數學新高考 復習要高效

一、試題特點評析

縱觀近三年的高考數學新課標卷，體現了“大穩定、小創新、重運算、考思維”的設計理念。在堅持對五個能力、兩個意識考查的同時，注重對數學思想與方法的考查，體現了數學的基礎、應用和工具性的學科特點。

（一）穩

1. 體現在數學基礎的考查穩定。第一，注重課本內容，很多高考試題在教材中都有原型；第二，緊扣考綱。高考試題基本涵蓋了《考試大綱》所規定的內容， 試卷中所有考題無一超綱；第三，注重運算。每年的試題都有：集合的運算、向量的運算、復數的運算、三角運算等基本的運算題；第四，注重用圖。每年的試題基本上都有：三視圖、函數圖、程序框圖、可行域圖等作圖、識圖題目。

2. 體現在思想方法的考查穩定。新課標試題淡化特殊技巧，注重對通性、通法及數學思想方法的考查。如，2010年理科第10、12、20、24題，文科第5、11題，考查了數形結合的思想；理科第17、20題，文科第17、21題，考查了函數與方程的思想。

3.體現在數學能力的考查穩定。考生數學能力的差異，反應在考生思維品質上。思維品質能客觀、具體地反應出考生數學能力的差異，因此，新課標高考數學試題，注重考查學生思維品質的深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性等。

4.體現在主干知識的考查穩定。（1）三角函數題。三角函數解答題每年都在變，但是以三角形為載體的特點沒變，三角形中的三角函數問題是三角函數考題的“常青藤”。（2）數列題。數列試題的主旋律始終是等差數列、等比數列、數列的通項、數列的求和問題。（3）概率題。新課標高考中的概率題更注重統計分析的背景設計，一般使用統計（抽樣、頻率分布表、直方圖、莖葉圖等）給出數據和信息，將頻率視為概率，進而研究分布及數字特征計算。（4）立體幾何題。新課標卷設計的立體幾何試題，基本上以三棱柱、三棱椎、四棱錐等多面體為載體，研究空間線面的位置關系、空間角與距離的計算。解法上，采用同一個題目，既可用傳統立體幾何知識作答，又可用向量法求解。（5）導數應用題。導數應用題中，多含有參量且以有理函數與超越（指數、對數）函數的復合形式為載體，以考查函數的單調性、極值與最值、方程根的分布、不等式的證明為形式，考查學生的數學綜合能力和數學思想方法。（6）圓錐曲線。圓錐曲線是歷年新課標高考的壓軸題之一，也是考查學生綜合能力的一大考點。新課標卷解析幾何的一般命題模式是，先根據已知的關系確定一個曲線方程，然后再結合直線方程、圓的方程等把問題引向深入，最后化歸為方程問題、不等式問題、函數問題來解決。其中的熱點問題有：參數范圍問題、最值、定值問題等。與平面幾何的結合，與向量知識的綜合，與方程、不等式、函數的融合是這類題的顯著特點。

（二）活

1.知識的組合方式靈活。學科內知識的綜合，如函數的各種性質的綜合考查，函數、方程、不等式的融合設計，向量與三角函數，向量與解析幾何等的交匯，立體幾何中的軌跡問題等。2.跨學科的綜合。數學與物理、生物的融合等。如，（2012年理科第15題）某個部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布，且各個部件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 。

2.命題的載體選擇靈活。選擇填空題以式、圖為載體，具體選擇靈活多變。解答題中的三角函數題或以三角形為載體，考查三角函數的圖象性質，三角變換的化簡求值；或以實際應用中的測量問題為載體，考查解三角形的方法技巧。靈活多樣，新穎獨特。正、余弦定理是基礎，邊角互化是關鍵；概率題以實際應用問題為背景，以統計分析為基點，考查概率計算與概率分布。內容豐富，或保險問題，或老年人的服務問題，或銷售問題，或產品質量檢測問題；立體幾何題以多面體為載體，或棱柱，或棱錐。平行垂直是基礎，幾何方法與向量方法相結合；解析幾何題，以圓錐曲線為載體，或橢圓，或拋物線，或雙曲線。方程思想是基礎，運算化簡是關鍵；導數應用題，以函數為載體，或三次函數，或對數型函數，或指數型函數。形式簡單，內涵豐富，含參討論是常態；數列綜合題，以遞推關系為載體，或求通項，或求和，或證明不等式。方法靈活，歸納猜想是通法，構造轉化是捷徑。

