淺析靜力學解題方法

一、正交分解法

力的正交分解法在處理力的合成和分解問題時，我們常把力沿兩個互相垂直的方向分解，這種方法叫做力的正交分解法。正交分解是解決物理學中矢量問題的最得力的工具，因為矢量不僅有大小，而且有方向。所以同學們對矢量的運算感到特別困難，而此法恰好可以使矢量運算得以簡化。要引入使用這一方法，一定要有一段培養和訓練的過程，才能夠用它解決物理中的重點及難點問題。

正交分解法的三個步驟

第一步，建立正交x、y坐標，這是最重要的一步，x、y坐標的設立，并不一定是水平與豎直方向，可根據問題方便來設定方向，不過x與y的方向一定是相互垂直而正交。

第二步，將題目所給定跟要求的各矢量沿x、y方向分解，求出各分量，凡跟x、y軸方向一致的為正；凡與x、y軸反向為負，標以“一”號，凡跟軸垂直的矢量，該矢量在該軸上的分量為0，這是關鍵的一步。

第三步，根據在各軸方向上的運動狀態列方程，這樣就把矢量運算轉化為標量運算；若各時刻運動狀態不同，應根據各時間區間的狀態，分階段來列方程。這是此法的核心一步。

第四步，根據各x、y軸的分量，求出該矢量的大小，一定表明方向，這是最終的一步。

這是一種很有用的方法，答物理問題的優勢在于：

①解題過程的程序化，易于學生理解和接受；

②學生一旦掌握這種方法，就可以按部就班的從“定物體，分析力→建坐標，分解力→找規律，列方程→求結果，反思題”這樣一個模式化的解題過程進行下去，總可以將題目解答出來。

③這種方法適用于物體受力個數較多且有些力不在互相垂直的兩個方向上，而其它方法對力的個數較多的情況應用起來反而更復雜。有時對力的分布又有比較特殊的要求。而正交分解法幾乎沒有什么限制；不論力的個數，也不論力的分布是否具有對稱性或臨界特點，也不論被研究的是一個物體還是物體系；

④正交分解法的解題形式規范，整齊劃一，通常都在x軸和y軸兩個方向上列出方程，必要時加一個輔助方程，可以求解兩到三個未知量；

⑤學生一旦掌握了正交分解法，就可以在大腦中形成一種固有的解題模式，所以，在面臨具體問題時，很快自動生成解題思路。

⑥正交分解法是一種常規方法，人們在解題時，一般情況下常規方法最容易進入解題者的短時記憶，不論是平時考試還是高考，常規方法往往是最直接是最效的方法。因此，對正交分解法題題應該讓學生達到程序化、自動化、標準化的熟練境界。

例1、如圖所示，用一個斜向上的拉力F作用在箱子上，使箱子在水平地面上勻速運動。已知箱子質量為m，F與水平方向的夾角為θ，箱子與地面的動摩擦因數為μ。求拉力F的大小。

解：箱子受四個力：mg、FN、f、F作用，如圖所示。建立直角坐標系如圖，將拉力F分解為：Fx=Fcosθ，Fy=Fsinθ。

根據共點平衡條件得：

x軸上：Fcosθ=f……①

y軸上：Fsinθ+FN=mg……②

摩擦定律：f=μFN……③

將③代入①，再將②中的FN的表達式代入后得：F= 。

應用正交分解法解平衡問題的主要步驟是：①定物體，分析力；②建坐標，分解力；③找規律，列方程；④解方程，得結論。⑤反思關鍵，形成經驗。

二、整體法與隔離法

在解物理問題過程應用的整體法，是將幾個具有相互作用或影響的物體看成一個整體或系統，進行分析或思考要解決的問題。在平衡問題中，通常所求的目標是某幾個外力時，優先應用整體法。這時幾個物體通常都處于平衡狀態。隔離法是將具有相互作用或影響的物體隔離出來，單獨對其中某一個物體進行分析。如果要求物體之間的相互作用力，則必須采取隔離法。整體法與隔離法常常結伴同行，共同處于同一問題，兩者是相互依存的關系。

整體法與隔離法的含義和作用并不是這樣簡單，在今后的學習中還要經常應用到這兩種解題方法。把全過程看作一個整體進行分析，是在第二章處理勻變速直線運動時要用到的另一種類型的整體法。

例2、如圖所示，兩塊相同的豎直木板A、B之間有質量均為m的四塊相同的磚，用兩個大小均為F的水平力壓木板，使磚靜止不動。設所有接觸面的摩擦因數均為μ，則第三塊對第二塊磚的摩擦力的大小為多大。

解：以四塊磚為整體，所受外力情況：重力4mg、A板對磚塊1的靜摩擦力和木板B對磚塊4的靜摩擦力，由對稱特點，兩個靜摩擦力相等，均為f，所以整體共受三個外力，如圖所示。由平衡條件得：

2f=4mg，∴f=2mg。

以1、2兩塊磚為整體，其受外力如圖所示。因f=2mg，已跟兩塊磚所受重力2mg平衡，所以，第三塊磚對第二塊磚的摩擦力f32=0。

同類拓展：將四塊磚增加為五塊磚，求第三塊對第二塊的摩擦力。這時，對五塊磚構成的整體有：2f= 5mg，∴f=2.5mg。仍取1、2兩塊磚為整體，要滿足平衡條件，f32=0.5mg，方向豎直向上。

