數據處理非線性擬合的實踐

摘 要： 科技人員經常要對大量試驗數據進行分析處理，以求找到一些變量間的因果關系。在進行數據處理時，會經常遇到非線性擬合問題。用三種線形為例，分別選擇Exponential（自然指數）、Power（乘冪）和Boltzmann（玻耳茲曼）三種函數，以簡單的操作步驟，進行非線性擬合，找出了變量間的因果關系，并舉出應用實例。同時也介紹了擬合時應注意的事項及引申應用等問題。

關鍵詞： 數據處理； 非線性擬合； 變量間關系； 應用實例

中圖分類號： TP319 文獻標識碼： A 文章編號：2095-2163（2013）03-0078-04

Put Non-linear Curve Fit of Data Processing in Practice

HAO Huixin

（School of Computer Science and Technology， Harbin Institute of Technology， Harbin 150090， China）

Abstract： The scientific and technical personnel often obtain causality relationship of variables， realize analysis and processing of mass test data. During data processing， they usually meet problems of non-linear curve fit. Three curves are used as actual examples. The paper selects three functions： Exponential、Power and Boltzmann separately. Simple operating procedures are used to fit non-linear curve. Causality relationships of variables are fined. And actual application examples are enumerated. Meanwhile， the paper describes attention matters of fitting curve and extended applications.

Key words： Data Processing； Non-linear Curve Fit； Variable Relationship； Application Examples

0 引 言

科研人員在解決科技或工程中的一些實際問題時，要做大量試驗，得到大批數據，然后還要對這些數據進行分析處理，以求找到一些變量間的因果關系。為了得到變量之間關系，有時要探求依據，進行理論推導，得到所要求的方程或公式；有些時候則是基于試驗數據，利用擬合方法來確定一些變量間的因果關系，在此過程中，經常會遇到試驗數據的非線性擬合。擬合因變量與自變量的關系曲線并導出其計算公式比較復雜，需要利用專門針對數據處理和制圖的Origin或MATLAB等專業軟件進行和完成。這里以三種線形為例，簡要介紹利用Origin 6.0[1]進行非線性擬合的推演過程。三種線形分別選擇三種函數，進行非線性擬合，得到了擬合后的公式。一些論文中常會出現這三種線形，所以提出的非線性擬合方法在實際應用中具有很廣闊的適用范圍。同時，本文也介紹了擬合時的注意事項及拓展應用等問題，以求與同行們彼此借鑒，共同探討非線性擬合方法，推進非線性擬合的研究進程。

1 用自然指數（Exponential）曲線擬合

硅光電池是不需外加電源而可直接將太陽輻射能轉換為電能的器件，研究其伏安特性，對了解和使用各種光電器件具有十分重要的意義。設硅光電池的輸出電流為I，輸出電壓為U1，有一組全暗情況下硅光電池的伏安特性的實驗數據[2]，如表1所示。

表1 全暗情況下硅光電池的伏安特性的實驗數據

Tab.1 Experimental data of the silicon solar cell’s volt-ampere property in the dark condition

U1（V） 0.4 0.6 0.8 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

I（μA） 9 22 47 100 143 207 297 438 660 1 038 1 713 3 017 5 710 11 660

現在，假設要尋找因變量I受自變量U1的影響的變化規律，就可以對這組數據進行非線性擬合，找到I受U1的影響的變化規律。過程如下：

打開Origin 6.0，在工作表的A[X]列輸入U1/V數據，在B[Y]列輸入I/μA數據，然后，在菜單欄的Analysis（分析）中選Non-Llinear Curve Fit（非線性擬合），就會出現非線性擬合菜單（如果打開的是基本模式，單擊“More”按鈕，切換到高級模式），這個菜單上部有可見的菜單欄和工具欄。擬合可按下列步驟進行。

（1）選擇函數。首先打開Select Functions（選擇函數）對話框，在此對話框左部的列表框Categories（類型）中選擇Exponential（自然指數），而右部列表框Functions（函數）中選取Exp3P1，在函數三種預覽方式（Equation 公式、Sample Curve 示樣曲線和Function File 函數文件）中可預覽選中的函數，公式的形式如下：

y=aebx+c

（1）第3期 郝惠馨：數據處理非線性擬合的實踐 智能計算機與應用 第3卷

在曲線擬合時，需確定a、 b和c三個系數；

（2）編輯函數。在同上的對話框菜單欄Function中選擇Edit，出現Function Edit對話框，按“Save”按鈕；

（3）指定變量。在同上的對話框菜單欄Action中選擇Dataset，出現Select Dataset對話框，在上部列表框單擊Y變量，在中部列表框單擊Data1_b（X變量對應于Data1_a數列已自動指定），然后單擊“Assign”按鈕，此時會出現一幅曲線圖。由出現的曲線圖可知，在選擇函數時是因何選取Exponential（自然指數）；