3.問題的求解策略靈活。新高考的試題，體現以能力為立意的精神，具有較高的區分度。所以，對思維能力有較高的要求，突出對思維能力的考查。尤其是選擇填空題中的后幾道題的解答，要會觀察問題的特殊性，如數字的特殊性、結構的特殊性、圖形的特殊性、關系的特殊性、聯系的特殊性。

如，（2012年理科第12題）設點P在曲線 y=ex上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為（ ）

A.1-ln2 B. （1-ln2）

C.1+ln2 D. （1+ln2）

求解的切入點是：觀察到y=ex與y=ln（2x）互為反函數的關系，根據圖形的對稱性，轉化為點到直線的距離問題。

新課標卷中解答題的壓軸題，有較強的綜合性。求解的關鍵是：要會分解，化大為小，要會分離，化繁為簡，要會分割，化整為零，要會分類，化難為易。

如，（2011年理科第22題）已知函數f（x） = +，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果當x>0，且x≠1時， f（x）>+，求k的范圍。

分析：這道題的第一問，容易解得a=1，b=1。難點是第二問的解答：由（Ⅰ）知f（x）=+，f（x）-（+）=[2lnx+]。

策略1：要會分離，觀察x≠1的條件，把2lnx+從中分離出來，獨立考查，使問題的研究變得簡單。考慮函數h（x）=2lnx+（x>0），則h′（x）=。

策略2：要會分類，根據k的不同取值，根據x的范圍，分類討論恒成立的條件：

（i）當k≤0，由h′（x）=知，當x≠1時，h′（x）<0，h（1）=0。故當x∈（0，1）時，h（x）>0，h（x）>0； 當x∈（1，+∞）時，h（x）<0，可得h（x）>0。當x>0，且x≠1時， f（x）-（+）>0，即f（x）>+。

（ii）當00，h′（x）>0，h（1）=0。故當x∈（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾。

（iii）當k≥1，此時h′（x）>0，h（1）=0.故當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾。

（三）新

1.新考點。試題體現新課改理念，對教材新增內容的考查全面，且難易適度。既體現了基礎知識的與時俱進，又有利于中學數學教學，對算法、三視圖、抽樣方法與獨立性檢驗、幾何概率與定積分概念均考查到位。

如，（2012年理科第6題）如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數N（N≥2）和市屬a1，a2，……，aN，輸出A，B，則（ ）

A.A+B為a1，a2，……，aN的和

B.為a1，a2，……，aN的算術平均數

C.A和B分別是a1，a2，……，aN中最大的數和最小的數

D.A和B分別是a1，a2，……，aN中最小的數和最大的數

2.新結構

新課標卷，相對于大綱卷有新變化。

變化1：三角函數題淡化求值、化簡、證明的考查，側重于圖象與性質、解三角形的考查。

變化2：概率題，變大綱卷純概率問題為統計背景下的概率問題。

變化3：解答題中的第一題，數列、三角輪換“坐莊”。若解答題的第一題是數列題，填空題的最后一題必是解三角形的題，其難度與解答題相當，反之亦然。

變化4：最后一題為選答題，選考部分由選修4系列的“幾何證明選講”、“坐標系與參數方程”、“不等式選講”各命一題，學生任選一題作答。

3.新背景。新課標卷凸顯數學的應用，關注試題背景的創新，尤其注重數學在實際生活中的應用，考查學生的實踐能力和實際動手能力。以概率統計題、三角函數題為主。如，解三角形的題加入了考查實踐能力的立意，充分體現新課改的新理念。如，（2010年陜西理科卷）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船達到D點需要多長時間？

