案例教學法在線性代數教學中的應用

劉俊菊 王健

摘 要 文章分析了當前線性代數教學中存在的問題，結合教學實踐提出了案例教學法在線性代數教學中的應用方式，列舉了幾個典型的與線性代數教學內容相關的案例。通過案例分析可幫助學生掌握相關知識點，并可激發學生的學習主動性。

關鍵詞 線性代數 案例 矩陣 特征向量

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.09.048

Abstract This paper analyzes existing problems in the teaching linear algebra， puts forward the application of the case method in linear algebra teaching， combing teaching practice， and lists several typical cases related to linear algebra teaching. The case analysis can help students master the relevant knowledge， and contribute to students' learning initiatives.

Keywords Linear Algebra， case， matrix， feature vector

0 引言

線性代數是大學數學中一門重要的基礎課程，主要研究多個離散變量之間的線性變化關系，在計算機科學、遺傳學、密碼學、物理學中都有很重要的應用。開設這門課的目的是使學生掌握并運用線性代數相關知識解決專業領域的問題，提高學生的空間想象、邏輯思維、抽象思維能力。

然而，這門課在具體授課過程也往往面臨一些問題，主要表現為：首先，內容抽象、單調，學生不容易接受，即便接受了也是被動接受，知道為什么、是什么，但是不知道可以用它做什么；其次，現有的教材中多是理論結合具體運算的例題，沒有結合生活中的具體實例，學生看不見應用的實際效果，不接地氣，學生學習積極性不高。筆者針對上述問題，在教學過程中注重挖掘知識點背后的應用，引入案例教學法，把一些學生日常生活中面臨的實際問題引入課堂教學，既提高了學生的學習積極性，又增強了學生把具體問題抽象成數學問題的能力。

案例，是實踐活動中發生的帶有普遍性和代表性的典型事例，是在真實的情境中發生的典型事件，通過對這些典型事例的分析，可以提出解決問題的辦法和思路。

案例教學是一種特殊的教學手段，通常是指在教師的指導下，根據教學目的要求，組織學生針對案例進行閱讀、思考、分析、討論和交流等活動，旨在培養和提高學生分析問題和解決問題的能力，幫助學生加深對基本原理和概念的理解。

案例教學中最為突出的特征是對案例的靈活運用，這是案例教學區別于其它方法的關鍵所在。本文將著重闡述和分析三個在教師引導下、學生可以自行解決的和線性代數相關的典型案例。

1 案例分析

案例一：交通路線問題

在中第行第列元素表示的是從到長度為2的路的總數，在這里，我們把從到經過的邊的個數稱為到的長度。例如，在中=2，表示從到有兩條長度為2的路，從圖上也可以驗證這一點。同理，在和中的第行第列元素分別表示從到長度為3和4的路的總數。

顯然，用矩陣的乘法分析線路問題比直觀的更準確、方便，而且可以方便的通過計算機編程來處理更加復雜的路況信息。

此外，我們做矩陣，很容易理解，中的第行第列元素表示的是從到的長度小于等于4的路的總數。

案例二：信息加密應用

在信息的傳送中，需要對所傳信息進行加密處理，我們先把A到Z共26個字母分別用1到26代替，空格用0代替，這樣，當我們要傳送信息就可以只傳送字母對應的數字，比如我們要傳送good luck，一共8個字母加一個空格，把其轉換成數字就是7，15，15，4，0，12，21，3，11。把這9個字符編譯成一個3階方陣，矩陣B就是明文矩陣，為了增加破譯的難度，我們利用逆矩陣的知識，還要找一個可逆的3階方陣A對其加密，例如選取

為解密矩陣， 其逆矩陣為。

我們取矩陣C=AB，即

我們只要把矩陣C對應的字符串66，24，36，94，42，62，83，27，35發出去，接收方利用解密矩陣A就可以獲得明文B矩陣。

即發送信息為good luck。事實上，這只是利用矩陣加密的簡單例子，具體的加密過程往往會更加復雜，我們還可以引導學生思考如何進一步把加密等級提高。

案例三：人口遷移問題

假定某省固定人口總數不變，每年有20%的人口從二線城市遷往一線城市，有10%的人口從一線遷往二線城市，請問，若干年后該省的一線二線人口比例是否會趨于穩定。

假設現有二線、一線人口數為，我們有

由此可見，該省的二線和一線城市人口終將趨于穩定狀態。

在本例中，我們利用矩陣的特征值與特征向量的相關性質解決人口遷移的相關問題，特征值與特征向量還可以幫助解決智能推薦、循環比賽、基因遺傳等問題，在授課過程中可根據學生的專業適當選取。

2 小結

在線性代數中適當的引入案例教學，有利于學生綜合解決問題能力的提升，在具體的教學中，要注意循序漸進，根據學生的基礎及學習狀態選擇合適的案例，確保難度適中，太難或太易都不利于激發學生的學習積極性。因此，如何更有效地使用案例教學法促進線性代數的教學，還需要教師在具體的教學環境中積極探索。

參考文獻

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