合理進(jìn)行分類討論

例 求拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A（a，0）的距離PA的最小值.

錯(cuò)解： 設(shè)P（x，y），則PA2=（x-a）2+y2=x2-2ax+a2+2x=x2-2（a-1）x+a2=[x-（a-1）]2+2a-1.當(dāng)x=a-1時(shí)，[x-（a-1）]2有最小值0，所以PA2min=2a-1，PAmin=.

錯(cuò)因分析 觀察答案，由題意可知a∈R，故2a-1≥0不一定成立，所以答案肯定有誤.再深入分析，由于P（x，y）在拋物線y2=2x上，所以x≥0.只有當(dāng)x=a-1≥0時(shí)，[x-（a-1）]2=0才能成立，而a-1≥0卻未必成立. 所以我們要對(duì)參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行討論.

正解： 由錯(cuò)解得PA2=[x-（a-1）]2+2a-1 （x≥0）. 記f（x）=[x-（a-1）]2+2a-1 （x∈R）.由二次函數(shù)性質(zhì)可知f（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=a-1.

當(dāng)a-1≥0即a≥1時(shí)，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知f（x）min=f（a-1）=2a-1>0，故PAmin=.

當(dāng)a-1<0即a<1時(shí)，函數(shù)f（x） （x∈R）的圖象的對(duì)稱軸x=a-1<0，結(jié)合x≥0可知，當(dāng)x=0時(shí)， f（x） （x≥0）有最小值a2>0，即PA2min=a2，故PAmin=a.

小結(jié) 根據(jù)題意可知x≥0，而a∈R，故a-1=x≥0不一定成立，因此我們有必要分“a-1≥0”與“a-1<0”兩種情況進(jìn)行討論.錯(cuò)解沒有進(jìn)行分類討論，所以造成了錯(cuò)誤.

一般來說，當(dāng)數(shù)學(xué)問題不能“一概而論”時(shí)，均應(yīng)考慮分類討論. 分類討論是一種重要的解題策略，體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.所謂分類討論，就是先根據(jù)所求目標(biāo)的不同特點(diǎn)，分為既不重復(fù)又不遺漏的幾類，分別進(jìn)行討論，再將各類情況加以綜合，得出結(jié)論.如果我們不清楚什么時(shí)候該進(jìn)行分類討論、如何進(jìn)行分類討論，就很容易導(dǎo)致出錯(cuò).

下面來總結(jié)一下引起分類討論的原因.

（1） 分類定義引起討論.

有些概念、性質(zhì)或公式是分類定義的，在不同的條件下有不同的情況.如果題目涉及這類概念、性質(zhì)和公式，就要進(jìn)行分類討論.分類定義的情況主要包括指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an、絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式的正負(fù)等.

比如，對(duì)于問題“函數(shù)……