含參線性規劃問題怎么解

提問 對于不含參數的線性規劃問題，如“已知x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0；求x+y的最大值”，我知道應先根據約束條件確定可行域，再作出目標函數所在直線，通過平移目標直線，求出最優解.但對于含參線性規劃問題，如“若實數x，y滿足x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0且x+y的最大值為9，求實數m的值”，我就不知該如何求解了.因為約束條件x-my+1≥0中含有參數m，所以難以確定直線x-my+1=0的具體位置，也就沒法確定可行域. 請問含參線性規劃問題該怎么解呢？

回答 含參線性規劃問題一般可分為兩類，一類是約束條件含參，另一類是目標函數含參. 這兩類問題的解題原理是相同的，關鍵是理解參數的本質，并認清參數變化對直線位置產生的影響.下面，我們就以提問中的問題為例進行分析.

我們首先想到作出直線x+3y-3=0，2x-y-3=0與x-my+1=0，確定可行域.但怎么確定含參直線x-my+1=0的具體位置呢？令y=0，解得x=-1，可知直線x-my+1=0必過定點（-1，0）.當m≠0時，直線x-my+1=0的斜率k=≠0；當m=0時，直線x-my+1=0的斜率不存在，故直線x-my+1=0可看作繞定點（-1，0）旋轉且不與x軸重合的動直線，參數m就是控制直線x-my+1=0的位置的關鍵要素.當參數m變化時，不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0表示的可行域也會隨之變化.

在解題時，我們不妨以靜制動，先設m為一個任意的常數，作出一個確定的可行域，然后以動馭靜，讓含參直線旋轉起來，在旋轉中尋找滿足“x+y的最大值為9”的參數m.

如圖1所示，在直角坐標系中作出直線l1：x+3y-3=0，l2：2x-y-3=0，l3：x-my+1=0的圖象.

注意：過點（-1，0）作直線l3：x-my+1=0的圖象（以虛線表示）時，可以對參數m取任一常數.

記不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0所表示的平面區域為Ⅰ（如圖1所示）. 把條件“x+y的最大值為9”等價轉化為……