裝配模型幾何約束求解

摘 要：本文在充分研究了裝配模型特點的基礎上，給出了使用自由度分析技術對裝配模型的幾何約束求解的方法，針對三種基本裝配方式給出了解析解，針對約束閉環也給出了求解的方法，并展示了一個實例。

關 鍵 詞：幾何約束求解；裝配模型；自由度分析

1.引言

幾何約束求解問題是現代CAD系統的關鍵問題，國內外的相關研究人員對其進行了大量的研究工作[1-3]，并取得了很大的進展。在基于約束的系統中記錄元素幾何信息的同時也記錄了元素的拓撲信息和元素間的約束關系。幾何約束求解是CAD求解過程中的重要步驟。傳統的幾何約束求解方法有：基于幾何的方法、基于符號代數的方法[4]和數值計算的方法。

裝配模型是CAD應用的典型模型。在裝配模型中使用各種零件裝配生成復雜的產品，是產品設計中的關鍵部分，并對產品開發中的其他過程有很大的影響。裝配模型的關鍵是裝配約束求解。裝配約束求解就是求解在滿足裝配約束要求的條件下確定各個零部件的位置和方向。裝配約束模型相比大部分幾何約束求解模型具有較高的描述精度，較少出現過約束或者欠約束的情況。但是有可能會出現高耦合的閉環約束情況。

本文使用自由度分析的方法[5，6]求解裝配模型中的幾何約束。針對裝配約束中的一般情況，系統分析裝配零件（幾何實體）的自由度，從自由度為零的幾何實體出發進行求解。對于閉環約束的情況，也給出了數值解法，從而使得求解方法更為完善。

2.基本定義

幾何實體：裝配約束中的零部件，幾何實體在裝配約束中的形狀是不變的，但是位置和方向是可以變化的。描述幾何實體的參數主要有位置和方向兩種。本文使用的幾何實體如表1所示。

約束：幾何約束是指兩個或者多個幾何體之間所具有的幾何關系。約束可以形式化的定義為Ci（e1，e2，…，en）的形式，Ci為約束的類型，ei為定義約束使用的實體。

幾何實體的自由度：完全確定幾何實體所需要變量數的最小值，也就是表1特征列所描述的確定特征需要的最少的變量數，比如對于正方體，自由度為7。實體的自由度可以分為位置自由度和形狀自由度兩類。裝配約束中，主要考慮位置自由度，形狀自由度一般由用戶指定。位置自由度又可以分為平動自由度和轉動自由度。

約束度：由約束引起的參與約束的幾何實體自由度的減少量定義為約束的自由度。

裝配閉環：裝配過程中，如果確定某一個幾何實體的時候又需要間接的用到該幾何實體，則該過程所形成的裝配鏈定義為裝配閉環。

約束圖：用來表示裝配過程中幾何實體之間的約束依賴關系，約束圖中，使用節點表示幾何實體，使用邊表示幾何實體間的約束。

3.求解方法

幾何約束系統求解問題可以等價的表示為一組非線性方程的求解問題。由于非線性方程組求解的效率不高而且穩定性較差，所以可以對待求解的幾何約束系統進行分解，減小求解問題的規模，同時確定分解以后所形成子問題的求解順序，避免大量方程組的同時求解?；诜纸獠呗缘膸缀渭s束問題求解可以分為構造求解序列和按照求解序列求解兩個階段。

裝配模型中的大部分操作為根據基準零件加入新的零件，幾何意義明顯，所以一般不需要進行較多的分解。求解過程只要按照裝配過程進行即可?？梢葬槍s束圖使用自由度分析的方法進行求解。裝配模型中也有一些情況是從多個起點進行設計，這時每個起點都會形成一個欠約束模型，造成求解困難，需要考慮使用數值方法求解。

自由度分析方法就是從初始的已知節點出發在約束圖上進行規約操作。對于自由度為零的節點，定義為已知節點。從已知節點出發在約束圖中進行寬度優先搜索，通過節點的約束邊訪問相鄰節點，求解約束邊。如果約束方程可以直接求解則繼續遍歷，如果不可解則說明存在約束閉環。

初始的約束圖中，每個節點表示一個基本的幾何實體。規約過程中一些基本幾何實體會形成新的節點，對這些節點我們可以在規約體內部求解，這樣可以減小問題的規模。規約過后需要生成新節點與系統中其他實體的約束關系。

對于簡單的情況可以根據裝配的過程使用解析的方法直接進行計算，對于復雜的情況，需要確定計算的順序。計算順序的確定可以使用分組的方法減小問題的規模。分組的過程與拓撲排序類似。自由度為零的分為一組，與自由度為零的相鄰的節點為一組，其余節點為一組。求解過程中總是計算與自由度為零的節點相鄰的邊即可。求解后更新第二組中節點的自由度，重新生成三組信息。重復上述過程，直到所有實體自由度為零，或者不能求出新的自由度為零的節點。對于第一種情況，求解過程，對于第二種情況，使用方程組求解。

4.約束求解的數值方法

裝配模型中的約束普遍具有明顯的位置和方向意義。可以將位置自由度和方向自由度分別分解，單獨求解。使用齊次坐標的形式可以方便的表示兩種自由度。齊次坐標有簡單的表示方法，方便求解。常見的裝配約束有：對靠、孔軸配合和共線三種情況。下面給出三種情況的方程，其中N為方向，P為位置，b為基底幾何題，ma為配置幾何體。

使用給定的齊次矩陣，可以根據解析幾何的知識將裝配約束轉換成上述三種形式的組合。大部分簡單的裝配情況可以根據矩陣直接進行求解。

對于存在約束閉環的情況，可以得到如下形式的方程組：

方程組中的方程次數一般較低，所以可以使用常用的解法，如高斯法求解，得到較好的結果。

5.求解算法

下面給出求解過程中的幾個算法：

自由度分析算法：

6.結論

本文在對裝配模型中的幾何約束求解問題進行了分析化簡，給出了三種基本的裝配約束的求解方法，針對裝配約束中的閉環約束的情況也給出了數值求解方法，通過使用自由度分析技術，降低了求解的復雜度，加快了求解的速度，得到了較高的求解效率。本文提出的方法能夠解決絕大多數的裝配模型中的幾何約束求解問題。但是約束閉環的數值求解，某些情況下存在不穩定性，有待于今后的工作進行完善。

參考文獻

[1] Light R.A.，Lin V，Gossard D.C. Variational geometry in CAD. Computer Graphics[J].1981，15（3）：171-177.

[2] Alfedfeld B. Variation of geometries based on a geometric-reasonging method.CAD[J].1988，20（3）：117-126.

[3] Hoffman C.Geometric constraint solving in R2 and R3.In： D Z Du，F Huang， eds，Computing in Euclidean Geometry[M]. Massachusetts： World Scientific.1995，266-298.

[4] 吳文俊.幾何定理機器證明的基本原理（第一卷）[M].北京：科學出版社. 1984.

[5] G.A.Kramer. Solving Geometric Constraint systems： a case study in kinematics[M].The MIT Press.1992.

[6] 高劍鋒，等.二維幾何約束求解器.計算機輔助設計與圖形學學報[J].2000，12（2）：110-115.