4.新信息。信息給予題，是考查學生學習潛能的創新題。新課標卷更加關注學生創新能力的考查。解答的關鍵是閱讀理解，定義新函數，定義新運算，使這類題別具特色。所以高考復習須關注這類題型的訓練。如，（2011年理科第12題）用min{a，b，c}表示a，b，c三個數中的最小值，設f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），則f（x）的最大值為（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

二、復習方法漫談

高考命題雖說千變萬化，但只要認真研究考綱和近幾年高考試題的命題特點及其變化趨勢，找出相應的一些規律，就可以提高我們復習備考的有效性與針對性。

1.復習要求——四化

（1）知識理解，要“深化”。一是要知識序化。高考復習要做的第一件事，就是幫助學生對所學的數學知識進行整理，概括成條理，歸納成系統，構建成網絡，整合成結構。讓學生建構起自己新的數學認知結構，從而提升學生的數學能力；二是理解內化。要讓學生理解概念的本質屬性，掌握知識之間的相互關系與內在聯系。

（2）問題歸納，要“類化”。高考題的許多題型，課本中沒有。高考題的許多解法，總復習前很難全部涉及到。所以，高考的復習，就要進行必要的歸納總結。題型要歸類，解題方法要總結。

（3）通性通法，要“強化”。高考題的解答注重通性、通法的考查。如，數列中的“基本量方法”、“數列的性質法”、立體幾何中的“幾何方法”、“向量方法”等。這些通性、通法要通過一定量的練習來強化，要變成熟練的技巧。

（4）解題思維，要“優化”。高考是在限定的時間內完成限定的內容，因此解題思路要優化選擇，解題方法要簡捷途徑，解題過程要最佳方案，解題失誤要最小化。這就要在平時的練習過程中注意通過一題多解找最優解，“一題多變”找最佳點，“一失多思”找“防滑鏈”，使解題思維具有靈活性、流暢性、深刻性、批判性。

2.復習內容——四查

（1）查考綱，把握方向。考試大綱對考試性質，考試內容，考試形式，都有明確的規定。教師要查大綱，對新課程高考考什么做到心中有數。

（2） 查考題，明確考法。高考試題，有效地反映了新課程數學怎樣考、考什么的問題。研究試題就是要明確主干知識以怎樣的命題體現，數學能力以怎樣的方式表達，數學的思想方法以怎樣的活動滲透，情感態度價值觀以怎樣的背景展示。

（3）查課本，回歸基礎。查課本，就是要看考題與課本的關系，要看考點與課本的關系，要看方法技巧與課本的關系。從高考的要求出發，把課本熟化。概念能脫口而出，公式定理能信手拈來，基本方法能“左右逢源”。

（4）查學情，對癥下藥。教師一定要了解學生的學習狀態，一定要診斷學生的數學基礎。只有“對癥下藥”，才能真正提高復習的效率。

3.復習要求——四通

（1）心有靈犀一點通。高考復習，教師的作用主要是點。概念理解的深度需要教師點，公式定理的應用需要教師點，典型問題的思路也需要教師點。

（2）融會貫通。高考題與平時課本作業題最大的差別是綜合性較強，即便是一道選擇填空題也會有多個知識點的綜合。所以，高考的復習就要突出知識的融會貫通，讓分章化節學習的內容，建立起“勾心斗角”的聯系；不同章節的例題習題，建立起“犬牙交錯”的關系。在“聯系”與“關系”的掌握中，提升學生的數學能力。

（3）觸類旁通。高考復習，擺脫題海的關鍵是，讓學生解一題，會一類。這就需要教師精心設計習題，建立起相關問題之間的關系，挖掘不同問題之間的聯系，從而開發問題源，形成問題鏈。

（4）無師自通。高考復習的最終目標是讓學生學會解題，沒有教師的指點，也能順利完成任務。

? 編輯：謝穎麗