（4）曲線模擬。在同上的對話框菜單欄Action中選擇Simulate，出現Simulate Curves對話框，將其上的a、 b和c（即擬合時所要尋求的系數值）文本框內的1、1和0.5分別改寫為0. 5、-25和-5，單擊“Create Curve”按鈕，在曲線圖上會出現一條摸擬線；再將a、 b和c分別改寫為0.1、-20和-4，單擊“Create Curve”按鈕，在曲線圖上又會出現一條摸擬線；

（5）實施擬合。在同上的對話框菜單欄Action中選擇Fit，出現Fitting Session對話框，單擊下部“Chi-Sqr” 按鈕，再單擊“10Iter” 按鈕（單擊一次進行10次迭代），可再單擊數次“10Iter”，直至其中的a、 b和c的數值不變為止；

（6）顯示結果。在同一對話框的菜單欄Action中選擇Result，出現Genarate Result 對話框，單擊“Param. Worksheet”按鈕，生成Parameters工作表，關閉對話框，會出現Result Log窗口；

（7）查看結果。在Parameters工作表中可以看到擬合后的參數a、b與c的值。若未顯示出數值，可將列加寬，并雙擊列名（Value）出現Worksheet Column Format對話框，在其下部調整Column Width數值，若要求給出科學記數形式，可在Format下拉菜單中選定 Scientific：1E3，在Numeric Display下拉菜單中選取Set Decimal Places=，同時將其后面的數字定為5，單擊“OK”按鈕，Parameters工作表中的a、b與c的值就會轉換成符合要求的位數。在Result Log窗口和Graph1圖上的文本框中都有參數a、b與c的值。至此，得到擬合的參數值，a=0.067 65，b=-19.145 04，c=-3.587 85。此外有些結果是供分析擬合誤差之用，如有必要可以查看，此處僅只討論擬合方法。

為了使擬合曲線更加突出，要刪掉模擬線，可在下部窗口中直接刪除exp3p11與exp3p12（exp3p1是函數名，后面的1和2是順序編號）。初始設定a、b與c值的兩條模擬線刪除后，留下原始數據曲線和擬合曲線。另外，Graph1圖上還有顯示擬合參數的文本框，可留也可刪。此時，下部窗口文件夾中有數據表、擬合曲線圖、擬合數據表和參數表四份文件。

遵照上述步驟進行擬合，擬合前的I-U1曲線圖，如圖1所示。 繪制有擬合曲線的I-U1曲線圖，結果如圖2所示。

Fig.2 I-U1 curve with fitting curve 這里要說明的是，自然指數曲線擬合成功與否，需要視擬合曲線與原始數據曲線符合的程度，符合程度越高，擬合越成功，這與初始參數值的設定有著極其密切的關系，而初始參數值的設置則是通過試驗最終確定的。如果使用Simulate Curves對話框給定的值a=b=1、c=0.5，擬合會失敗；如果只用a=0.5、b=-25、c=-5擬合，單擊次數會太多；而給出a=0.1、b=-20、c=-4，就是為了擬合得更好。因為擬合是由最后給出的模擬數據啟動的，若先給出a=0.1、b=-20、c=-4，后給出a=0.5、b=-25、c=-5，先前的數據將不起作用；若能直接給出a=0.1、b=-20、c=-4，當然最好。

確定a、b與c的值之后，就得到了I-U1的關系計算公式，如之前選擇Exponential（自然指數）那樣，擬合曲線的公式為：

I=0.06765e-19.14504U1-3.58785

（2）

經數學變換，等號兩邊取自然對數，并加以整理，也可以表示為：

lnI=-19.14504U1-3.58785-2.69341

（3）

具有此種線形的實例很多，但不一定采用自然對數擬合，也并非都需要擬合。這種線形在很多論文都可以看到，比如拉彎聯合載荷下彈塑性J積分估算方法研究，J積分與載荷比的關系[3]，有多條曲線均屬這一類型，水面上的飽和蒸氣壓和冰面上的飽和蒸氣壓與溫度的關系[4]，也是這種線形。

2 用冪函數（Power）曲線擬合

現有照度變化率隨焦距變化（光照面Φ=5mm時）曲線[5] 如圖3所示。有擬合曲線的照度焦距曲線如圖4所示。

圖3 照度焦距曲線圖

fitting curve 為此，假設要尋找最大照度變化率（Y/%）隨焦距變化（f/mm）的相應規律，就可以對這條曲線進行非線性擬合，得到Y受f影響的變化規律。

擬合步驟與曲線擬合1大致相同，但在Categories中選擇了Power（乘冪），在Functions中選取了Pow2P2，其公式形式是：

y=a（1+x）b

（4）

在曲線擬合時，只需確定a與b兩個系數。

在曲線模擬時，將a與b的1、1第一次變為600和﹣1.6，第二次變為1 000和﹣1.8，繪制有擬合曲線的Y -f曲線圖，如圖4所示。

在查看結果時，得到a=2 728.900 84、b=﹣2.138 31。由此，得到Y-f關系式為：

（5）

具有如此線形的實例也很多，但不一定采用Power擬合，也并非都需要擬合。這種線形在相當多的論文中也都可以看到，比如中厚板輥式淬火機淬火過程的溫度場分析[6]，討論不同換熱系數下鋼板心部溫度與時間的變化曲線，許多曲線都是這種類型曲線；再比如，在自旋對量子中束縛磁極化子性質的影響[7]，則有更多的同種類型曲線。