三、對稱方法及應用

“對稱是指圖形或物體對某個點、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對應關系。在物理學中的對稱比數學具有更廣泛的含義，如物質分布的對稱——均勻球體，均勻帶電球殼的電荷，彈力的伸長與壓縮及產生的彈力，具有一定特點的往復運動等，這些只是對稱的表達形式，而對稱的深層本質卻是不變性。所謂對稱性或對稱原理，就是事物經過某些變換后仍保持的不變性或某些不變性。或者說，在對稱的條件下，一定的規律可以等效地遷移（不論在同一問題的不同過程中，還是在兩個截然不同性質的問題中），從而避免繁瑣的數學推證，一下抓住問題的物理本質，迅速而簡捷地解決問題。在靜力學部分，我們主要涉及到結構結稱。

從科學思維方法的角度看，對稱原理最突出的作用，是啟迪和培養直覺思維能力。在分析和解答物理問題時，如果善于從對稱性的角度度剖析問題的物理實質，抓住問題的“突破口”，問題就迎刃而解了。

例3、如圖所示的光滑球所受重力為G，放在一個“V”型槽之間處于靜止狀態，θ為已知。求V型槽受到壓力大小。

解：因為V型槽的兩個平面以豎直線對稱，將光滑球受到的重力G沿垂直于V型槽的兩個平面方向分解為G1與G2，如圖所示。則G1與G2以豎直線為對稱軸，所以G1=G2，以G1和G2為鄰邊的平行四邊形是棱形，G1、G2與豎直線的夾角均為θ，所以：

G=2G1cos（90°-θ）=2G1sinθ，即時G1=G2=G/sinθ。球對V型槽兩個平面的壓力F1、F2大小分別與G1、G2大小相等，F1=F2=G/2sinθ。

點評：本題圖中的G1、G2與豎直線的夾角α與θ互余。本題中的光滑球實際上是在三個共點力：G、F1、F2作用下處于靜止狀態，所以也可以應用三力平衡條件求解。支持力F1、F2具有對稱性。

四、圖解法

圖解法：就是通過平行四邊形的鄰邊和對角線長短的關系或變化情況，做一些較為復雜的定性分析，從圖形上一下就可以看出結果，得出結論。圖解法具有直觀、便于比較的特點，應用時應注意以下幾點：①明確哪個力是合力，哪兩個力是分力；②哪個力大小方向均不變，哪個力方向不變；③哪個力方向變化，變化的空間范圍怎樣。

這里所介紹的圖解法是利用矢量合成與分解的平行四邊形定則或三角形定則，通過作圖的方式找到解決問題的突破口或關鍵結論，從而比較簡捷地完成解題過程。在作圖過時要充分利用恒矢量和方向不變的矢量。

此方法應用的條件：①一般為三力平衡問題。②第一個力為恒力。③第二個力的方向不變。

例4、如圖所示，用細線懸掛均勻小球靠在豎直墻上，如把線的長度縮短，則球對線的拉力T，對墻的壓力FN的變化情況正確的是：

A. T、FN都不變；

B. T減小，FN增大；

C. T增大，FN減小；

D. T、FN都增大。

解：受力分析小球受重力G、繩的拉力T、墻壁的支持力FN三個力，重力G為恒力，墻壁的彈力FN方向不變。當線的長度縮短時，線跟墻壁間的夾角θ增大，小球始終靜止，其重力為不變量，將重力沿線方向和垂直于墻方向分解，如圖所示，初態：T1=AD，FN1=DC，末態：T2=AB，FN2=BC。從矢量分解圖可知：T、FN都增大，故D答案正確。

五、相似三角形法

相似三角形法：就是利用力的三角形與邊三角形相似，根據相似三角形對應邊成比例求解未知量。

該方法應用的條件：①一般為三力平衡問題。②第一個力為恒力。③另二個力為變力。此類習題初看與圖解法很相似，注意條件3的對比。

例5、光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止。現緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到B的過程中，半球對小球的支持力N和繩對小球的拉力T的大小如何變化？

解析：分析小球在上升過程中的受力情況，小球受重力G（F= G）、支持力N、繩的拉力T，由圖中的相似三角形對應邊成比例，由于F=G、R、h+R均不變化，得N大小不變，繩長L在減小，則T減小。

六、三力平衡的解法

物體受三個力而平衡的問題，解法較多，通常情況可以轉化為直角三角形、棱形、或相似三角形。有的四力平衡也可以轉化為三力平衡進行處理，如支持力與滑動摩擦力合成為一個力的情況。

例6、輕繩OA與輕桿OB的A、B端固定在墻上，O點下懸掛一個質量為10kg的物體。∠ABO=90°，∠AOB=30°，當物體靜止時，求：⑴OA繩對O點的拉力？⑵OB桿對O點的作用力？（g=10N/kg）。

解法一：正交分解法。由共點力平衡條件，在x軸上：Tcos30°=FN

Y軸上：Tsin30°=mg。解兩式得：T=2mg=200N

FN=mgctg30° =100 /3（N）

解法二：利用“任意兩個力的合力跟第三力等值反向”作圖求解。

作圖：反思延長重力作用線，取R=mg，以R為對角線，T和FN為鄰邊完成平行四邊形。平行四邊形由兩個直角三角形組成，可知：

T=R/sin30°=2R=2mg，FN= Rctg30°=Rmgctg30°。

（作者單位：江蘇省東海縣石榴高級中學）