線面關(guān)系一線牽

很多同學(xué)習(xí)慣用向量法求解立體幾何問題，但向量法并不是萬能的.當(dāng)難以根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，或用向量法解題計(jì)算煩瑣時(shí)，就可以考慮幾何法.

所謂幾何法，就是從條件出發(fā)，以定義、公理、定理為依據(jù)，通過輔助構(gòu)圖和推理計(jì)算解決問題.使用幾何法需要一定的空間想象力和邏輯思維能力，能否添加合適的輔助線往往是解題的關(guān)鍵.

添加平行直線，判定線面平行

例1 如圖1所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為PD上的一點(diǎn)，且PE=2ED，F(xiàn)為PC的中點(diǎn).求證：BF∥平面AEC.

解析： 我們常常用線線平行來判定線面平行，那么怎樣在平面AEC內(nèi)找到一條與BF平行的直線呢？讓我們執(zhí)果索因.過BF任意作一個(gè)平面與平面AEC相交，若直線BF∥平面AEC，則兩個(gè)平面的交線必與BF平行；反之，若能證明該交線與BF平行，則可根據(jù)線面平行判定定理得到BF∥平面AEC.

我們注意到，AC？哿平面ABCD，BD？哿平面ABCD，AC與BD相交，要過BF作一個(gè)平面與平面AEC相交，我們可以過B，F(xiàn)，D三點(diǎn)作一個(gè)平面.

如圖2所示，聯(lián)結(jié)BD，F(xiàn)D. 設(shè)BD∩AC=O，F(xiàn)D∩EC=G.聯(lián)結(jié)OG，OG即為平面AEC和平面BDF的交線.要證明BF∥平面AEC，只要證明BF∥OG即可.

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，所以O(shè)是BD的中點(diǎn).只要證明G是FD的中點(diǎn)，就能根據(jù)三角形中位線定理判定BF∥OG.

因?yàn)镻E=2ED，故點(diǎn)E是PD的三等分點(diǎn).取PE的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)FH.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，H為PE的中點(diǎn)，所以FH是△PEC的中位線，所以FH∥EC，即FH∥EG.又E是HD的中點(diǎn)，所以EG是△HFD的中位線，所以G是FD的中點(diǎn).故OG是△BDF的中位線，所以BF∥OG，由此可得BF∥平面AEC.

點(diǎn)評(píng)： 在例1中，過BF作平面BDF與平面AEC交于OG，只要證明BF∥OG，就能證明BF∥平面AEC.所以O(shè)G是直線BF與平面AEC存在……