活用定義巧解題

匈牙利數學家G·波利亞在著作《怎樣解題》中寫道：“回到定義上來是一項重要的思維活動.”定義是數學知識的根基，它揭示了概念的本質，界定了概念的范疇.定義本身也蘊含著方法，例如，圓錐曲線的定義不僅闡述了其最本質的幾何特征，還直接導出了圓錐曲線的方程. 利用定義解題，能簡化代數運算，幫助我們走出解題困境.今天，我們就談談如何利用圓錐曲線的定義，巧妙地求解離心率問題、軌跡問題和最值問題.

求解離心率問題

例1 [2013年高考數學浙江參考試卷（理科）第9題] 如圖1所示，F1，F2分別是雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點.若AB ∶ BF2 ∶ AF2=3 ∶ 4 ∶ 5，則雙曲線的離心率為

（A） （B） （C） 2 （D）

解： 設AB=3t，BF2=4t，AF2=5t ，其中t>0.由勾股定理可知∠F1BF2=90°.根據雙曲線第一定義可得：BF1-BF2=2a，AF2-AF1=2a，又AF1=BF1-AB，所以（BF1-BF2）+（AF2-AF1）=（BF1-4t）+[5t-（BF1-3t）]=4t=4a，解得a=t.故BF1-BF2=BF1-4t=2a=2t，所以BF1=6t.在Rt△F1BF2中，F1F2==2t=2c，所以c=t，故雙曲線的離心率e===. 選A.

評注： 如果要通過求線段長度得出c和a，由于題中沒有給出具體數值，我們可以設A（x1，y1），B（x2，y2），F2（c，0），并根據AB ∶ BF2 ∶ AF2=3 ∶ 4 ∶ 5求解.因為參數很多，這樣解計算量很大，而且不一定能求出結果.但是通過雙曲線的定義，我們得到了關系式BF1-BF2=2a，AF2-AF1=2a，這就巧妙地回避了“根據坐標求AB，BF2，AF2的長度”的煩瑣運算.

用定義法求解圓錐曲線問題是一種最直接、最本質的方法. 什么時候適合用定義法求解呢？當題中涉及焦點三角形或準線時，我們不妨優先考慮定義法.

求解軌跡問題

例2 如圖2所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在線段AM上，點N在CM上，且滿足=2，·=0，求點N的軌跡方程.

解： 由圓C：（x+1）2+y2=8可知圓C的半徑r=2，圓心為C（-1，0），又A（1，0），故AC=2.因為=2，所以點P為AM的中點……