有豐富的教學經驗，也是HPM實踐的具體執行者，但是他們往往對相關的HPM理論層面還了解不夠。因此，要在實踐層面深化HPM，研究者和實踐者必須密切合作，形成教學研究共同體。這是HPM持續發展的保障，既發揮研究者的理論和研究優勢，也可以有效地利用一線教師豐富的教學經驗，構建有效的HPM教學模式。

要做到HPM理論研究者和實踐者的合作需要建立必要的機制，從制度上促使兩者自動合作，就目前來看，以課題研究的模式是比較可行的，通過共同申報課題，在共同的研究中合作。理論研究者運用自身的數學史理論優勢，幫助教師開發基于數學史的教學案例，實踐者在教學中執行該案例的教學，并反饋師生的課堂感受，通過研究者和實踐者的共同努力，提升案例后再次推廣該案例的教學。由于教學的持續性，HPM要在實踐層面持續開展，研究者和實踐者的密切合作是必要的保障。國外在這方面已開展的較好，美國數學教師協會早在1969年就組織數學史家和數學教育家編寫了《用于數學課堂的歷史話題》，供數學教師使用。可喜的是，近年來國內的一些HPM研究者已經主動和中學教師合作，開發出了很多成功的案例，并取得了良好的效果。但這項工作要持續有效地開展，必須要從制度上給予足夠的支持。

（三）構建基于數學史的課堂教學模式：HPM發展的核心表征

要在中小學教師中普及融入數學史的課堂教學，首先要讓他們看到這種教學模式在實際教學中產生出良好的效果。榜樣示范在中小學是一種十分有效的傳播方式，很多中小學教師往往是看到身邊的優秀教師的做法或各級“示范課”，并以此為榜樣，借鑒并融入自身的教學實際中，形成自己特色的教學風格。因此，榜樣具有隱性的“權威性”與“不可質疑性”，樹立榜樣的意義在于能夠使教師通過對榜樣的觀察，思考其思維方式與行為方式，契合其具體的教學情境，來反思自己的教學，以期形成自己的教學規則。［17］為此，必須在研究者和實踐者合作的基礎上，構建基于數學史的課堂教學模式，并在個別教師中取得成功后，再發揮其榜樣示范的作用，輻射到周圍教師中。

教學模式是一種介于教學理論與教學實踐之間的中層理論，是理論與實踐的中介，一線教師可以在教學模式的指引下，開發具體的適合自身的教學設計。因此，教學模式可以是理論研究者和實踐執行者合作的有效成果，構建基于數學史的教學模式是HPM發展的核心表征。在理論研究者和實踐執行者的合作下，建立起成熟有效的教學模式，并開發出高質量的教學設計，從而形成基于數學史的成功教學案例。

四、結束語

數學史的教育價值已經得到了包括教育界的普遍認可，在國外和我國的臺灣地區的數學教育中融入數學史的現象也很普遍。我們傳統的數學教育雖然有其優勢，但是也帶來了一些弊端，導致教育和教育的本質目標是脫離的。要解決這些問題，提升民族的數學素養，數學史是一個很好的選擇。數學的發展具有悠久的歷史，很多知識點的產生都經歷了曲折的過程，可以給我們的數學教學提供很多有益的素材和借鑒。因此，割裂數學的歷史而單純的進行數學知識的教學是不能取得滿意的教育效果的。HPM研究數學史和數學教育的關系，旨在利用數學史為數學教育服務，賦予數學人文意義，提升數學的文化價值，這是新課程所提倡的，也是今后教育發展的方向。克服HPM的實然困境，發揮HPM的應然向度是教育發展的必然趨勢。

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