3 用玻耳茲曼函數（Boltzmann）曲線擬合

現有催化劑用量對羅丹明B溶液降解率的影響曲線圖[8]，如圖5所示。圖5的擬合曲線如圖6所示。

圖5 催化劑用量對降解率的影響曲線圖

Fig.6 The fitting curve of Fig.5 在此，假設要尋找因變量降解率（Y/%）受自變量催化劑含量（X/g）的影響的變化規律，就可以對這條曲線進行擬合，得到Y受X的影響的變化規律。

擬合步驟與曲線擬合1大致相同，但在Categories中選擇了Origin Basic Functions，而在Functions中選取了tzmann（玻耳茲曼），公式形式是：

（6）

在曲線擬合時，確定A1、A2、x0和dx四個系數。

在曲線模擬時，將A1、A2、x0和dx的0、1、0和1第一次變為0、90、0和0.15，第二次變為0、100、0和0.20，繪制有擬合曲線的Y﹣X曲線圖，如圖6所示。

在查看結果時，得到A1=–18.418 41、A2=100.395 54、x0=0.084 61和dx=0.179 21。如此得到Y-X關系式為：

（7）

具有同種線形的實例也是很多的，但也不一定采用Boltzmann（玻耳茲曼）擬合，也并非都需要擬合。這種線形在許多論文中也都可以看到，比如在基于現場試驗的超長樁端阻力承載性狀研究[9]，調研了很多建筑物的超長樁端阻力，對端阻力-樁端沉降的關系，采用Boltzmann（玻耳茲曼）擬合進行了歸一化處理，并給出了九種建筑物（六座橋梁三座大樓）端阻力-樁端沉降曲線圖及其Boltzmann（玻耳茲曼）擬合結果。

4 結束語

對試驗數據進行非線性擬合時，需要選擇函數，有的函數存在于多種類別之中，如Lorents就分別出現在Origin Basic Functions、Peak Fuctions和Spectroscopy中。但文中所關注的只是函數，而并不考慮其歸屬類別。此外，有的函數可以擬合多種線形，如Hyperbl和Exp3P1Md就是這樣的函數，因其系數變化，就會產生不同的線形。但文中關注的則為其是否滿足將欲擬合的線形要求。

試驗數據非線性擬合的成敗，首先與選用的函數有關。一條試驗數據曲線，可以選擇幾種函數進行擬合，但不一定均獲成功。擬合曲線與原始數據曲線符合的程度越高，即越成功，而在擬合成功的函數中還要選擇更為優異的，這就需要進行擬合的誤差討論。在不進行誤差討論的情況下，則需憑直接觀察做出判斷，擬合程度最高的就是最好的選用函數。

試驗數據非線性擬合的成敗，其次還與初始參數值的設定有著密切的關系，而初始參數值的設定是通過多次試驗選取得到的。擬合是從最后給出的模擬數據開始的，若使用Simulate Curves對話框提供的系數值，或者給出的模擬數據與試驗數據曲線偏離較遠，擬合都會失敗；若給出的模擬數據與試驗數據曲線非常接近，則擬合時點擊次數會很少，會很快得到成功的結果，否則擬合時點擊次數太多甚至會失敗。

文中討論的是試驗數據的非線性擬合，實際擬合還有Linear（線性擬合）、Polynomial（多項式擬合）、Sigmoidal （S擬合）等，這些擬合可以綜合運用，比如一個因變量有兩個自變量，分別進行擬合，得到兩個公式，最后將其綜合在一起，成為一個關系式，這在科學試驗和工程中也有機會遇到。

參考文獻：

[1]郝紅偉，施光凱. Origin 6.0實例教程[M]. 北京：中國電力出版社， 2000.

[2]張瑋，楊景發，閆其庚. 硅光電池特性的實驗研究[J]. 實驗技術與管理， 2009（9）：42-46.

[3]白永強，汪彤，等.拉彎聯合載荷下彈塑性J積分估算方法研究[J]. 工程力學， 2010（3）：6-9.

[4]李英干，范金鵬. 濕度測量[M ]. 北京：氣象出版社， 1990：6.

[5]梁世安，胡友旺，段吉安. 陣列波導器件封裝中機器視覺系統的光源分析與設計[J]. 光電子技術， 2009（1）：55-59.

[6]袁國，王國棟，王黎筠，等. 中厚板輥式淬火機淬火過程的溫度場分析[J]. 東北大學學報：自然科學版，2010（4）：527-530.

[7]李志新，肖景林. 在自旋對量子中束縛磁極化子性質的影響[J]. 固體電子學研究與進展， 2009（1）：10-13.

[8]周云龍，胡志彪，等. TiO2/竹炭復合材料研究（Ⅱ）光催化降解性能[J]. 功能材料， 2010（2）：197-199.

[9]蔣建平，章楊松，高廣運. 基于現場試驗的超長樁端阻力承載性狀研究[J]. 工程力學， 2010（2）：149-160.